1、平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理及坐标表示 考试要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 1平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2. (2)基底：不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y
2、2)，ab(x1x2，y1y2)， a(x1，y1)，|a| x21y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)， |AB | x2x12y2y12. 3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 a0，b0，a，b 共线x1y2x2y10. 常用结论 1若 a 与 b 不共线，且 ab0，则 0. 2已知 P 为线段 AB 的中点，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 P 点坐标为 x1x2 2 ，y 1y2 2 . 3已知ABC 的重心为 G，若 A
3、(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则 G x1x2x3 3 ，y 1y2y3 3 . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底 ( ) (2)在ABC 中，向量AB ，BC 的夹角为ABC ( ) (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的 ( ) (4)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，则向量1 2a 3 2b( ) A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1,2) D a(1,1)，b
4、(1，1)， 1 2a 1 2， 1 2 ，3 2b 3 2， 3 2 ， 1 2a 3 2b 1 2 3 2， 1 2 3 2 (1,2)，故选 D 2 若 P1(1,3)， P2(4,0)且 P 是线段 P1P2的一个三等分点， 则点 P 的坐标为( ) A(2,2) B(3，1) C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1) D 由题意可知P1P2 (3，3) 若P1P 1 3P1P2 ，则 P 点坐标为(2,2)； 若P1P 2 3P1P2 ，则 P 点坐标为(3,1)，故选 D 3 已知向量 a(2,3)， b(1,2)， 若 manb 与 a2b 共线， 则m n . 1 2
5、 由向量 a(2,3)，b(1,2)， 得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1) 由 manb 与 a2b 共线， 得2mn 4 3m2n 1 ， 所以m n 1 2. 4已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标 为 (1,5) 设 D(x，y)，则由AB DC ，得(4,1)(5x,6y)，即 45x， 16y， 解得 x1， y5. 考点一 平面向量基本定理的应用 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过 向量的运算来解决 (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题
6、带来方便另外，要熟 练运用平面几何的一些性质定理 典例 1 如图， 已知在OCB 中点， 点 A 是 CB 的中点， D 是将OB 分成 21 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b. (1)用 a 和 b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE OA ，求实数 的值 解 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且OD 2 3OB ，由平行四边形法则， 得OB OC 2OA ， 所以OC 2OA OB 2ab， DC OC OD (2ab)2 3b2a 5 3b. (2)由题意知，EC DC ，故设EC xDC . 因为EC OC OE (2ab)a (2)ab，DC 2
7、a5 3b. 所以(2)abx 2a5 3b . 因为 a 与 b 不共线，由平面向量基本定理， 得 22x， 15 3x， 解得 x3 5， 4 5. 故 4 5. 点评：本例(2)在求解中，以 D，E，C 三点共线为切入点，借助EC DC 及向 量的合成与分解的相关知识求得 的值 如果是小题， 本题可以直接设OE xOD (1x)OC ，利用OA 1 2OB 1 2OC 及同基底下向量表示的唯一性求得 . 跟进训练 1如果 e1，e2是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作 为平面内所有向量的一组基底的是( ) Ae1与 e1e2 Be12e2与 e12e2 Ce1e2与 e
8、1e2 De13e2与 6e22e1 D 选项 A 中，设 e1e2e1，则 1， 10， 无解； 选项 B 中，设 e12e2(e12e2)，则 1， 22， 无解； 选项 C 中，设 e1e2(e1e2)，则 1， 1， 无解； 选项 D 中，e13e21 2(6e22e1)，所以两向量是共线向量故选 D 2(2020 三明模拟)如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量： OA 2OB ；1 2OA 1 3OB ；3 4OA 1 3OB ；3 4OA 1 5OB ，若这些向量均以 O 为 起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量是( ) A B C D B 由向量共线
9、的充要条件可得：当点 P 在直线 AB 上时，存在唯一的一对有 序实数 u，v，使得OP uOA vOB 成立，且 uv1. 可以证明当点 P 位于阴影区域内的充要条件是：满足OP uOA vOB ，且 u 0，v0，uv1. 121， 点 P 位于阴影区域内， 故正确； 同理正确； 而错误 故 选 B 考点二 平面向量的坐标运算 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的 坐标，则应先求向量的坐标 (2)解题过程中， 常利用“向量相等， 则坐标相同”这一结论， 由此可列方程(组) 进行求解 典例 2 (1)向量 a， b， c 在正方形网格
10、中， 如图所示， 若 cab(， R)， 则 ( ) A1 B2 C3 D4 (2)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设AB a，BC b，CA c，且CM 3c，CN 2b， 求 3ab3c； 求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标 (1)D 以 O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设每个小正方形边长为 1， 可得 a(1,1)，b(6,2)， c(1，3) cab(，R)， 16， 32， 解得 2，1 2. 4. (2)解 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) 设 O 为坐标原点，
11、CM OM OC 3c， OM 3cOC (3,24)(3，4)(0,20) M(0,20)又CN ON OC 2b， ON 2bOC (12,6)(3，4)(9,2)， N(9,2)，MN (9，18) 点评：本例(1)在求解中，借助坐标系，把平面向量的线性运算坐标化，完美 展示了坐标法的便捷性，在平时训练中，应注意这种意识的培养，尤其是规则几 何图形中的向量问题，如正方形、矩形、直角三角形等 跟进训练 1在平行四边形 ABCD 中，A(1,2)，B(2,0)，AC (2，3)，则点 D 的坐标 为( ) A(6,1) B(6，1) C(0，3) D(0,3) A AB (3， 2)DC ，
12、 AD AC CD AC AB (5， 1)， 则 D(6,1) 故 选 A 2.如图， 在正方形 ABCD 中， M， N 分别是 BC， CD 的中点， 若AC AM BN ， 则 . 8 5 法一：以 AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如 图所示， 设正方形的边长为 1，则AM 1，1 2 ，BN 1 2，1 ，AC (1,1)， AC AM BN 1 2， 2 ， 1 21， 21， 解得 6 5， 2 5， 8 5. 法二：由AM AB 1 2AD ，BN 1 2AB AD ，得AC AM BN 2 AB 2 AD ，又AC AB AD ， 21， 21
13、， 解得 6 5， 2 5. 8 5. 考点三 向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2， y2)，则 ab 的充要条件是 x1y2x2y1” (2)在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R) 利用向量共线求参数 典例 31 已知 a(1,0)，b(2,1) (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线； (2)若AB 2a3b，BC amb，且 A，B，C 三点共线，求 m 的值 解 (1)a(1,0)，b(2,1)， kabk(1,0)(2,1)(k2，1)， a2b
14、(1,0)2(2,1)(5,2)， kab 与 a2b 共线， 2(k2)(1)50， k1 2. (2)AB 2(1,0)3(2,1)(8,3)， BC (1,0)m(2,1)(2m1，m) A，B，C 三点共线， AB BC ， 8m3(2m1)0， m3 2. 点评：熟记两向量 a，b 共线的条件是求解此类问题的关键所在 利用向量共线求向量或点的坐标 典例 32 已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标 为 (3,3) 法一：由 O，P，B 三点共线，可设OP OB (4，4)，则AP OP OA (44,4) 又AC OC OA (2,6
15、)， 由AP 与AC 共线，得(44)64(2)0， 解得 3 4，所以OP 3 4OB (3,3)， 所以点 P 的坐标为(3,3) 法二：设点 P(x，y)，则OP (x，y)，因为OB (4,4)，且OP 与OB 共线，所以x 4 y 4，即 xy. 又AP (x4，y)，AC (2,6)，且AP 与AC 共线， 所以(x4)6y(2)0，解得 xy3， 所以点 P 的坐标为(3,3) 点评：本例中“AC 与 OB 的交点为 P”，实际上变相告知“A，P，C 三点共 线”，故该问题便可转化为考向 1，只需引入参数表示出点 P 的坐标，借助向量共 线的坐标计算求解便可 跟进训练 1已知向量
16、 a(1,3)，b 2，1 2 ，若 c 为单位向量，且 c(a2b)，则 c ( ) A 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 B 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 C 2 2 ， 2 2 或 2 2 ， 2 2 D 2 2 ， 2 2 或 2 2 ， 2 2 B 由题意可知 a2b(3,4)， 又 c(a2b)， c(3， 4)， 即 c(3， 4)又|c|1，5|1， 1 5，即 c 3 5， 4 5 或 3 5， 4 5 ，故选 B 2(2020 北师大附中模拟)已知向量 a(1,1)，点 A(3,0)，点 B 为直线 y2x 上的一个动点，若AB a，则点 B 的坐标为 (3
17、，6) 设 B(x,2x)，则AB (x3,2x) AB a，x32x，即 x3. B(3，6) 备考技法 3 共线定理的推广及应用 平面向量的等和线 由平面向量基本定理，OP OA OB ，当点 P 不在直线 AB 上时，可以过点 P 作直 线 AB 的平行线，且与 OA，OB 所在的直线分别交于 M，N 两点，则由三点 P，M，N 共线，不难得出： OP xOM yON ，且 xy1， 又由平行线分线段成比例定理，得： OM kOA ，ON kOB 其中k|OM| |OA| ， 则OP xOM yON kxOA kyOB ， 即 kx，ky， 故 k(xy)k. 把过点 P 作直线 AB
18、的平行线 MN 称为等和线 等和线的相关结论 (1)当等和线恰为直线 AB 时，k1； (2)当等和线在点 O 和直线 AB 之间时，k(0,1)； (3)当直线 AB 在点 O 和等和线之间时，k(1，)； (4)当等和线过点 O 时，k0； (5) 若两等和线关于点 O 对称，则定值 k 互为相反数. 技法展示 (2017 全国卷)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以 点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若AP ABAD ，则 的最大值为( ) A3 B2 2 C 5 D2 A 如图，由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l 与圆相切时， 最大，此时 AF AB ABBE
19、EF AB 3AB AB 3，故选 A 评析 应用等和线解题的步骤 (1)求 k1 的等和线； (2)平移(旋转或伸缩)该线， 结合动点的可行域， 分析何处取得最大值和最小值； (3)从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值 技法应用 1.如图， 在正六边形 ABCDEF 中， P 是CDE 内(包括边界)的动点， 设AP AB AF (，R)，则 的取值范围是 3,4 当 P 在CDE 内时，直线 EC 是最近的平行线，过 D 点的平行线是 最远的，所以 AN AM， AD AM 3,4 2.如图， 在扇形 OAB 中， AOB 3， C 为弧 AB 上的动点， 若OC xOA yO
20、B ， 则 x3y 的取值范围是 1,3 OC xOA 3y OB 3 ，如图，作OB OB 3 ，则考虑以向量OA ，OB 为基 底显然，当 C 在 A 点时，经过 m1 的平行线，当 C 在 B 点时，经过 m3 的 平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以 x3y 的取值范围是1,3 3如图，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线 段 CD(含端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量AP mABnAF(m，n 为实数)，则 mn 的取值范围是( ) A(1,2 B5,6 C2,5 D3,5 C 随着动点圆心 Q 在线段 CD(含端点)上运动， 点 P 的运动区域为阴影部分 所示，如图所示作直线 BF 的平行线 l，使得 l 与阴影区域有公共点，离 BF 最近 的直线 l 记为 P1G(P1为 l 与圆 C 的切点，G 为 l 与直线 AB 的交点)，离 BF 最远的 直线 l 记为 P2H(P2为 l 与圆 D 的切点，H 为 l 与直线 AB 的交点) 设AP1 mAB nAF， 由等和线结论，mnAG AB 2AB AB 2. 此为 mn 的最小值 设AP2 mAB nAF， 由等和线结论，mnAH AB5. 此为 mn 的最大值 综上可知，mn2,5
