1、关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 3 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知复数 z13+4i，z21+i，则1 2=（ ） A7+i B7i C7+i D7i 2已知集合 Ax|2x4，Bx|x2，则 A（RB）（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，2） D （2，2 3 已知直线 l： yk （x+3） 和圆 C： x2+ （y1） 21， 若直线
2、 l 与圆 C 相切， 则 k （ ） A0 B3 C 3 3 或 0 D3或 0 4已知 为第三象限角， = 4 3，则( 4 + ) =（ ） A 2 10 B 2 10 C72 10 D 72 10 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ） Af（x）= | Bf（x）exln|x| C() = | Df（x）（x1）ln|x| 6已知 = (1 2) 0.5，blog20.3，cab，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcab Cbac Dacb 7如图，为测得河对岸铁塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在铁塔底 B 的正东方向 上， 测得
3、点 A 的仰角为 60， 再由点 C 沿北偏东 30方向走 10m 到位置 D， 测得BDC 45，则铁塔 AB 的高为（ ） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） A30 + 103 B30 103 C10 + 103 3 D10 103 3 8执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是 n6，则输出的结果为（ ） A72 B30 C42 D56 9某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 营销 机械
4、建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中 数据，就业形势一定是（ ） A计算机行业好于化工行业 B建筑行业好于物流行业 C机械行业最紧张 D营销行业比贸易行业紧张 10双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 60 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲线的 离心率是（ ） A3 B2+3 C2 D2 +1 11
5、 历史上数列的发展， 折射出许多有价值的数学思想方法， 对时代的进步起了重要的作用， 比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：即 1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n 1）+F（n2） ， （n3，nN*） 此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若 此数列被 4 除后的余数构成一个新的数列bn，又记数列cn满 c1b1，c2b2，cnbn bn1（n3，nN*） ，则 c2020（ ） A1 B2 C1 D0 12不等式 ax2a2xlnx4（a0）解集中有且仅含有两个整数，则实数 a
6、的取值范围 是（ ） A （ln3，2） B2ln3，2） C （0，2ln3 D （0，2ln3） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13已知曲线 = 2 4 3的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为 14已知向量 = (2，1)， = (3，4)， = (，2)，若向量3 与 共线，则实数 k 15 已知ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且满足 = (2 3)， b4， 点 D 为边 AB 上的一点，CD2，锐角ACD 的面积为15，则 c 1
7、6 已知点 P， A， B， C 均在表面积为 81 的球面上， 其中 PA平面 ABC， = 30， = 3，则三棱锥 PABC 的体积的最大值为 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，题为必考题， 第第 22-23 题为选考题）题为选考题） 17 （12 分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力 训练活动， 经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试， 并将其成绩分为 A、B、C、D、E 五个等级，统计数据如图所示（视
8、频率为概率） ：根据 以上抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数； （2）若等级 A、B、C、D、E 分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 平均分达 90 分以上为“考前心理稳定整体过关” ，请问该校高三年级目前学生的“考前 心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 D、E 两种级别中，用分层抽样的方法 抽取 5 个学生样本，再从中任意选取 2 位学生样本分析，求事件“至少 1 位学生来自 D 级别”的概率 18 （12 分）已知
9、数列an是各项均为正数的等比数列，若 a11，a2a416 （1）设 bnlog2an，求数列bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 Sn 19 （12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，底面 ABCD 是矩形，EF BC （1）证明：EF平面 ABCD； （2）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中所示的五面体 ABCDEF 为“刍 甍” （chmng） ，书中将刍甍 ABCDEF 的体积求法表述为： 术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一 其意思是：若刍甍 ABCDEF 的“下袤”BC 的长为 a， “上袤”EF 的长为 b， “广”A
10、B 的 长为 c， “高”即“点 F 到平面 ABCD 的距离”为 h，则刍甍 ABCDEF 的体积 V 的计算公 式为： = 1 6(2 + )，证明该体积公式 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 3（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知复数 z13+4i，z21+i，则1 2=（ ） A7+i B7i C7+i D7i 【解答】解：z2
11、1+i，2= 1 ， 又 z13+4i，1 2=（3+4i） （1i）3+4i3i+47+i 故选：A 2已知集合 Ax|2x4，Bx|x2，则 A（RB）（ ） A （2，4） B （2，4） C （2，2） D （2，2 【解答】解：RBx|x2； A（RB）（2，2） 故选：C 3 已知直线 l： yk （x+3） 和圆 C： x2+ （y1） 21， 若直线 l 与圆 C 相切， 则 k （ ） A0 B3 C 3 3 或 0 D3或 0 【解答】解：由圆的方程得到圆心 C（0，1） ，半径 r1， 圆心 C（0，1）到直线 l：yk（x+3）和的距离 d= |31| 2+1 =1，
12、k= 3或 0， 故选：D 4已知 为第三象限角， = 4 3，则( 4 + ) =（ ） A 2 10 B 2 10 C72 10 D 72 10 【解答】解： 为第三象限角， = 4 3， cos= 1 1+2 = 3 5，sin= 1 2 = 4 5， ( 4 + ) = 2 2 cos 2 2 sin= 2 2 （ 3 5） 2 2 （ 4 5）= 2 10 故选：A 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 5已知函数 f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ） Af（x）= | Bf（x）exln|x| C() = | Df（x）（x1）ln|x| 【解
13、答】解：由图象可知，f（x）是非奇非偶函数，排除 C； 当 0 x1 时，图象在 x 轴的上方，ln|x|0，ex0，排除 A，B； 故选：D 6已知 = (1 2) 0.5，blog20.3，cab，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcab Cbac Dacb 【解答】解：0(1 2) 0.51，20.321 = 0，即 0a1，b0， aba01， bac 故选：C 7如图，为测得河对岸铁塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在铁塔底 B 的正东方向 上， 测得点 A 的仰角为 60， 再由点 C 沿北偏东 30方向走 10m 到位置 D， 测得BDC 45，则铁塔
14、AB 的高为（ ） A30 + 103 B30 103 C10 + 103 3 D10 103 3 【解答】解：在BCD 中，B18045（90+30）15， sin15sin（4530）= 2 2 3 2 2 2 1 2 = 62 4 45 = 10 15，解得 BC10（3 +1） 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 在 RtABC 中，ABBCtan6010（3 +1） 3 =10（3+3） 故选：A 8执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是 n6，则输出的结果为（ ） A72 B30 C42 D56 【解答】解：模拟程序的运行，可得 s0，a2，n1；s2，
15、a4； 不满足条件 n6，执行循环体，n2，s6，a6； 不满足条件 n6，执行循环体，n3，s12，a8； 不满足条件 n6，执行循环体，n4，s20，a10； 不满足条件 n6，执行循环体，n5，s30，a12； 不满足条件 n6，执行循环体，n6，s42，a14； 不满足条件 n6，执行循环体，n7，s56，a16； 此时，满足条件 n6，退出循环，输出 s 的值为 56 故选：D 9某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下 行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 关注公众号品
16、数学 高中数学资料共享群（284117036） 行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中 数据，就业形势一定是（ ） A计算机行业好于化工行业 B建筑行业好于物流行业 C机械行业最紧张 D营销行业比贸易行业紧张 【解答】 解： 用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况， 建筑行业招聘人数是 76516，而应聘人数没有排在前五位，小于 65280， 建筑行业人才是供不应求， 物流行业应聘人数是 74570， 而招聘人数不在前
17、五位，要小于 70436， 物流行业是供大于求， 就业形势是建筑行业好于物流行业， 故选：B 10双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1作倾斜角为 60 的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲线的 离心率是（ ） A3 B2+3 C2 D2 +1 【解答】解：由题意可得直线方程为 y= 3（x+c） ， 当 x0 时，y= 3c， A（0，3c） ， F1（c，0） ， 设 B（x，y） ， 20 xc，23cy+0， xc，y23c， B（c，23c） ， 2 2 122 2 =1， 关注公众号品
18、数学 高中数学资料共享群（284117036） 即12 2 2 = 1+ 2 2 = 2 2 b412a2c2， 即（c2a2）212a2c2， 整理可得 e414e2+10， 即 e27+43 =（2+3）2， 解得 e2+3 故选：B 11 历史上数列的发展， 折射出许多有价值的数学思想方法， 对时代的进步起了重要的作用， 比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：即 1，1，2， 3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，即 F（1）F（2）1，F（n）F（n 1）+F（n2） ， （n3，nN*） 此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若
19、 此数列被 4 除后的余数构成一个新的数列bn，又记数列cn满 c1b1，c2b2，cnbn bn1（n3，nN*） ，则 c2020（ ） A1 B2 C1 D0 【解答】 解： 记 “兔子数列” 为an， 则数列an每一项被 4 除后的余数构成新的数列bn 为 1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，可得数列bn是周期为 6 的循环数列， 由题意可知数列cn为 1，1，1，1，2，1，1，0，1，1，2，1， 观察数列cn可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为 6 的周期数列， 所以 c2020c41， 故选：A 12不等式 ax2a2xlnx4（a0）解集中有且仅含有
20、两个整数，则实数 a 的取值范围 是（ ） A （ln3，2） B2ln3，2） C （0，2ln3 D （0，2ln3） 【解答】解：由题意可知，ax2a2xlnx4，设 g（x）2xlnx4，h（x）ax 2a 由 g（x）2 1 = 21 可知 g（x）2xlnx4 在（0，1 2）上为减函数，在（ 1 2， +）上为增函数， h（x）ax2a 的图象恒过点（2，0） ，在同一坐标系中作出 g（x） ，h（x）的图象如图， 若有且只有两个整数 x1，x2，使得 f（x1）0， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 且 f（x2）0，则 0 (1)(1) (3) (3
21、) ，即 0 2 2 3 ， 解得 0a2ln3， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13已知曲线 = 2 4 3的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为 3 【解答】解：求导函数得：y= 2 3 （x0） ，又由曲线的一条切线的斜率为 1 2， 令 2 3 = 1 2即（x3） （x+2）0，解得 x3，x2（不合题意，舍去） ， 则切点的横坐标为 3 故答案为：3 14 已知向量 = (2，1)， = (3，4)， = (，2)， 若向量3 与 共线， 则实数 k 6
22、 【解答】解：3 = (3， 1)， = (，2)，且3 与 共线， 6+k0，解得 k6 故答案为：6 15 已知ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且满足 = (2 3)， b4， 点 D 为边 AB 上的一点，CD2，锐角ACD 的面积为15，则 c 15:19 2 【解答】解： = (2 3)， 由正弦定理得 sinBsinAsinA（23cosB） sinA0， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） sinB23cosB 即 sinB+3cosB2， 即 2sin（B+ 3）2， 即 sin（B+ 3）1 0B，B+ 3 = 2，
23、即 B= 6，ACD 的面积为 S= 1 2 24sinACD= 15， 即 sinACD= 15 4 ， ACD 是锐角三角形 cosACD= 1 2 = 1 4， 由余弦定理得 AD222+42224 1 4 =16， 则 AD4， 在ACD 中， = ， sinA= 15 8 ， 则ABC 中， = ，得 BC= 15， ABC 中，由余弦定理可得：42= (15)2+c2215ccos 3， 解得 c= 15+19 2 故答案为：15:19 2 16 已知点 P， A， B， C 均在表面积为 81 的球面上， 其中 PA平面 ABC， = 30， = 3，则三棱锥 PABC 的体积的
24、最大值为 81 8 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 【解答】解：点 P，A，B，C 均在表面积为 81 的球面上， 可得球的半径为：81 4 = 9 2， = 30， = 3，可得 BC= 2+ 2 2 30 =AB 外接圆的半径为：r= 230 =AB 三棱锥的高 PA2(9 2) 2 2 则三棱锥 PABC 的体积：V= 1 3 1 2 30 281 4 2 = 3 6 281 4 2， 令 AB2x，则 V2= 1 3 1 2 1 2 (81 4 ) 1 3 ( 1 2+ 1 2+ 81 4 3 )3= 812 43 ， 可得 V 81 8 当且仅当 x= 2
25、7 2 ，即 AB= 36 2 时取等号 故答案为：81 8 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17-21 题为必考题，题为必考题， 第第 22-23 题为选考题）题为选考题） 17 （12 分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力 训练活动， 经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试， 并将其成绩分为 A、B、C、D、E 五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率） ：根据 以上抽样调查数据，回答下列问题： （1）试估算该校高三年级学生获得
26、成绩为 B 的人数； （2）若等级 A、B、C、D、E 分别对应 100 分、90 分、80 分、70 分、60 分，学校要求 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） 平均分达 90 分以上为“考前心理稳定整体过关” ，请问该校高三年级目前学生的“考前 心理稳定整体”是否过关？ （3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从 D、E 两种级别中，用分层抽样的方法 抽取 5 个学生样本，再从中任意选取 2 位学生样本分析，求事件“至少 1 位学生来自 D 级别”的概率 【解答】解： （1）从条形图中可知这 200 人中，有 112 名学生成绩等级为 B， 所以可以估计该校学生获
27、得成绩等级为 B 的概率为，112 200 = 14 25， 则该校高三年级学生获得成绩为 B 的人数约有1600 14 25 = 896， （2）这 200 名学生成绩的平均分为 91.3， 91.390，该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关 （3）由题可知用分层抽样的方法抽取 5 个学生样本，其中 D 级 3 个，E 级 2 个， 从而任意选取 2 个学生，共有 n= 5 2 =10 个基本事件 记事件“至少 1 位学生来自 D 级别”为 F， 则事件 F 包含基本事件个数 m= 3 2 + 3 121 =9， 事件“至少 1 位学生来自 D 级别”的概率为() = 9 10
28、18 （12 分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，若 a11，a2a416 （1）设 bnlog2an，求数列bn的通项公式； （2）求数列anbn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）a11，a2a416 由等比数列的性质可得，a2a4a3216 且 an0 a34， q2= 3 1 =4， q2，q2（舍去） ， 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） an2n 1， bnlog2an， bnn1； （2）由（1）可知 anbn（n1） 2n 1， Sn020+121+222+（n1） 2n 1， 2Sn021+122+223+（n1） 2n， 两式相减可得，
29、Sn2+22+23+2n 1（n1） 2n=22 12 （n1） 2n2n（2n） 2， Sn（n2）2n+2 19 （12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，底面 ABCD 是矩形，EF BC （1）证明：EF平面 ABCD； （2）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中所示的五面体 ABCDEF 为“刍 甍” （chmng） ，书中将刍甍 ABCDEF 的体积求法表述为： 术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一 其意思是：若刍甍 ABCDEF 的“下袤”BC 的长为 a， “上袤”EF 的长为 b， “广”AB 的 长为 c， “高”即“点 F 到平
30、面 ABCD 的距离”为 h，则刍甍 ABCDEF 的体积 V 的计算公 式为： = 1 6(2 + )，证明该体积公式 【解答】证明： （1）ABCD 是矩形，BCAD， 又AD平面 ADEF，BC平面 ADEF，BC平面 ADEF， 又BC平面 BCEF，平面 ADEF平面 BCEFEF，BCEF， 又BC平面 ABCD， EF平面 ABCD，EF平面 ABCD 关注公众号品数学 高中数学资料共享群（284117036） （2）设 G，H 分别是棱 BC，AD 上的点，且满足 GCHDEF， 连接 FG，FH，GH由第（1）问的证明知，GCHDEF， 四边形 GCEF 和 GCDH 为平行
31、四边形GFCE，GHCD， 又 CDCEC，平面 GHFCDE，多面体 CDEGHF 为三棱柱 刍甍 ABCDEF 可别分割成四棱锥 FABGH 和三棱柱 CDEGHF 由题意知，矩形 ABGH 中，BGBCCGBCEFab，ABc， 矩形 ABGH 的面积 SABGH（ab）c， 又四棱锥 FABGH 的高，即“点 F 到平面 ABCD 的距离”为 h， 四棱锥 FABGH 的体积;= 1 3 = 1 3 ( )； 三棱柱 CDEGHF 的体积可以看成是以矩形 GCDH 为底， 以点 F 到平面 ABCD 的距离 h 为高的四棱柱体积的一半 又矩形 GCDH 的面积 SABGHbc， 三棱柱 CDEGHF 的体积;= 1 2 = 1 2 刍甍 ABCDEF 的体积：VVFABGH+VCDEGHF= 1 3( ) + 1 2 = ( 3 + 2) = 1 6(2 + ) 刍甍 ABCDEF 体积公式得证
