1、利用导数解决函数的单调性问题利用导数解决函数的单调性问题 考试要求 1.了解函数的单调性和导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不会超过三次) 函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数 yf (x) 在区间(a，b) 上可导 f (x)0 f (x)在(a，b)内单调递增 f (x)0 f (x)在(a，b)内单调递减 f (x)0 f (x)在(a，b)内是常数函数 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时， 要坚持“定义域优先”原则 常用结论 1在某区间内 f (x)0(f (x)0)是函数 f (x)在此区间上为增
2、(减)函数的充分 不必要条件 2可导函数 f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有 f (x)0(f (x)0)且 f (x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)在(a，b)内 f (x)0，且 f (x)0 的根有有限个，则 f (x)在(a，b)内是减函 数 ( ) (2)若函数 f (x)在定义域上都有 f (x)0，则函数 f (x)在定义域上一定单调递 减 ( ) (3)已知函数 f (x)在区间a，b上单调递增，则 f (x)0 恒成立 ( ) 答案 (1) (2) (3) 二、教材习题衍生 1
3、.如图是函数 yf (x)的导函数 yf (x)的图象，则下面判断正确的是( ) A在区间(3,1)上 f (x)是增函数 B在区间(1,3)上 f (x)是减函数 C在区间(4,5)上 f (x)是增函数 D在区间(3,5)上 f (x)是增函数 C 由图象可知，当 x(4,5)时，f (x)0，故 f (x)在(4,5)上是增函数 2函数 f (x)cos xx 在(0，)上的单调性是( ) A先增后减 B先减后增 C增函数 D减函数 D 因为 f (x)sin x10 在(0，)上恒成立， 所以 f (x)在(0，)上是减函数，故选 D 3函数 f (x)xln x 的单调递减区间为_
4、(0,1 函数 f (x)的定义域为x|x0，由 f (x)11 x0，得 0 x1， 所以函数 f (x)的单调递减区间为(0,1 4已知 f(x)x3ax 在1，)上是增函数，则实数 a 的最大值是_ 3 f (x)3x2a0，即 a3x2， 又因为 x1， )，所以 a3，即 a 的最大值是 3. 考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数 f (x)的定义域 (2)求 f (x) (3)在定义域内解不等式 f (x)0，得单调递增区间 (4)在定义域内解不等式 f (x)0，得单调递减区间 1已知函数 f (x)x22cos x，若 f (x)是 f (x)的
5、导函数，则函数 f (x)的图象 大致是( ) A B C D A 设 g(x)f (x)2x2sin x，则 g(x)22cos x0. 所以函数 f (x)在 R 上单调递增，故选 A 2(2020 河北九校联考)函数 yx3 x2ln x 的单调递减区间是( ) A(3,1) B(0,1) C(1,3) D(0,3) B y1 3 x2 2 x x22x3 x2 (x0)， 令 y0 得 x22x30 x0 ，解得 0 x1，故选 B 3(2019 天津高考改编)函数 f (x)excos x 的单调递增区间为_ 2k3 4，2k 4 (kZ) f (x)excos xexsin xex
6、(cos xsin x)， 令 f (x)0 得 cos xsin x， 2k3 4x2k 4，kZ， 即函数 f (x)的单调递增区间为 2k3 4，2k 4 (kZ) 点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶 导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升 与下降 (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错 考点二 含参数的函数的单调性 解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨 论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为
7、 0 的点 和函数的间断点 典例 1 已知函数 f (x)ex(exa)a2x. (1)讨论 f (x)的单调性； (2)若 f (x)0，求 a 的取值范围 解 (1)函数 f (x)的定义域为(，)， f (x)2e2xaexa2(2exa)(exa) 若 a0，则 f (x)e2x在(，)上单调递增 若 a0，则由 f (x)0 得 xln a. 当 x(，ln a)时，f (x)0； 当 x(ln a，)时，f (x)0. 故 f (x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增 若 a0，则由 f (x)0 得 xln a 2 . 当 x ，ln a 2 时，f (x)
8、0； 当 x ln a 2 ， 时，f (x)0. 故 f (x)在 ，ln a 2 上单调递减， 在 ln a 2 ， 上单调递增 (2)若 a0，则 f (x)e2x，所以 f (x)0. 若 a0，则由(1)得，当 xln a 时，f (x)取得最小值，最小值为 f (ln a) a2ln a， 从而当且仅当a2ln a0，即 0a1 时，f (x)0. 若 a0，则由(1)得，当 xln a 2 时，f (x)取得最小值， 最小值为 f ln a 2 a2 3 4ln a 2 ，从而当且仅当 a2 3 4ln a 2 0， 即2e 3 4a0 时，f (x)0. 综上，a 的取值范围是
9、2e 3 4，1 点评：要使 f (x)0，只需 f (x)min0；要使 f (x)0，只需 f (x)max0. 跟进训练 已知函数 f (x)ln xax2(2a1)x.若 a0，试讨论函数 f (x)的单调性 解 因为 f (x)ln xax2(2a1)x， 所以 f (x)2ax 22a1x1 x 2ax1x1 x ， 由题意知函数 f (x)的定义域为(0，)， 令 f (x)0 得 x1 或 x 1 2a， (1)若 1 2a1，即 a 1 2， 由 f (x)0 得 x1 或 0 x 1 2a， 由 f (x)0 得 1 2ax1， 即函数 f (x)在 0， 1 2a ， (
10、1， )上单调递增， 在 1 2a，1 上单调递减； (2)若 1 2a1，即 0a 1 2，由 f (x)0 得 x 1 2a或 0 x1， 由 f (x)0 得 1x 1 2a，即函数 f (x)在(0,1)， 1 2a， 上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减； (3)若 1 2a1，即 a 1 2，则在(0，)上恒有 f (x)0， 即函数 f (x)在(0，)上单调递增 综上可得：当 0a1 2时，函数 f (x)在(0,1)上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递 减，在 1 2a， 上单调递增； 当 a1 2时，函数 f (x)在(0，)上单调递增； 当 a1 2时，函数 f
11、 (x)在 0， 1 2a 上单调递增，在 1 2a，1 上单调递减，在(1， )上单调递增 考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间 D 上单调，实际上就是在该区间上 f (x)0(或 f (x)0) 恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“”是否可以取到 (2)可导函数在区间 D 上存在单调区间，实际上就是 f (x)0(或 f (x)0)在该 区间上存在解集，即 f (x)max0(或 f (x)min0)在该区间上有解，从而转化为不等 式问题，求出参数的取值范围 (3)若已知 f (x)在区间 D 上的单调性，区间
12、端点含有参数时，可先求出 f (x) 的单调区间，令 D 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围 典例 2 已知函数 f (x)ln x，g(x)1 2ax 22x(a0) (1)若函数 h(x)f (x)g(x)存在单调递减区间，求 a 的取值范围； (2)若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上单调递减，求 a 的取值范围 解 (1)h(x)ln x1 2ax 22x，x(0，)， 所以 h(x)1 xax2，由于 h(x)在(0，)上存在单调递减区间， 所以当 x(0，)时，1 xax20 有解， 即 a 1 x2 2 x有解 设 G(x) 1 x2 2 x， 所以只要 aG(x
13、)min即可 而 G(x) 1 x1 2 1， 所以 G(x)min1. 所以 a1 且 a0，即 a 的取值范围是(1,0)(0，) (2)由 h(x)在1,4上单调递减得， 当 x1,4时，h(x)1 xax20 恒成立， 即 a 1 x2 2 x恒成立 所以 aG(x)max，而 G(x) 1 x1 2 1， 因为 x1,4，所以1 x 1 4，1 ， 所以 G(x)max 7 16(此时 x4)， 所以 a 7 16且 a0，即 a 的取值范围是 7 16，0 (0，) 母题变迁 1本例条件不变，若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上存在单调递减区间，求 a 的取值范围 解 h(
14、x)在1,4上存在单调递减区间， 则 h(x)0 在1,4上有解， 所以当 x1,4时，a 1 x2 2 x有解， 又当 x1,4时， 1 x2 2 x min1， 所以 a1 且 a0，即 a 的取值范围是(1,0)(0，) 2本例条件不变，若函数 h(x)f (x)g(x)在1,4上不单调，求 a 的取值范 围 解 因为 h(x)在1,4上不单调， 所以 h(x)0 在(1,4)上有解， 即 a 1 x2 2 x有解， 令 m(x) 1 x2 2 x，x(1,4)， 则1m(x) 7 16， 所以实数 a 的取值范围为 1， 7 16 . 点评： 注意区分在区间a， b上单调递增(减)和在
15、区间a， b上存在单调递增(减) 区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解 跟进训练 已知函数 f (x)ln x，g(x)1 2axb. (1)若 f (x)与 g(x)的图象在 x1 处相切，求 g(x)； (2)若 (x)mx1 x1 f (x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围 解 (1)由已知得 f (x)1 x， 所以 f (1)11 2a，所以 a2. 又因为 g(1)1 2abf (1)0，所以 b1.所以 g(x)x1. (2)因为 (x)mx1 x1 f (x)mx1 x1 ln x 在1，)上是减函数 所以 (x)x 22m2x1 xx12 0
16、 在1，)上恒成立， 即 x2(2m2)x10 在1，)上恒成立， 则 2m2x1 x，x1，)， 因为 x1 x2，当且仅当 x1 时取等号， 所以 2m22，即 m2. 故实数 m 的取值范围是(，2 考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小 一般地，在不等式中若同时含有 f (x)与 f (x)，常需要通过构造含 f (x)与另一 函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果 常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x)g(x)F(x)f (x)g(x)； (2)xf (x)f (x)xf (x)； (3)xf (x)f (x) f x x ； (4
17、)f (x)f (x)exf (x)； (5)f (x)f (x) f x ex . 比较大小 典例 31 (1)已知定义域为 R 的奇函数 yf (x)的导函数为 yf (x)，当 x 0 时，xf (x)f (x)0，若 af e e ，bf ln 2 ln 2 ，cf 3 3 ，则 a，b，c 的大 小关系正确的是( ) Aabc Bbca Cacb Dcab (2)已知函数 yf (x)对于任意的 x 0， 2 满足 f (x) cos xf (x)sin x1ln x， 其中 f (x)是函数 f (x)的导函数，则下列不等式成立的是( ) A 2f 3 f 4 B 2f 3 f 4
18、 C 2f 6 3f 4 D 2f 3 f 6 (1)D (2)B (1)设 g(x)f x x ，则 g(x)xf xf x x2 ， 当 x0 时，xf (x)f (x)0，则 g(x)xf xf x x2 0， 即函数 g(x)在 x(0，)时为减函数 由函数 yf (x)为奇函数知 f (3)f (3)，则 cf 3 3 f 3 3 . af e e g(e)，bf ln 2 ln 2 g(ln 2)，cf 3 3 g(3) 且 3eln 2， g(3)g(e)g(ln 2)， 即 cab，故选 D (2)设 g(x)f x cos x，则 g(x) f xcos xf xsin x
19、cos2x 1ln x cos2x ，x 0， 2 . 令 g(x)0 得 x1 e，当 x 0，1 e 时 g(x)0，函数 g(x)单调递减， 当 x 1 e， 2 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增 1 e 6 4 3 2， g 6 g 4 g 3 ， 即 f 3 1 2 f 4 2 2 f 6 3 2 ， 化简得 2f 3 f 4 ， 3f 3 f 6 ， 3f 4 2f 6 ，故选 B 解不等式 典例 32 (1)已知函数 f (x)的定义域为 R， f (1)2， 且对任意 xR， f (x) 2，则 f (x)2x4 的解集为( ) A(1,1) B(1，) C(，1) D(
20、，) (2)已知函数 f (x)x32xex 1 ex，其中 e 是自然对数的底数若 f (a1)f (2a2)0，则实数 a 的取值范围是_ (1)B (2) 1，1 2 (1)由 f (x)2x4，得 f (x)2x40.设 F(x)f (x) 2x4，则 F(x)f (x)2.因为 f (x)2，所以 F(x)0 在 R 上恒成立，所以 F(x) 在 R 上单调递增又 F(1)f (1)2(1)42240，故不等式 f (x) 2x40 等价于 F(x)F(1)，所以 x1，故选 B (2)因为 f (x)x32x 1 exe xf (x)， 所以函数 f (x)是奇函数 因为 f (x
21、) 3x22exe x3x222 ex ex0，所以函数 f (x)在 R 上单调递增 又 f (a1)f (2a2)0，所以 f (2a2)f (1a)，所以 2a21a，即 2a2a 10，解得1a1 2， 故实数 a 的取值范围为 1，1 2 . 点评：构造函数 F(x)，把所求不等式转化为 F(a)F(b)或 F(a)F(b)的形式， 然后根据 F(x)的单调性得到 ab 或 ab. 跟进训练 1已知 f (x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为 f (x)，且不等式 xf (x)2f (x)恒成立，则( ) A4f (1)f (2) B4f (1)f (2) Cf (1)4f
22、(2) Df (1)4f (2) B 令 g(x)f x x2 (x0)，则 g(x)xf x2f x x3 ， 由不等式 xf (x)2f (x)恒成立知 g(x)0，即 g(x)在(0，)是减函数， g(1)g(2)，即f 1 1 f 2 4 ，即 4f (1)f (2)，故选 B 2设 f (x)和 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，f (x)，g(x)分别为其 导数，当 x0 时，f (x)g(x)f (x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f (x)g(x)0 的解集是( ) A(3,0)(3，) B(3,0)(0,3) C(，3)(3，) D(，3)(0,3) D
23、令 h(x)f (x)g(x)，当 x0 时，h(x)f (x)g(x)f (x)g(x)0，则 h(x)在 (，0)上单调递增，又 f (x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 h(x)为奇函数，所以 h(x)在(0，)上单调递增又由 g(3)0，可得 h(3) h(3)0，所以当 x3 或 0 x3 时，h(x)0，故选 D 3已知 f (x)是定义在 R 上的连续函数 f (x)的导函数，若 f (x)2f (x)0， 且 f (1)0，则 f (x)0 的解集为( ) A(，1) B(1,1) C(，0) D(1，) A 设 g(x)f x e2x ，则 g(x)f
24、x2f x e2x 0 在 R 上恒成立，所以 g(x)在 R 上单调递减因为 f (x)0，所以 g(x)0，又 g(1)0，所以 x1. 备考技法 2 导数中的函数构造问题 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 利用 f (x)与 xn构造函数 1若 F(x)xnf (x)， 则 F(x)nxn 1f (x)xnf (x)xn1nf (x)xf (x)； 2若 F(x)f x xn ， 则 F(x)f xx nnxn1f x x2n xf xnf x xn 1； 由此得到结论： (1)出现 nf (x)xf (
25、x)形式，构造函数 F(x)xnf (x)； (2)出现 xf (x)nf (x)形式，构造函数 F(x)f x xn . 技法展示1 (1)已知偶函数 f (x)(x0)的导函数为 f (x)，且满足 f (1)0， 当 x0 时，2f (x)xf (x)，则使得 f (x)0 成立的 x 的取值范围是_ (2)设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f (x)xf (x)0，且 f (4) 0，则不等式 xf (x)0 的解集为_ (1)(1,0)(0,1) (2)(，(0,4) (1)构造 F(x)f x x2 ， 则 F(x)f x x2f x x3 ， 当 x0 时，x
26、f (x)2f (x)0，可以推出当 x0 时，F(x)0，F(x)在(0， )上单调递减f (x)为偶函数，x2为偶函数，F(x)为偶函数，F(x)在(， 0)上单调递增根据 f (1)0 可得 F(1)0，根据函数的单调性、奇偶性可得 函数图象如图所示，根据图象可知 f (x)0 的解集为(1,0)(0,1) (2)构造 F(x)xf (x)，则 F(x)f (x)xf (x)，当 x0 时，f (x)xf (x)0， 可以推出当 x0 时，F(x)0， F(x)在(，0)上单调递减f (x)为偶函数，x 为奇函数，F(x)为奇函 数，F(x)在(0，)上也单调递减根据 f (4)0 可得
27、 F(4)0，根据函数 的单调性、 奇偶性可得函数图象如图所示， 根据图象可知 xf (x)0 的解集为(， 4)(0,4) 评析 构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性，画出相应函 数的图象，再根据图象写出解集 技法应用 设 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (1)0，当 x0 时，有 xf (x)f (x)0 恒成立，则不等式 f (x)0 的解集为_ (，1)(1，) 构造 F(x)f x x ，则 F(x)f x xf x x2 ，当 x0 时， xf (x)f (x)0， 可以推出当 x0 时， F(x)0， F(x)在(， 0)上单调递增 f (x)为偶函数，x
28、 为奇函数，F(x)为奇函数， F(x)在(0，)上也单调递增根据 f (1)0 可得 F(1)0，根据函数的单 调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知 f (x)0 的解集为(，1)(1， ) 利用 f (x)与 ex构造函数 1若 F(x)enxf (x)， 则 F(x)n enxf (x)enxf (x)enxf (x)nf (x)； 2若 F(x)f x enx ， 则 F(x)f xe nxnenxf x e2nx f xnf x enx ； 由此得到结论： (1)出现 f (x)nf (x)形式，构造函数 F(x)enxf (x)； (2)出现 f (x)nf (x)形式，构造函数
29、 F(x)f x enx . 技法展示2 已知函数 f (x)在 R 上可导，其导函数为 f (x)，若 f (x)满足： (x1)f (x)f (x)0，f (2x)f (x) e2 2x，则下列判断一定正确的是( ) Af (1)f (0) Bf (2)e2f (0) Cf (3)e3f (0) Df (4)e4f (0) C 构造 F(x)f x ex ， 则 F(x)e xf xexf x e2x f xf x ex ， 导函数 f (x)满足(x1)f (x)f (x)0， 则 x1 时 F(x)0，F(x)在1，)上单调递增当 x1 时 F(x)0，F(x) 在(，1上单调递减又由
30、 f (2x)f (x)e2 2xF(2x)F(x)F(x)关于 x1 对称，从而 F(3)F(0)即f 3 e3 f 0 e0 ，f (3)e3f (0)，故选 C 评析 构造函数时，要注意 F(x)f x xn 与 F(x)f x enx ，F(x)xnf (x)与 F(x) enxf (x)的构造条件 技法应用 若定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x)2f (x)0，f (0)1，则不等式 f (x) e2x的解集为_ (0，) 构造 F(x)f x e2x ， 则 F(x)e 2xf x2e2xf x e4x f x2f x e2x ， 函数 f (x)满足 f (x)2f
31、(x)0， 则 F(x)0，F(x)在 R 上单调递增 又f (0)1，则 F(0)1，f (x)e2xf x e2x 1F(x)F(0)，根据单调性得 x 0. 利用 f (x)与 sin x，cos x 构造函数 sin x，cos x 因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，下面 是常考的几种形式 F(x)f (x)sin x，F(x)f (x)sin xf (x)cos x； F(x)f x sin x，F(x) f xsin xf xcos x sin2x ； F(x)f (x)cos x，F(x)f (x)cos xf (x)sin x； F(x)f x cos x，F
32、(x) f xcos xf xsin x cos2x . 技法展示3 已知函数 yf (x)对于任意的 x 2， 2 满足 f (x)cos xf (x)sin x0(其中 f (x)是函数 f (x)的导函数)，则下列不等式不成立的是( ) A 2f 3 f 4 B 2f 3 f 4 Cf (0) 2f 4 Df (0)2f 3 A 构造 F(x)f x cos x形式， 则 F(x)f xcos xf xsin x cos2x ，导函数 f (x)满足 f (x)cos xf (x)sin x0， 则 F(x)0，F(x)在 2， 2 上单调递增 F 4 F 3 ，即 f 4 cos 4
33、f 3 cos 3 ， 2f 3 f 4 ，故选 A 评析 准确记忆函数 F(x)f (x)sin x， F(x)f (x)cos x， F(x)f x sin x， F(x) f x cos x 的导数，是构造函数的前提 技法应用 定义在 0， 2 上的函数 f (x)，函数 f (x)是它的导函数，且恒有 f (x)f (x)tan x 成立，则( ) A 3f 4 2f 3 Bf (1)2f 2 sin 1 C 2f 6 f 4 D 3f 6 f 3 D f (x)f (x)tan xf (x)sin xf (x)cos x0， 令 F(x)f x sin x，则 F(x) f xsin
34、 xf xcos x sin2x 0， 即函数 F(x)在 0， 2 上是增函数， F 6 F 3 ，即 f 6 sin 6 f 3 sin 3 ， 3f 6 f 3 ，故选 D 构造具体函数关系式 这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题 技法展示4 已知 ， 2， 2 ，且 sin sin 0，则下列结论正确 的是( ) A B22 C D0 B 构造函数 f (x)xsin x， 则 f (x)sin xxcos x. 当 x 0， 2 时，f (x)0，f (x)是增函数， 当 x 2，0 时，f (x)0，f (x)是减函数， 又 f (x)
35、为偶函数， sin sin 0sin sin f ()f ()f (|)f (|)|2 2，故选 B 评析 认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的式子，结合 所求构造函数 技法应用 定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (1)1， 且对xR， f (x)1 2， 则不等式 f (log2x) log 2x1 2 的解集为_ (0,2) 构造函数 F(x)f (x)1 2x，则 F(x)f (x) 1 20， 函数 F(x)在 R 上是减函数 由 f (1)1，得 F(1)f (1)1 21 1 2 1 2， f (log2x)log 2x1 2 f (log2x)1 2log2x 1 2 F(log2x)F(1)log2x10 x2.
