1、第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质角平分线的性质 第第 1 课时课时 角平分线的性质 学习目标学习目标：1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理. 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 重点重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线. 难点难点：角平分线定理的应用. 一、一、知识链接知识链接 1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？ 2.如图，在ABC 中，BD 平分ABC，则 = . 过点 D 作 DEBC， 垂足为 E， 则图中线段 的长度表示点 D 到 BC 的距离. 二、二、新知预习新知预习 1.OC 是AOB 的平分线，点 P 是射线 O
2、C 上的任意一点， 操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P 作 PDOA，PE OB,点 D、E 为垂足，测量 PD、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量 结果,猜想 线段 PD 与 PE 的大小关系，写出结论 PD来源:163文库 PE 第一次 第二次 第三次来源:学,科,网Z,X,X,K 2.下面四个图中,点 P 都在AOB 的平分线上,则 PDPE 的是 （ ） A B C D 3.猜想： 角平分线的性质：角平分线上任意一点到两边的 相等. 三、三、我的疑惑我的疑惑 _ _ _ 自主学习自主学习 教学备注教学备注 学 生 在 课 前学 生 在 课 前 完 成 自 主 学完
3、 成 自 主 学 习部分习部分 1. 1.复习引入复习引入 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 3 3- -5 5） 一、一、要点探究要点探究 探究点探究点 1：角平分线的尺规作图角平分线的尺规作图 活动活动 1：如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点 A 放在角的顶点,AB 和 AD 沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE, AE 就是角平分线.你能说明它的道理吗? 活动活动 2：已知AOB，类比平分角仪器的原理，用尺规作AOB 的平分线并书写主要 步骤. 提示：提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边， 仪器的顶点与角的顶点重合， 且
4、仪器的两边相等， 怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么 OC 是AOB 的平分线吗？ 注意注意:作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握. 针对训练针对训练 已知：平角AOB. 求作：平角AOB 的角平分线. 探究点探究点 2：角平分线的性质：角平分线的性质 画画一画：一画：如图，任意作一个角AOB，作出AOB 的平分线 OC.在 OC 上任取一点 P,过点 P 画出 OA,OB 的垂线， 分别记垂足为 D、 E， 测量 PD， PE 并作比较， 你得到什么结论？ 在 OC 上再取几个点试一试. 证明结论：证明
5、结论： 已知：如图， AOC= BOC,点 P 在 OC 上，PDOA,PEOB, 垂足分别为 D,E. 求证：PD=PE. 要点归纳：要点归纳： 角的平分线上的点到角的两边的 相等. 应用所需要的条件： （1） （2） （3） 几何语言：几何语言： OP 是AOB 的平分线， 课堂探究课堂探究 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 2. 2.探究点探究点 1 1 新新 知讲授知讲授 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 6 6- -8 8） 3. 3.探究点探究点 2 2 新新 知讲授知讲授 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 9 9- -1818） PDOA,PEOB， 典例精
6、析典例精析 例例 1: 已知：如图，在ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD=CD, DEAB, DFAC.垂足分别为 E,F. 求证：EB=FC. 方法总结：方法总结：先利用角平分线的性质定理得到对应线段相等，再利用这个条件证明 我们需要证明的两个三角形全等. 例例 2:如下左图,AM 是BAC 的平分线,点 P 在 AM 上,PDAB,PEAC,垂足分别 是 D、E,PD=4cm,则 PE=_cm 变式变式：如上右图，在 RtABC 中，AC=BC,C90 ，AP 平分BAC 交 BC 于 点 P，若 PC4, AB=14. （1）则点 P 到 AB 的距离为_. （2）求APB 的面
7、积. （3）求PDB 的周长. 方法总结：方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公 式求出线段的长度是常用的方法 针对训练针对训练 1.如图 1，1=2，PDOA，PEOB，垂足分别为 D，E，下列结论错误的是 （ ） A.PD=PE B.OD=OE C.DPO=EPO D.PD=OD 2.如图 2， RtABC 中， C=90,ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D， 若 CD=3cm， 则点 D 到 AB 的距离 DE 是（ ） A. 5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 3.如图 3， 在ABC 中， ACB=90,BE 平分ABC， DEAB
8、 于 D， 如果 AC=3 cm，那么 AE+DE 等于（ ） A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 二、二、课堂小结课堂小结 1. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是 E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= . 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 2.如图，ABC 中, C=90,AD 平分CAB,且 BC=8,BD=5,则点 D 到 AB 的距离 是 . 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC=BOC 的依据 是（ ） A.SSS B.ASA C.AA
9、S D.角平分线上的点到角两边的距离相等 4.如图，AD 是ABC 的角平分线，DEAB，垂足为 E，SABC7，DE2，AB4，则 AC 的长是( ) A6 B5 C4 D3 5.如图，已知 ADBC，P 是BAD 与 ABC 的平分线的交点，PEAB 于 E，且 PE=3， 求 AD 与 BC 之间的距离. 6.如图所示，D 是ACG 的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为 E，F. 求证：CECF. 当堂检测当堂检测 角平分线 尺规作图 性质定理 添加辅助线 属于基本作图，必须熟练掌握 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 (无须登录，直接下载) 教学备注教学备注 配套配套 PPTPPT 讲授讲授 4 4. .课堂小结课堂小结 5. 5.当堂检测当堂检测 （ 见（ 见 幻 灯 片幻 灯 片 1919- -2424）
