1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 答案 解析 一、填空题 1.【答案】 1,2,4,6 【解析】根据集合的并集运算,两个集合的并集就是所有属于集合 A 和集合 B 的元素组成的集合,从所给的两个集合的元素可知,它们的元素是 1, 2 , 4 , 6 ,所以答案为 1,2,4,6 【提示】 由题意, A, B 两个集合的元素已经给出,故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可 【考点】 并集及其运算 2.【答案】 15 【解析】根据分层抽样的方法步骤,按照一定比例抽取,样本容量为 50 ,那么根据题意得:从高三一共可以抽取人数为: 350 1
2、510?人,答案 15 【提示】 根据三个年级的人数比,做出高二所占的比例,用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例,得到要抽取的高二的人数 【考点】 分层抽样方法 3.【答案】 8 【解析】据题 1 1 7 i ( 1 1 7 i ) ( 1 2 i ) 2 5 1 5 ii 5 3 i1 2 i ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) 5ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 53ab?, ,从而 8ab? 【提示】 由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以 12i? ,再由进行计算即可得到 i 5 3iab? ? ? ,再由复数相等的充分条件即可得到 a, b 的值,从而得到所
3、求的答案 【考点】 复数代数形式的乘除运算 , 复数相等的充要条件 4.【答案】 5 【解析】根据循环结构的流程图,当 1k? 时,此时 2 5 4 0kk? ? ? ;不满足条件,继续执行循环体,当 2k?时, 2 5 4 6kk? ? ? ;不满足条件,继续执行循环,当 3k? 时, 2 5 4 2kk? ? ? 不满足条件,然后依次出现同样的结果,当 5k? 时,此时 2 5 4 4kk? ? ? ,此时满足条件跳出循环,输出 k 的值为 5 【提示】 利用程序框图计算表达式的值,判断是否循环,达到满足题目的条件,结束循 环,得到结果即可 【考点】 循环结构 5.【答案】 (0, 6 【
4、解析】根据题意得到 61 2log 0x?,同时, 0x? ,解得6 1log 2x?,解得 6x? ,又 0x? ,所以函数的定义域为: (0, 6 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 根据开偶次方被开方数要大于等于 0,真数要大于 0,得到不等式组,根据对数的单调性解出不等式的解集,得到结果 【考点】 对数函数的定义域 6.【答案】 35 【解析】组成满足条件的数列为: 1 3 9 2 7 , 8 1 2 4 3 7 2 9 2 1 8 7 6 5 6 1 1 9 6 8 3? ? ? ? ?, , , , , , , ,从中随机取出一个数共有取法 10 种,其中小于 8 的取法共有 6
5、 种,因此取出的这个数小于 8 的概率为 35 【提示】 先由题意写出成等比数列的 10 个数,然后找出小于 8 的项的个数,代入古典概论的计算公式即可求解 【考点】等比数列的性质,古典概型及其概率计算公式 7.【答案】 36cm 【解析】如图所示,连结 AC 交 BD 于点 O ,因为平面 11ABCD BB D D? ,又因为 AC BD? ,所以,11AC BB D D? 平 面 ,所以四棱锥 11A BBDD? 的高为 AO ,根据题意 3cmAB AD?,所以 322AO? ,又因为 3 2cmBD? , 1 2cmAA? ,故矩形 11BBDD 的面积为 26 2cm ,从而四棱锥
6、 11A BBDD? 的体积31 3 26 2 6 c m32V ? ? ? ? 【提示】 过 A 作 AO BD? 于 O ,求出 AO ,然后求出几何体的体积即可 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 8.【答案】 2 【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 x 轴上(否则不成立),因此 0m? ,由离心率公式得到2 4 5mmm? ,解得 2m? 【提示】 由双曲线方程得 2y 的分母 2 40m? ,所以双曲线的焦点必在 x 轴上因此 2 0am? ? ,可得OD 1A 1C 1B 1ACDB【 ;百万教育资源文库 】 22 4c m m? ? ? ,最后根据双曲线的离心率为 5 ,可得 2
7、25ca? ,建立关于 m 的方程: 2 45m m m? ? ? ,解之得 2m? 【考点】 双曲线的简单性质 9.【答案】 2 【解析】根据题意 AF BC DF?,所以 ( ) | | | | c o s 0 2 | | 2A B A F A B B C D F A B B C A B D F A B D F A B D F D F? ? ? ? ? ? ? ? ?, 从而得到 | | 1DF? ,又因为 A E A D D F B F B C C F? ? ? ?, , 所以 2( + ) ( + ) | B C | + 0 + 0 + | | | C F | c o s 1 8 0
8、2A E B F A D D F B C C F D F? ? ? ? 【提示】 根据所给的图形,把已知向量用矩形的边所在的向量来表示,做出要用的向量的模长,表示出要求得向量的数量积,注意应用垂直的向量数量积等于 0,得到结果 【考点】 平面向量数量积的运算 10.【答案】 10? 【解析】因为 1322ff? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,函数 ()fx的周期为 2 ,所以 1 3 122 2 2f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,根据 0111() 2 01xxaxfxbxx? , , ,得到 3 2 2ab? ? , 又 (1) (
9、 1)ff?,得到 21 2ba ? ? ? ,即 20ab? ,结合上面的式子解得 24ab? ?, ,所以 3 10ab? ? 【提示】 由于 ()fx是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 由 ()fx的表达式可得 3 1 1 412 2 2 3bf f a f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; 再由 (1) ( 1)ff?得 20ab? , 解关于 ab, 的方程组可得到 ab, 的值,从而得到答案 【考点】 函数的周期性 , 分段函数的解析式求法及其图象的作法 11.【答案】 17250【解析】根据 4cos 65? ?, 2 1
10、6 7c o s 2 2 c o s 1 2 13 6 2 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 因为 cos 2 03?,所以 2 7 2 4s in 2 13 2 5 2 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 因为 1 7 2s i n 2 s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n1 2 3 4 3 4 3 4 5 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】用 二倍角公式 可
11、 由 4cos 65? ?得 7co s 2 03 2 5? ? ?,再 求得 sin 2 3?又 s i n 2 s i n 2 s i n 2 c o s c o s 2 s i n1 2 3 4 3 4 3 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 即可求得 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 , 两角和与差的余弦函数 , 两角和与差的正弦函数 , 二倍角的正弦 12.【答案】 43 【解析】根据题意 22 8 15 0x y x? ? ? ?将此化成标准形式为: ? ?2 241xy? ? ? ,
12、得到该圆的圆心为 (4,0)M ,半径为 1 , 若直线 2y kx?上至少存 在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,只需要圆心(4,0)M 到直线 2y kx?的距离 11d? 即可,所以有 2| 4 2 | 21kd k ? ,化简得 (3 4) 0kk?解得 40 3k? ,所以 k的最大值是 43 【提示】 由于圆 C的方程为 22( 4) 1xy? ? ? ,由题意可知,只需 22( 4) 1xy? ? ? 与直线 2y kx?有公共点即可 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 , 直线与圆的位置关系 13.【答案】 9 【解析】根据函数 2( ) 0f x x
13、 ax b? ? ? ?,得到 2 40ab?,又因为关于 x 的不等式 ()f x c? ,可化为:2 0x ax b c? ? ? ?,它的解集为 ( , 6)mm? ,设函数 2()f x x ax b c? ? ? ?图象与 x 轴的交点的横坐标分别为12xx, ,则 21| | 6 6x x m m? ? ? ? ?,从而 221( ) 36xx?,即 21 2 1 2( ) 4 36x x x x? ? ?,又因为 1 2 1 2x x b c x x a? ? ? ? ?, ,代入得到 9c? 【提示】 根据函数的值域求出 a 与 b 的关系,然后根据不等式的解集可得 (x)fc
14、? 的两个根为 m , 6m? ,最后利用根与系数的关系建立等式,解之即可 【考点】 一元二次不等式的应用 14.【答案】 e,7 【解析】 4c a b 0? ? ? , 14ca? 453 caca? , 2ca? 从而 2 4 1 7ba ? ? ? ? ,特别当 7ba? 时,第二个不等式成立等号成立当且仅当 : : 1:7:2abc? 又 lnln a c ccb? , 0 lnbacc? , 从而lnbcbcba? ,设函数 ( ) ( 1)lnxf x xx? 2ln 1() (ln )xfx x? ?, 当 0ex?时, ( ) 0fx? ? ,当 ex? 时, ( ) 0fx
15、? ? ,当 ex? 时 ( ) 0fx? ? 【 ;百万教育资源文库 】 ?当 ex? 时, ()fx取到极小值,也是最小值 e( ) (e) eln em inf x f? ? ? ? 等号当且仅当 eba? 时 成立代入第一个不等式知: 23eba? ? ? ,不等式成立,从而 e 可以取得等号成立当且仅当 : : 1:e:2abc? 从而 ba 的取值范围是 e,7 双闭区间 【提示】由 题意可求得 1 24 ca?,而 5 3 4 1c b ca a a? ? ? ?,于是可得 7ba? ;由 lnln a c ccb? 可得0 lnbacc? , 从而 lnbcbcba? ,设函数
16、 ( ) ( 1)lnxf x xx?,利用其导数可求得 ()fx的极小值,也就是 ba 的最小值,于是问题解决 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 , 不等式的综合 二、解答题 15.【答案】 ( 1) 3AB AC BA BC? | | | | c o s 3 | | | | c o sA B A C A B A B C B? | | c o s 3| | c o sAC A BC B? 由正弦定理得: | | | |sin sinAC BCBA? s in c o s 3 s in c o sB A A B? tan 3tanBA? ( 2) 5cos5C?,且 0 C? 25s
17、in5C? tan 2C? tan( ) 2AB? ? 又 tan 3tanBA? 2t a n t a n t a n 3 t a n 4 t a n2 1 t a n t a n 1 t a n t a n 1 3 t a nA B A A AA B A B A? ? ? ? ? ? tan 1A? 或 13? tan 3tanBA? A , B 必为锐角,否则 A , B 同时为钝角,这与三角形的内角和小于 180 矛盾 tan 0A? 【 ;百万教育资源文库 】 tan 1A? 4A? 【提示】 ( 1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边,然后两边同时除以 c 化简后,再利用正弦定理变形,根据 cos cos 0AB? ,利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 tan 3tanBA? ( 2)由 C 为三角形的内角,及 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 tanC 的值,由 tanC 的值,及三角形的内角和定理,利用诱导公式求出 tan( )AB? 的值,利用两角和与差的