1、第三章 导数及其应用 命题探秘一 高考中的导数应 用问题 第第1 1课时课时 利用导数证明不等式利用导数证明不等式 0101 探本朔源技法示例 技法阐释 导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的 单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以 把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的 证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题，利用导数 证明不等式常见的方法有： (1)直接转化为函数的最值问题：把证明f(x)g(a)转化为f(x)max g(a) (2)移项作差构造函数法：把不等式f(x)g(x)转化为f(x)g(x) 0，进而构造函数h(x)
2、f(x)g(x) (3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函 数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等 式为f(x)g(x)利用其最值求解 (4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f(x1，x2)A 的不等式，可将函数式变为与x1 x2或x1 x2有关的式子，然后令t x1 x2或t x1x2，构造函数g(t)求解 (5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利 用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)， x x1ln(x1)x(x1) 高考示例 (2018 全国卷)已知函数f(x)aexln x1. (1)设x2
3、是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a1 e时，f(x)0. 思维过程 (1)略 (2)证明：当. 关键1：适当放缩，消去参数a 设 关键2：构造函数，并求导数 当0 x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0， 所以x1是g(x)的最小值点， 关键3：确定最小值点 关键4：求出最小值，证明不等式 0202 典型考题技法突破 技法一 直接将不等式转化为函数的最值问题 技法二 移项作差构造函数证明不等式 技法三 构造双函数证明不等式 技法四 换元法，构造函数证明双变量函数不等式 技法五 适当放缩构造函数证明不等式 技法一 直接将不等式转化为函数的最值问题 典例1 已知
4、函数f(x)ln xax2(2a1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a0时，证明：f(x) 3 4a2. 思维流程 解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 x2ax2a1 x12ax1 x . 若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单 调递增 若a0，则当x 0， 1 2a 时，f(x)0；当x 1 2a， 时， f(x)0. 故f(x)在 0， 1 2a 上单调递增，在 1 2a， 上单调递减 (2)证明：由(1)知，当a0时，f(x)在x 1 2a处取得最大值，最大 值为f 1 2a ln 1 2a 1 1 4a. 所以f(x) 3 4a2等价于
5、ln 1 2a 1 1 4a 3 4a2，即ln 1 2a 1 2a10.设g(x)ln xx1，则g(x) 1 x1.当x(0,1)时，g(x) 0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在 (1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1) 0.所以当x0时，g(x)0.从而当a0时，ln 1 2a 1 2a10，即 f(x) 3 4a2. 点评：(1)若证f(x)g(a)或f(x)g(a)，只需证f(x)ming(a)或f(x)max g(a) (2)若证f(a)M或f(a)M(a，M是常数)，只需证f(x)minM或 f(x)maxM. 跟进训
6、练 已知函数f(x)aexbln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程 为y 1 e1 x1. (1)求a，b； (2)证明：f(x)0. 解 (1)函数f(x)的定义域为(0，) f(x)aexb x，由题意得f(1) 1 e，f(1) 1 e1， 所以 ae1 e， aeb1 e1， 解得 a 1 e2， b1. (2)证明：由(1)知f(x) 1 e2 e xln x. 当x(0，x0)时，f(x)0，当x(x0，)时，f(x)0， 从而当xx0时，f(x)取极小值，也是最小值 因为f(x)ex 21 x在(0，)上单调递增，又f(1)0，f (2)0，所以f(x)0在(0，
7、)上有唯一实根x0，且x0(1,2) 由f(x0)0，得ex02 1 x0，则x02ln x0. 故f(x)f(x0)ex02ln x0 1 x0 x022 1 x0 x020，所以f(x) 0. 技法二 移项作差构造函数证明不等式 典例2 已知函数f(x)ex3x3a(e为自然对数的底数，a R) (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln 3 e，且x0时， ex x 3 2x 1 x3a. 思维流程 解 (1)由f(x)ex3x3a，xR，知f(x)ex3，xR. 令f(x)0，得xln 3， 于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln 3) ln
8、3 (ln 3，) f(x) 0 f(x) 极小值 故f(x)的单调递减区间是(，ln 3， 单调递增区间是ln 3，)， f(x)在xln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)eln 33ln 33a 3(1ln 3a)无极大值 (2)证明：待证不等式等价于ex3 2x 23ax1， 设g(x)ex3 2x 23ax1，x0， 于是g(x)ex3x3a，x0. 由(1)及aln 3 eln 31知：g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0. 于是对任意x0，都有g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递 增 于是当aln 3 eln 31时，对任意x(0，)，都有g(x) g(
9、0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0. 即ex3 2x 23ax1，故e x x 3 2x 1 x3a. 点评：若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数h(x)f(x) g(x)如果能证明h(x)min0，x(a，b)，即可证明f(x)g(x)，x(a， b)使用此法证明不等式的前提是h(x)f(x)g(x)易于用导数求最 值 跟进训练 (2020 唐山模拟)设f(x)2xln x1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：f(x)x2x1 x2ln x. 解 (1)f(x)2(ln x1) 所以当x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x 1 e，
10、时，f(x)0，f(x)单调递增 所以当x1 e时，f(x)取得最小值f 1 e 12 e. (2)证明：x2x1 x2ln xf(x) x(x1)x1 x 2(x1)ln x (x1) x1 x2ln x ， 令g(x)x1 x2ln x，则g(x)1 1 x2 2 x x12 x2 0， 所以g(x)在(0，)上单调递增， 又g(1)0， 所以当0 x1时，g(x)0， 当x1时，g(x)0， 所以(x1) x1 x2ln x 0， 即f(x)x2x1 x2ln x. 技法三 构造双函数证明不等式 典例3 已知f(x)xln x. (1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值； (2)
11、证明：对一切x(0，)，都有ln x 1 ex 2 ex成立 思维流程 解 (1)由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1， 令f(x)0，得x1 e. 当x 0，1 e 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当x 1 e， 时，f(x)0，f(x)单调递增 当0t1 et2，即0t 1 e时， f(x)minf 1 e 1 e； 当1 ett2，即t 1 e时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)min f(t)tln t. 所以f(x)min 1 e，0t 1 e， tln t，t1 e. (2)证明：问题等价于证明xln x x ex 2 e(x(0，) 由(1)可知f(x)xl
12、n x(x(0，)的最小值是1 e， 当且仅当x1 e时取到 设m(x) x ex 2 e(x(0，)， 则m(x)1x ex ， 由m(x)0得x1时，m(x)为减函数， 由m(x)0得0 x1时，m(x)为增函数， 易知m(x)maxm(1)1 e，当且仅当x1时取到 从而对一切x(0，)，xln x1 e x ex 2 e，两个等号不同时取 到，即证对一切x(0，)都有ln x 1 ex 2 ex成立 点评：(1)若证f(x)g(x)，只需证f(x)maxg(x)min； (2)若证f(x)g(x)，只需证f(x)ming(x)max. 跟进训练 已知函数f(x)ex2xln x. 证明
13、：当x0时，f(x)xex1 e. 证明 要证f(x)xex1 e，只需证exln xe x 1 ex，即exe xln x 1 ex. 令h(x)ln x 1 ex(x0)，则h(x) ex1 ex2 ，易知h(x)在 0，1 e 上单调 递减，在 1 e， 上单调递增，则h(x)minh 1 e 0，所以ln x 1 ex0. 再令(x)exex，则(x)eex， 易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max (1)0，所以exex0. 因为h(x)与(x)不同时为0，所以exexln x 1 ex ，故原不等式成 立 技法四 换元法，构造函数证明双变量函数不等式
14、 典例4 已知函数f(x)ln xax(x0)，a为常数，若函数f(x)有 两个零点x1，x2(x1x2)求证：x1x2e2. 思维流程 证明 不妨设x1x20， 因为ln x1ax10，ln x2ax20， 所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以 ln x1ln x2 x1x2 a， 欲证x1x2e2，即证ln x1ln x22. 因为ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证a 2 x1x2， 所以原问题等价于证明ln x 1ln x2 x1x2 2 x1x2， 即ln x1 x2 2x1x2 x1x2 ， 令cx1 x2(c1)，则不等式变为l
15、n c 2c1 c1 . 令h(c)ln c2c1 c1 ，c1， 所以h(c)1 c 4 c12 c12 cc120， 所以h(c)在(1，)上单调递增， 所以h(c)h(1)ln 100， 即ln c2c1 c1 0(c1)，因此原不等式x1x2e2得证 点评：对于双变量函数不等式f(x1，x2)A，通过变量代换，把双 变量变为一个主元，再构造函数证明不等式 跟进训练 已知函数f(x)ln x1 2ax 2x，aR. (1)当a0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程； (2)若a2，正实数x1，x2满足f(x1)f(x2)x1x20，求证：x1 x2 51 2 . 解 (1
16、)当a0时，f(x)ln xx，则f(1)1，所以切点为(1,1)， 又因为f(x)1 x1，所以切线斜率kf(1)2，故切线方程为y1 2(x1)，即2xy10. (2)证明：当a2时，f(x)ln xx2x(x0) 由f(x1)f(x2)x1x20， 得ln x1x2 1x1ln x2x 2 2x2x1x20， 从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)， 令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)11 t t1 t ， 易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增， 所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20， 所以x1
17、x2 51 2 成立 技法五 适当放缩构造函数证明不等式 典例5 已知函数f(x)ln xaln x x2 . (1)若a1，求f(x)的单调区间； (2)若a0，x(0,1)，证明：x21 x fx ex . 思维流程 解 (1)当a1时，f(x)ln xln x x2 ，x(0，)， f(x)1 x 12ln x x3 x 212ln x x3 x1x12ln x x3 . 当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0， f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)证明：当a0，x(0,1)时，x21 x fx ex 等价于ln x ex x21 x 0， 当x
18、(0,1)时，ex(1，e)，ln x0， ln x ex ln x， 只需要证ln xx21 x0在(0,1)上恒成立 令g(x)ln xx21 x，x(0,1)， g(x)1 x2x 1 x2 2x3x1 x2 0， 则函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)ln 1110， 当x(0,1)时，x21 x fx ex . 点评：通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，当参数 范围已知时，通过放缩，可将参数消去，达到简化目的 跟进训练 已知函数f(x)ax 2x1 ex . 证明：当a1时，f(x)e0. 证明 当a1时，f(x)eax 2x1 ex ex 2x1 ex e (x2x1ex 1)ex. 令g(x)x2x1ex 1， 则g(x)2x1ex 1，且g(1)0. 当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0， 因此当x1时，g(x)有最小值，g(x)ming(1)0， g(x)0，当且仅当x1时等号成立 又e x0， f(x)e0.
