1、函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 考试要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 1函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶 函数 都有 f(x)f(x)，那么函 数 f(x)是奇函数 图象特征 关于 y 轴对称 关于原点对称 提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 (2)若 f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： f(x)为奇函数f(x)f(x)f(
2、x)f(x)0fx fx 1. f(x)为偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)0fx fx 1. 2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 yf(x)， 如果存在一个非零常数 T， 使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数 就叫做 f(x)的最小正周期 提醒：若 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数 f(x)的周期 常用结论 1函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x0
3、处有定义，那么一定有 f(0)0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|) (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对 称的区间上具有相反的单调性 (4)若 yf(xa)是奇函数，则 f(xa)f(xa)；若 yf(xa)是偶函数， 则 f(xa)f(xa) 2周期性的几个常用结论 对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x，周期为 T，则 (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0)； (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0)； (3)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) 3函数的图象的对称性 (1)函数 yf(x)，若其
4、图象关于直线 xa 对称(a0 时，f(x)为偶函数)，则 f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)；f(2ax)f(x) (2)函数 yf(x)，若其图象关于点(a,0)中心对称(a0 时，f(x)为奇函数)，则 f(ax)f(ax)；f(2ax)f(x)； f(2ax)f(x) (3)函数 yf(x)，若其图象关于点(a，b)中心对称，则 f(ax)f(ax)2b；f(2ax)f(x)2b；f(2ax)f(x)2b. (4)函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 xa 对称，则 g(x)f(2ax) (5)函数 f(x)与 g(x)的图象关于直线 ya 对称，则 g(x)2af(x)
5、一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 yx2，x(0，)是偶函数 ( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点 ( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 ( ) (4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)， 则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函 数 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1下列函数中为偶函数的是( ) Ayx3 Byx2 Cy|ln x| Dy2 x B A 为奇函数，C，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选 B 2已知函数 f(x)是定义在 R
6、上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x(1x)，则 f( 1)_. 2 f(1)122， 又 f(x)为奇函数， f(1)f(1)2. 3设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f(x) 4x22，1x0， x，0 x1， 则 f 3 2 _. 1 f 3 2 f 1 2 4 1 2 2 21. 4.设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图所示， 则不等式 f(x)0 的解集为_ (2,0)(2,5 由图象可知，当 0 x2 时，f(x)0； 当 2x5 时，f(x)0， 又 f(x)是奇函数， 当2x0 时，f(x)0，当5x2 时
7、，f(x)0. 综上，f(x)0 的解集为(2,0)(2,5 考点一 函数奇偶性的判断 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇 偶奇 典例 1 (1)设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 则下列结论中正确的是( ) Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 (2)判断下列函数的奇偶性： f(x)3x2x23； f(x)lg1x 2 |x2|2； f(x) x2x，x0， x2x，x
8、0. (1)C 令 F1(x)f(x) g(x)， 则 F1(x)f(x) g(x)f(x) g(x) F1(x)， f(x)g(x)为奇函数，故 A 错误 令 F2(x)|f(x)|g(x)，则 F2(x)|f(x)|g(x) |f(x)|g(x)F2(x)，F2(x)为偶函数，故 B 错误 令 F3(x)f(x)|g(x)|，则 F3(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F3(x)，F3(x) 为奇函数，故 C 正确 令 F4(x)|f(x)g(x)|， 则 F4(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|F4(x)， F4(x)为偶函 数，故 D 错误 (2)解 由 3x20，
9、x230， 得 x23，解得 x 3， 即函数 f(x)的定义域为 3， 3， 从而 f(x)3x2x230. 因此 f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 由 1x20， |x2|2， 得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，x20，|x 2|2x，f(x)lg1x 2 x . 又f(x)lg1x 2 x lg1x 2 x f(x)， 函数 f(x)为奇函数 显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x) 综上可知：对
10、于定义域内的任意 x，总有 f(x)f(x)成立，函数 f(x)为奇 函数 点评：(1)本例 T(2)第小题求出定义域后，利用定义域去掉绝对值号是解题的 关键 (2)yln1x 1x，ylg( x21x)都是奇函数 跟进训练 1下列函数既是奇函数又是增函数的是( ) Ayx21 By1x 1x Cy1 x Dyx|x| D 对于 A，f(x)(x)21x21f(x)，函数 f(x)是偶函数，不是奇 函数，排除 A 对于 B，函数的定义域为(，1)(1，)，函数为非奇非偶函数， 排除 B 对于 C，函数是奇函数，但在定义域(，0)(0，)上不是增函数，排 除 C 对于 D，f(x)x|x|x|x
11、|f(x)，函数为奇函数，又 yx|x| x2，x0 x2，x0 ，则函数为增函数，故选 D 2设函数 f(x)e xex 2 ，则下列结论错误的是( ) A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数 D f(x)e xex 2 ， 则 f(x)e xex 2 f(x) f(x)是奇函数 f(|x|)f(|x|)， f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数 考点二 函数奇偶性的应用 已知函数奇偶性可以解决的三个问题 利用函数的奇偶性求值 典例 21 (1)(2019 全国卷)已知 f(x)是奇函数， 且当 x0 时， f(
12、x)eax. 若 f(ln 2)8，则 a_. (2)(2018 全国卷)已知函数 f(x)ln(1x2x)1，f(a)4，则 f(a) _. (1)3 (2)2 (1)法一：由 x0 可得x0，由 f(x)是奇函数可知 f(x) f(x)， x0 时，f(x)f(x)ea( x)eax， 则 f(ln 2)e aln 28， aln 2ln 83ln 2，a3. 法二：由 f(x)是奇函数可知 f(x)f(x)，f(ln 2)f ln 1 2 (e aln 1 2) 8，aln 1 2ln 83ln 2，a3. (2)f(a)f(a)ln( 1a2a)1ln( 1a2a)1 ln(1a2a2
13、)22. f(a)2f(a)242. 点评：本例 T(2)中含有奇函数的解析式，解答此类题目时可先求 f(x)f(x) 的值，再求所求 求函数解析式 典例 22 (2019 全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则 当 x0 时，f(x)( ) Ae x1 Be x1 Ce x1 De x1 D 当 x0， 当 x0 时，f(x)ex1，f(x)e x1. 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)e x1. 故选 D 点评：先设 x 为待求区间上的任意量，然后将x 转化到已知区间上，从而求 出 f(x)，然后利用奇偶性求 f(x) 利用奇偶性求参数的值 典例 23 若函数
14、f(x) k2x 1k 2x在定义域上为奇函数，则实数 k_. 1 法一：(定义法)因为函数 f(x) k2x 1k 2x在定义域上为奇函数，所以 f(x) f(x)，即 k2 x 1k 2 x k2x 1k 2x， 化简得(k21)(22x1)0， 即 k210，解得 k 1，经检验 k 1 时，函数 f(x)为奇函数 法二： (特值法)因为函数f(x) k2x 1k 2x为奇函数， 所以f(1)f(1)， 即 k2 1 1k 2 1 k2 12k， 即2k1 2k 2k 2k1.整理得 k 21，解得 k 1.经检验，当 k 1 时，函数 f(x)为 奇函数 点评： 已知函数的奇偶性求参数
15、， 主要方法有两个： 一是利用 f(x)f(x)(奇 函数)或 f(x)f(x)(偶函数)在定义域内恒成立求解；二是利用特殊值求解，奇函 数一般利用 f(0)0 求解，偶函数一般利用 f(1)f(1)求解用两种方法求得参数 后，一定要注意验证 跟进训练 1函数 f(x) 4xt， x0， gx， x0， 为定义在 R 上的奇函数，则 f(log2 1 3)等于 ( ) A2 3 B9 C8 D 1 3 C 由 f(0)40t0 得 t1. 则 f(log2 1 3)f(log2 3)f(log2 3)(4 log2 3 1)2 log2 9 18.故选 C 2已知函数 f(x)x3sin x1
16、(xR)，若 f(a)2，则 f(a)_. 0 设 F(x)f(x)1x3sin x，显然 F(x)为奇函数 又 F(a)f(a)11，所以 F(a)f(a)11，从而 f(a)0. 3函数 f(x)1 xlog2 1ax 1x 为奇函数，则实数 a_. 1 函数 f(x)1 xlog2 1ax 1x 为奇函数，f(x)f(x)0. 即1 xlog2 1ax 1x 1 xlog2 1ax 1x 0， 即 log2 1ax 1x 1ax 1x 0. 1ax 1x 1ax 1x 1a 2x2 1x2 1，则 1a2x21x2，a21，即 a 1. 当 a1 时，f(x)1 xlog2 1x 1x，
17、 则 f(x)的定义域为x|x0 且 x1， 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意； 当 a1 时，f(x)1 xlog2 1x 1x，定义域为x|1x1 且 x0，满足题意， a1. 考点三 函数的周期性、图象的对称性及应用 1.函数周期性的判断与应用 2函数图象的对称性的判断与应用 典例 3 (1)(2020 南昌模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(4 x)f(x)，当 0 x2 时，f(x)2x 2x，则 f(5)( ) A3 B3 C7 D7 (2)设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x1)，且当 x0,2)时，f(x)2x x
18、2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 021)_. (1)D (2)1 011 (1)法一：(利用对称性)：由 f(4x)f(x)得函数 f(x)的图象关 于直线 x2 对称，则 f(5)f(1)，又函数 f(x)是奇函数，则 f(5)f(1)f(1) (21 21)7，故选 D 法二：(利用等式转化)：由 f(4x)f(x)得 f(5)f4(1)f(1)f(1) (231)7.故选 D (2)由 f(x)f(x1)得 f(x2)f(x)， 所以函数 f(x)是周期为 2 的周期函数， 又 当 x0,2)时，f(x)2xx2， f(0)0，f(1)1. f(0)f(2)f(4)f(2 020
19、)0， f(1)f(3)f(5)f(2 021)1， f(0)f(1)f(2)f(2 021)1 011. 点评：当自变量较小时，可直接利用对称性或等式转化自变量，无需求出周 期 跟进训练 1已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2) 1 fx， 且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则 f(2 021)f(2 019)的值为( ) A0 B4 C2 D2 A 当 x0 时，f(x2) 1 fx，所以 f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个 周期所以 f(2 021)f(2 021)f(1)log2 21，f(2 019)f(3) 1 f
20、11，所 以 f(2 021)f(2 019)0.故选 A 2已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x) x2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 021)( ) A2 021 B0 C1 D1 C 由 f(x2)f(x)得 f(x4)f(x2)f(x)， 所以函数 f(x)是周期为 4 的 周期函数，又 f(x)是奇函数 所以 f(1)1，f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)1，f(4)f(0)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0， 所以 f(1)f(2)f(3)f(2 021)505f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)1， 故 选 C
