1、直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中 线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、 定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单 命题 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定 理 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行(简记 为“线线平行线面平行”) l a la l 性质定 理 一条直线与一个平面平行， 则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行(简记为“线面平行线线平 行”) a a b ab 2.平面与平面平行的判定
2、定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行， 则这两个平面平行(简记为 “线面平行面面平行”) a b a b abP 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 相交，那么它们的交线平行 a b ab 常用结论 平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 . (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a，b，则 ab. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ，则 . 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若一条直线平行于一个平面， 则这条直线平行于这个平面内的任一条直线 (
3、) (2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ( ) (3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面 ( ) (4)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1下列命题中正确的是( ) A若 a，b 是两条直线，且 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B若直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行 C平行于同一条直线的两个平面平行 D若直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，则 b D A 错误，a 可能在经过 b 的平面内；B 错误，a 与 内的直线平
4、行或异面； C 错误，两个平面可能相交 2平面 平面 的一个充分条件是( ) A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b D 若 l，al，a，a，则 a，a，故排除 A；若 l， a，al，则 a，故排除 B；若 l，a，al，b，bl，则 a， b，故排除 C；故选 D 3在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E 是 DD1的中点，则 BD1与平面 ACE 的位 置关系为 平行 如图所示， 连接 BD 交 AC 于 F， 连接 EF， 则 EF 是BDD1的中位线， EFBD1， 又 E
5、F平面 ACE， BD1平面 ACE， BD1平面 ACE. 4设 ， 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，； ，；a，b，ab. 其中能推出 的条件是 (填上所有正确的序号) 中 ， 可能相交也可能平行，中 . 考点一 直线与平面平行的判定与性质 证明直线与平面平行的方法 (1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交) (2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线常利用 三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一 平面找其交线 (3)面面平行的性质：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于 另外一
6、个平面，即 ，aa；两个平面平行，不在两个平面内的一条 直线与其中一个平面平行， 则这条直线与另一平面也平行， 即 ， a， a， a a. 直线与平面平行的判定 典例 11 (1)如图，已知在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，ACBC，M，N 分 别是 A1B1， AB 的中点， 点 P 在线段 B1C 上， 则 NP 与平面 AMC1的位置关系是( ) A垂直 B平行 C相交但不垂直 D要依点 P 的位置而定 (2)如图，四边形 ABCD 为矩形，ED平面 ABCD，AFED求证：BF平 面 CDE. (1)B (1)由题设知 B1MAN 且 B1MAN，四边形 ANB1M 是平行四边
7、形， B1NAM，B1N平面 AMC1. 又C1MCN，CN平面 AMC1. 又CNB1NN，平面 B1NC平面 AMC1. 又NP平面 B1NC，NP平面 AMC1. (2)证明：法一：(利用面面平行的性质)四边形 ABCD 为矩形，ABCD， AB平面 CDE，CD平面 CDE， AB平面 CDE； 又 AFED， AF平面 CDE，ED平面 CDE， AF平面 CDE； AFABA，AB平面 ABF，AF平面 ABF，平面 ABF平面 CDE， 又 BF平面 ABF， BF平面 CDE. 法二：(利用线面平行的判定)如图，在 ED 上取点 N，使 DNAF，连接 NC， NF，AFDN，
8、且 AFDN， 四边形 ADNF 为平行四边形， ADFN，且 ADFN， 又四边形 ABCD 为矩形，ADBC 且 ADBC， FNBC，且 FNBC， 四边形 BCNF 为平行四边形， BFNC， BF平面 CDE，NC平面 CDE， BF平面 CDE. 点评：证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行 的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性 质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行，注意内外平行三条件， 缺一不可 线面平行性质定理的应用 典例 12 如图， 在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中， E 为线段 AD 上的任意一
9、 点(不包括 A，D 两点)，平面 CEC1平面 BB1DFG. 证明：FG平面 AA1B1B 证明 在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，BB1CC1，BB1平面 BB1D，CC1 平面 BB1D， 所以 CC1平面 BB1D 又 CC1平面 CEC1，平面 CEC1平面 BB1DFG，所以 CC1FG. 因为 BB1CC1，所以 BB1FG. 而 BB1平面 AA1B1B，FG平面 AA1B1B， 所以 FG平面 AA1B1B 点评：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要 树立这种应用意识 (2)利用线面平行性质必须先找出交线 跟进训练 1(2017 全国卷
10、)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点， M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的 是( ) A B C D A B 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ；C 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ；D 选项中，ABNQ，且 AB平面 MNQ，NQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ.故选 A 2.(2019 全国卷改编)如图，直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形，AA1 4，AB2，BAD60 ，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的
11、中点证明：MN 平面 C1DE. 证明 连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点， 所以 MEB1C，且 ME1 2B1C又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND 1 2A1D 由题设知 A1B1綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND，因此四边形 MNDE 为平行四边形，所以 MNED又 MN平面 C1DE，ED平面 C1DE，所以 MN 平面 C1DE. 考点二 平面与平面平行的判定与性质 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义 (2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一 个平面，那么这两个平面平行 (3)利用“垂
12、直于同一条直线的两个平面平行” (4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行” (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 典例 2 如图所示，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC， A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG. 证明 (1)G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点， GH 是A1B1C1的中位线，GHB1C1. 又B1C1BC， GHBC， B，C，H，G 四点共面 (2)在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， EFBC EF平面 BCH
13、G，BC平面 BCHG， EF平面 BCHG. A1G 綊 EB， 四边形 A1EBG 是平行四边形，则 A1EGB A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， A1E平面 BCHG. A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG. 母题变迁 1在本例条件下，若点 D 为 BC1的中点，求证：HD平面 A1B1BA 证明 如图所示，连接 BC1，HD，A1B， D 为 BC1的中点，H 为 A1C1的中点， HDA1B 又 HD平面 A1B1BA， A1B平面 A1B1BA， HD平面 A1B1BA 2在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：平面 A1BD1 平面 AC
14、1D 证明 如图所示，连接 A1C 交 AC1于点 M， 四边形 A1ACC1是平行四边形， M 是 A1C 的中点，连接 MD， D 为 BC 的中点， A1BDM. A1B平面 A1BD1，DM平面 A1BD1， DM平面 A1BD1， 又由三棱柱的性质知，D1C1綊 BD， 四边形 BDC1D1为平行四边形， DC1BD1. 又 DC1平面 A1BD1， BD1平面 A1BD1，DC1平面 A1BD1. 又DC1DMD， DC1，DM平面 AC1D， 平面 A1BD1平面 AC1D 点评：本例的证明应用了三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线 线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化
15、 跟进训练 如图所示，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N，Q 分别 为 BC，PA，PB 的中点 (1)求证：平面 MNQ平面 PCD； (2)在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 MN平面 ACE？若存在，求出PE PD的 值；若不存在，请说明理由 解 (1)证明：在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N， Q 分别为 BC，PA，PB 的中点， NQCD，MQPC， NQMQQ， CDPCC， 且 NQ， MQ平面 MNQ， CD， PC平面 PCD， 平面 MNQ平面 PCD (2)线段 PD 上存在一点 E，使得 MN平面 ACE，且PE PD 1 2. 证明如下： 取 PD 中点 E，连接 NE，CE， N，E，M 分别是 AP，PD， BC 的中点，BC 綊 AD， NE 綊 MC，四边形 MCEN 是平行四边形，MNCE， MN平面 ACE，CE平面 ACE， MN平面 ACE，且PE PD 1 2.
