1、利用导数解决函数的极值、最值利用导数解决函数的极值、最值 考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数的极值与导数 条件 f (x0)0 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x) 0 x0附近的左侧 f (x)0，右侧 f (x) 0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 提醒： (1)函数 f (x)在 x0处有极值的必要不充分条件是 f (x0)0
2、， 极值点是 f (x) 0 的根，但 f (x)0 的根不都是极值点(例如 f (x)x3，f (0)0，但 x0 不是 极值点) (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点 2函数的最值与导数 (1)函数 f (x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 最大值和最小值 (2)求 yf (x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf (x)在(a，b)内的极值； 将函数 yf (x)的各极值与端点处的函数值 f (a)，f (b)比较，其中最大的一 个是最大值，最
3、小的一个是最小值 常用结论 1若函数 f (x)的图象连续不断，则 f (x)在a，b上一定有最值 2若函数 f (x)在a，b上是单调函数，则 f (x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f (x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数 的最值点 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (2)对可导函数 f (x)，f (x0)0 是 x0点为极值点的充要条件 ( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值 ( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1.函
4、数 f (x)的定义域为 R，导函数 f (x)的图象如图所示，则函数 f (x)( ) A无极大值点、有四个极小值点 B有三个极大值点、一个极小值点 C有两个极大值点、两个极小值点 D有四个极大值点、无极小值点 C 设 f (x)的图象与 x 轴的 4 个交点从左至右依次为 x1，x2，x3，x4. 当 xx1时，f (x)0，f (x)为增函数， 当 x1xx2时，f (x)0，f (x)为减函数，则 xx1为极大值点，同理，x x3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选 C 2设函数 f (x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f (x)的极大值点 Bx1 2为 f (x)的极
5、小值点 Cx2 为 f (x)的极大值点 Dx2 为 f (x)的极小值点 D f (x) 2 x2 1 x x2 x2 (x0)， 当 0 x2 时，f (x)0，当 x2 时，f (x)0， 所以 x2 为 f (x)的极小值点 3函数 f (x)ln xx 在区间(0，e上的最大值为_ 1 f (x)1 x1，令 f (x)0 得 x1. 当 x(0,1)时，f (x)0；当 x(1，e时，f (x)0. 当 x1 时，f (x)取得最大值，且 f (x)maxf (1)ln 111. 4函数 f (x)x312x 的极小值为_，极大值为_ 16 16 f (x)3x212，令 f (x
6、)0，即 3x2120 解得 x 2，当 x2 时，f (x)0，当2x2 时，f (x)0，当 x2 时， f (x)0， 因此 x2 是极大值点，x2 是极小值点，f (x)极大f (2)(2)312( 2)16，f (x)极小f (2)2312216. 考点一 利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 根据函数图象求值问题 典例 11 函数 f (x)x3bx2cxd 的大致图象如图所示，则 x 2 1x 2 2等于 ( ) A8 9 B 10 9 C16 9 D28 9 C 因为函数 f (x)的图象过原点，所以 d0.又 f (1)0 且 f (2)0，即1 b
7、c0 且 84b2c0，解得 b1，c2，所以函数 f (x)x3x22x， 所以 f (x)3x22x2.由题意知 x1，x2是函数 f (x)的极值点，所以 x1，x2是 f (x) 0 的两个根， 所以 x1x22 3， x1x2 2 3， 所以 x 2 1x 2 2(x1x2)22x1x24 9 4 3 16 9 ， 故选 C 点评：可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点 还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号 求已知函数的极值 典例 12 已知函数 f (x)(x2)(exax)，当 a0 时，讨论 f (x)的极值情 况 解 f (x)(exax)(x2
8、)(exa) (x1)(ex2a)， 由 f (x)0 得 x1 或 xln 2a(a0) 当 ae 2时，f (x)(x1)(e xe)0， f (x)在 R 上单调递增，故 f (x)无极值 当 0ae 2时，ln 2a1，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x (，ln 2a) ln 2a (ln 2a,1) 1 (1，) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 故 f (x)有极大值 f (ln 2a)a(ln 2a2)2，极小值 f (1)ae. 当 ae 2时，ln 2a1，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (
9、1，ln 2a) ln 2a (ln 2a，) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 故 f (x)有极大值 f (1)ae， 极小值 f (ln 2a)a(ln 2a2)2. 综上，当 0ae 2时，f (x)有极大值a(ln 2a2) 2，极小值 ae； 当 ae 2时，f (x)无极值； 当 ae 2时，f (x)有极大值 ae，极小值a(ln 2a2) 2. 点评：求极值时，要注意 f (x)0 的根是否在定义域内 已知函数极值求参数的值或范围 典例 13 (1)已知 f (x)x33ax2bxa2在 x1 时有极值 0，则 ab _. (2)设函数 f (x)ax2(3a1
10、)x3a2ex.若 f (x)在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围 (1)7 由题意得 f (x)3x26axb，则 a23ab10， b6a30， 解得 a1， b3， 或 a2， b9， 经检验当 a1，b3 时，函数 f (x)在 x1 处无法取得极值， 而 a2，b9 满足题意， 故 ab7. (2)解 由 f (x)ax2(3a1)x3a2ex，得 f (x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex. 若 a1，则当 x 1 a，1 时，f (x)0； 当 x(1，)时，f (x)0. 所以 f (x)在 x1 处取得极小值 若 a1，则当 x(0,1)时，ax1x10，
11、 所以 f (x)0. 所以 1 不是 f (x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是(1，) 点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数 法求解 (2)验证：因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以利 用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟进训练 1已知函数 f (x)x(xc)2在 x2 处有极小值，则实数 c 的值为( ) A6 B2 C2 或 6 D0 B 由 f (2)0 可得 c2 或 6.当 c2 时，结合图象(图略)可知函数先增后减 再增，在 x2 处取得极小值；当 c6 时，结
12、合图象(图略)可知，函数在 x2 处 取得极大值故选 B 2 已知三次函数 f (x)ax3bx2cxd 的图象如图所示， 则f 0 f 1_. 1 f (x)3ax22bxc，由图象知，方程 f (x)0 的两根为1 和 2，则有 2b 3a12， c 3a12， 即 3a2b0， 6ac0， f 0 f 1 c 3a2bc c c1. 3(2019 江苏高考节选)设函数 f (x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f (x) 为 f (x)的导函数，若 ab，bc，且 f (x)和 f (x)的零点均在集合3,1,3中，求 f (x)的极小值 解 因为 bc，所以 f (x)(xa)
13、(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2， 从而 f (x)3(xb) x2ab 3 . 令 f (x)0，得 xb 或 x2ab 3 . 因为 a，b，2ab 3 都在集合3,1,3中，且 ab， 所以2ab 3 1，a3，b3. 此时，f (x)(x3)(x3)2，f (x)3(x3)(x1) 令 f (x)0，得 x3 或 x1. 列表如下： x (，3) 3 (3,1) 1 (1，) f (x) 0 0 f (x) 极大值 极小值 所以 f (x)的极小值为 f (1)(13)(13)232. 考点二 利用导数求函数的最值 1求函数 f (x)在a，b上的最大值和最小值的步骤
14、2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研 究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观 察得到函数的最值 典例 2(2020 青岛模拟)已知函数 f (x)excos xx. (1)求曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程； (2)求函数 f (x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解 (1)因为 f (x)excos xx，所以 f (x)ex(cos xsin x)1，f (0)0. 又因为 f (0)1，所以曲线 yf (x)在点(0，f (0)处的切线方程为 y1. (2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，
15、则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x 0， 2 时，h(x)0，所以 h(x)在区间 0， 2 上单调递减 所以对任意 x 0， 2 ，有 h(x)h(0)0，即 f (x)0. 所以函数 f (x)在区间 0， 2 上单调递减 因此 f (x)在区间 0， 2 上的最大值为 f (0)1，最小值为 f 2 2. 点评：当导函数 yf (x)无法判断正负时，可令 g(x)f (x)再求 g(x)，先判断 g(x)f (x)的单调性，再根据单调性确定 yf (x)的正负号 跟进训练 已知函数 f (x)ln xax(aR) (1)求函数 f (x
16、)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f (x)在1,2上的最小值 解 (1)f (x)1 xa(x0)， 当 a0 时，f (x)1 xa0，即函数 f (x)的单调递增区间为(0，) 当 a0 时，令 f (x)1 xa0，可得 x 1 a， 当 0 x1 a时，f (x) 1ax x 0； 当 x1 a时，f (x) 1ax x 0， 故函数 f (x)的单调递增区间为 0，1 a ， 单调递减区间为 1 a， . 综上可知，当 a0 时，函数 f (x)的单调递增区间为(0，)； 当 a0 时，函数 f (x)的单调递增区间为 0，1 a ， 单调递减区间为 1 a， . (2)
17、当 01 a1，即 a1 时，函数 f (x)在区间1,2上是减函数，所以 f (x) 的最小值是 f (2)ln 22a. 当1 a2，即 0a 1 2时，函数 f (x)在区间1,2上是增函数，所以 f (x)的最 小值是 f (1)a. 当 11 a2，即 1 2a1 时，函数 f (x)在 1，1 a 上是增函数，在 1 a，2 上是 减函数 又 f (2)f (1)ln 2a， 所以当1 2aln 2 时，最小值是 f (1)a； 当 ln 2a1 时，最小值为 f (2)ln 22a. 综上可知， 当 0aln 2 时，函数 f (x)的最小值是 f (1)a； 当 aln 2 时
18、，函数 f (x)的最小值是 f (2)ln 22a. 考点三 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问 题中变量之间的函数关系式 yf (x) (2)求函数的导数 f (x)，解方程 f (x)0. (3)比较函数在区间端点和 f (x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值 (4)回归实际问题，结合实际问题作答 典例 3(2020 江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面 图如图所示：谷底 O 在水平线 MN 上，桥 AB 与 MN 平行，OO为铅垂线(O在 A
19、B 上) 经测量， 左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h1(米)与 D 到 OO的距离 a(米) 之间满足关系式 h1 1 40a 2；右侧曲线 BO 上任一点 F 到 MN 的距离 h2(米)与 F 到 OO的距离 b(米)之间满足关系式 h2 1 800b 36b.已知点B到OO的距离为 40米 (1)求桥 AB 的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于 OO的桥墩 CD 和 EF， 且 CE 为 80 米， 其中 C， E 在 AB 上(不包括端点)桥墩 EF 每米造价 k(万元)，桥墩 CD 每米造价3 2k(万元)(k 0)，问 OE 为多少米时，桥墩 CD 与 EF
20、的总造价最低？ 解 (1)如图，设 AA1，BB1，CD1，EF1都与 MN 垂直，A1，B1，D1，F1是相 应垂足由条件知，当 OB40 时，BB1 1 80040 3640160，则 AA1160. 由 1 40OA 2160， 得 OA80. 所以 ABOAOB8040120(米) (2)以 O 为原点，OO为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy(如图所示) 设 F(x，y2)，x(0,40)，则 y2 1 800 x 36x， EF160y2160 1 800 x 36x. 因为 CE80，所以 OC80 x. 设 D(x80，y1)，则 y1 1 40(80 x) 2， 所以 CD1
21、60y1160 1 40(80 x) 21 40 x 24x. 记桥墩 CD 和 EF 的总造价为 f (x)， 则 f (x)k 160 1 800 x 36x 3 2k 1 40 x 24x k 1 800 x 33 80 x 2160 (0 x40) f (x)k 3 800 x 23 40 x 3k 800 x(x20)， 令 f (x)0，得 x20. x (0,20) 20 (20,40) f (x) 0 f (x) 极小值 所以当 x20 时，f (x)取得最小值 答：(1)桥 AB 的长度为 120 米； (2)当 OE 为 20 米时，桥墩 CD 和 EF 的总造价最低 点评
22、：实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需 要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据 f (x)0 求出极值点(注意根据实际 意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极 小值就是所求函数的最小值 跟进训练 某市自来水厂向全市生产与生活供水， 蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨 0 点时 将会有水 15 千吨，水厂每小时向池中注水 2 千吨，同时从池中向全市供水，若已 知 x(0 x24)小时内供水总量为 10 x千吨，且当蓄水量少于 3 千吨时，供水就会 出现紧张现象 (1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？ (2)若将每小时向池内注水 2
23、千吨改为每小时向池内注水 a(a2)千吨，求 a 的 最小值，使得供水紧张现象消除 解 (1)设 x 小时后的蓄水池水量为 y 千吨，则 y152x10 x(0 x24)， 当供水出现紧张现象时，y3，即 152x10 x3，解得：2 x3，4 x9. 一天内将在 4 点到 9 点时间段内出现供水紧张现象 (2)设 x 小时后的水池蓄水量关于 x 的函数为 f (x)， 则 f (x)15ax10 x(0 x24)， 若无供水紧张现象，则 f (x)3 在0,24上恒成立， a10 x12 x 在(0,24上恒成立， 设 g(x)10 x12 x (0 x24)，则 g(x)125 x x2 ， 当 0 x144 25 时，g(x)0，当144 25 x24 时，g(x)0， g(x)在 0，144 25 上单调递增，在 144 25 ，24 上单调递减， 当 x144 25 时，g(x)取得最大值 g 144 25 25 12. a 的最小值为25 12.
