（新教材）高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题17 等差数列（学生版+解析版）.doc

1、专题专题 17 等差数列等差数列 一、单选题一、单选题 1 （2020 进贤县第一中学高一月考）在等差数列 n a中，已知 357 15aaa，则该数列前 9 项和 9 S （ ） A18 B27 C36 D45 2 （2020 江苏省如皋中学高一月考）在等差数列 n a中， 1 2a ， 2 5 2 a ，则 101 a的值是（ ） A49 B50 C51 D52 3 （2020 湖南省高三三模（理） ） 九章算术大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收 藏了 246 个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤.问次一尺各重几何

2、？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量 为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重 量依次成等差数列 n a， 1 4a 斤，则 2 a （ ） A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 4（2020 北京理工大学附属中学通州校区高二期中） 记为等差数列的前 n 项和 已知， 则（ ） A B C D 5 （2020 福建省高二期末）等差数列 n a的前n项和为 n S，若 26 3,11aa ，则 7 S （ ） A51 B50 C49 D48 6 （2019 福建省莆田一中高三月考（文） ）已知

3、 n S是等差数列 n a的前n项和， 37 8aa， 7 35S ， 则 2 a （ ） A5 B6 C7 D8 7 （2020 进贤县第一中学高一月考）等差数列 n a中， n S为它的前n项和，若 1 0a ， 20 0S， 21 0S， 则当n（ ）时， n S最大. A8 B9 C10 D11 8 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）已知 n a是公差为d的等差数列，前n项和是 n S，若 9810 SSS，则（ ） A0d ， 17 0S B 0d ， 17 0S C0d ， 18 0S D 0d ， 18 0S 二、多选题二、多选题 9 （2020 山东省高二期末）设等差数

4、列 n a的前n项和为 n S若 3 0S ， 4 8a ，则（ ） A 2 26 n Snn B 2 3 n Snn C48 n an D2 n an 10 （2020 尤溪县第五中学高一月考） 设数列 n a是等差数列， Sn是其前 n 项和， a10， 且 S6=S9， 则 （ ） A0d ， B 8 0a ， CS5S6， DS7或 S8为 Sn的最大值 11 （2020 寿光市第二中学高三月考）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和.若 45 24aa， 6 48S ，则下 列正确的是（ ） A 1 2a B 1 2a C4d D4d 12（2020 诸城市教育科学研究院高二期中

5、） 已知 n S是等差数列 n a(n )的前n项和， 且 564 SSS， 以下有四个命题，其中正确的有（ ） A数列 n S中的最大项为 10 S B数列 n a的公差 0d C 10 0S D 11 0S 三、填空题三、填空题 13 （2020 湖北省江夏实验高中高一期中）已知 n a是等差数列，且 2 5a ， 64 6aa，则 1 a _ 14 （2020 北京市第四十四中学高二期中）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 24 6aa，则 5 S _. 15 （2019 全国高三月考（文） ）等差数列 n a的前n项和为 n S， 4 11a ， 10 100S，则 10 a_.

6、 16设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 249 24aaa，则 9 S _； 810 810 SS 的最大值为_ 四、解答题四、解答题 17 （2018 平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列an中，a1 0，3a4 = 7a7，求 Sn 取得最大值时 n 的值. 18 （2020 毕节市实验高级中学高一期中）已知数列an是一个等差数列，且 a21，a55. (1)求an的通项 an； (2)求an前 n 项和 Sn的最大值 19.（2020 福建省高三月考（文） ）为数列的前 项和.已知0，=. （）求的通项公式； （）设,求数列的前 项和. 20 （2020 进贤县第一中学高

7、一月考）已知数列 n a的前n项和为 n S, 满足 22( 1) nn Sn ann, 且 1 1 2 a . (1) 令 1 nn n bS n , 证明: 1 (2) nn bbn n ； (2) 求 n a的通项公式. 21 （2020 湖北省高三三模（文） ）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 22 15 8aa， 12 5aa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 n S n 的前n项和为 n T，求 n T取得最大值时n的值. 22 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 22 5 aS， 5 15 S. （

8、1）求数列 n a的通项公式； （2）若1 n nn ba ，求数列 n b的前20项和 20 T. 专题专题 17 等差数列等差数列 一、单选题一、单选题 1 （2020 进贤县第一中学高一月考）在等差数列 n a中，已知 357 15aaa，则该数列前 9 项和 9 S （ ） A18 B27 C36 D45 【答案】D 【解析】 在等差数列 n a中， 35755 315,5aaaaa，所以 195 95 2 9999 545 22 aaa Sa . 故选：D 2 （2020 江苏省如皋中学高一月考）在等差数列 n a中， 1 2a ， 2 5 2 a ，则 101 a的值是（ ） A4

9、9 B50 C51 D52 【答案】D 【解析】 在等差数列 n a中， 1 2a ， 2 5 2 a ，则公差 21 51 2 22 daa， 所以 1011 1 1002 10052 2 aad. 故选：D. 3 （2020 湖南省高三三模（理） ） 九章算术大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收 藏了 246 个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量 为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得

10、的每尺的重 量依次成等差数列 n a， 1 4a 斤，则 2 a （ ） A2.5 斤 B2.75 斤 C3 斤 D3.5 斤 【答案】D 【解析】 由题意可知， 1 4a 斤， 5 2a 斤，则公差 51 0.5 5 1 aa d 斤， 故 21 3.5aad斤. 故选:D. 4 （2020 北京理工大学附属中学通州校区高二期中） 记为等差数列的前 n 项和 已知， 则（ ） A B C D 【答案】A 【解析】 分析：等差数列通项公式与前 n 项和公式本题还可用排除，对 B，排除 B，对 C，排除 C对 D， ，排除 D，故选 A 详解：由题知，解得，故选 A 5 （2020 福建省高二期

11、末）等差数列 n a的前n项和为 n S，若 26 3,11aa，则 7 S （ ） A51 B50 C49 D48 【答案】C 【解析】 设等差数列的公差为d，首项为 1 a， 所以 1 1 3 511 ad ad ，解得： 1 a1,d2= 所以 7 7 6 7 1249 2 S . 故选：C 6 （2019 福建省莆田一中高三月考（文） ）已知 n S是等差数列 n a的前n项和， 37 8aa， 7 35S ， 则 2 a （ ） A5 B6 C7 D8 【答案】C 【解析】 因为 375 82aaa， 74 357Sa 所以 54 4,5aa， 故1d ， 24 2527aad， 故

12、选 C. 7 （2020 进贤县第一中学高一月考）等差数列 n a中， n S为它的前n项和，若 1 0a ， 20 0S， 21 0S， 则当n（ ）时， n S最大. A8 B9 C10 D11 【答案】C 【解析】 等差数列 n a中，前n项和为 n S，且 20 0S， 21 0S， 即 120 201011 20 100 2 aa Saa ， 1011 0aa， 121 2111 21 210 2 aa Sa ，所以， 11 0a ，则 10 0a， 因此，当10n时， n S最大. 故选：C. 8 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）已知 n a是公差为d的等差数列，前n项和

13、是 n S，若 9810 SSS，则（ ） A0d ， 17 0S B0d ， 17 0S C0d ， 18 0S D0d ， 18 0S 【答案】D 【解析】 9810 SSS， 9 0a， 910 0aa， 10 0a，0d . 179 017Sa， 18910 90Saa. 故选：D. 二、多选题二、多选题 9 （2020 山东省高二期末）设等差数列 n a的前n项和为 n S若 3 0S ， 4 8a ，则（ ） A 2 26 n Snn B 2 3 n Snn C48 n an D2 n an 【答案】AC 【解析】 设等差数列 n a的公差为d，则 31 41 330 38 Sad

14、 aad ，解得 1 4 4 a d ， 1 144148 n aandnn ， 2 1 1 42126 2 n n nd Snann nnn . 故选：AC. 10 （2020 尤溪县第五中学高一月考） 设数列 n a是等差数列， Sn是其前 n 项和， a10， 且 S6=S9， 则 （ ） A0d ， B 8 0a ， CS5S6， DS7或 S8为 Sn的最大值 【答案】ABD 【解析】 根据题意可得 78988 0300aaaaa， 数列 n a是等差数列，a10， 公差 0d ， 所以数列 n a是单调递减数列， 对于 A、B，0d ， 8 0a ，显然成立， 对于 C，由 6 0

15、a ，则 56 SS，故 C 不正确； 对于 D，由 8 0a ，则 78 SS，又数列为递减数列，则 S7或 S8为 Sn的最大值， 故 D 正确； 故选：ABD 11 （2020 寿光市第二中学高三月考）记 n S为等差数列 n a的前 n 项和.若 45 24aa， 6 48S ，则下 列正确的是（ ） A 1 2a B 1 2a C4d D4d 【答案】AC 【解析】 因为 451 61 2724 61548 aaad Sad ，所以 1 2 4 a d ， 故选：AC. 12（2020 诸城市教育科学研究院高二期中） 已知 n S是等差数列 n a(n )的前n项和， 且 564 S

16、SS， 以下有四个命题，其中正确的有（ ） A数列 n S中的最大项为 10 S B数列 n a的公差0d C 10 0S D 11 0S 【答案】BCD 【解析】 564 SSS，故 6 0a ， 5 0a 且 56 0aa， 故数列 n S中的最大项为 5 S，A错误； 数列 n a的公差0d ，B正确； 110 1056 10 50 2 aa Saa ，C正确； 111 116 11 110 2 aa Sa ，D正确； 故选：BCD. 三、填空题三、填空题 13 （2020 湖北省江夏实验高中高一期中）已知 n a是等差数列，且 2 5a ， 64 6aa ，则 1 a _ 【答案】8

17、【解析】 依题意 1 11 5 536 ad adad ，解得 1 8a . 故答案为：8 14 （2020 北京市第四十四中学高二期中）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 24 6aa，则 5 S _. 【答案】15 【解析】 数列 n a为等差数列， 24 6aa， 1524 5 5515 22 aaaa S . 故答案为：15. 15 （2019 全国高三月考（文） ）等差数列 n a的前n项和为 n S， 4 11a ， 10 100S，则 10 a_. 【答案】7 【解析】 不妨设数列 n a的公差为d，故可得 1 311ad， 110 10 100 2 aa ， 即 11 3

18、11,2920adad，解得 1 2 13, 3 ad . 故可得 101 97aad. 故答案为：7. 16设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 249 24aaa，则 9 S _； 810 810 SS 的最大值为_ 【答案】72 64 【解析】 设等差数列的公差为d， 则 2491 31224aaaad，即 1 48ad， 所以 91 9369 872Sad ， 1 1 (1) 11 2 84 22 n n n nad Snn addd nn ， 则 8 84 8 S d 7 8 22 d d， 10 9 848 1022 Sd dd， 所以 2 810 886464 810224

19、 SSddd ， 当且仅当0d 时取等号，所以 810 810 SS 的最大值为 64 故答案为：72；64. 四四、解答题、解答题 17 （2018 平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列an中，a1 0，3a4 = 7a7，求 Sn 取得最大值时 n 的值. 【答案】9 【解析】 设等差数列an的公差为d， 因为 a1 0，3a4 = 7a7， 11 3376adad 化为 1 4330ad 即 1 33 4 d a ，则0d ， 91101 3 80,90 44 dd aadaad ， 所以前 9 项和最大. 即 Sn 取得最大值时 n 的值为 9. 18 （2020 毕节市实验高级

20、中学高一期中）已知数列an是一个等差数列，且 a21，a55. (1)求an的通项 an； (2)求an前 n 项和 Sn的最大值 【答案】 （1）an2n5.（2）4 【解析】 （）设an的公差为 d，由已知条件， ，解出 a13，d2 所以 ana1(n1)d2n5 （）Snna1dn24n(n2)24，所以 n2 时，Sn取到最大值 4 19.（2020 福建省高三月考（文） ）为数列的前 项和.已知0，=. （）求的通项公式； （）设,求数列的前 项和. 【答案】 （）（） 【解析】 （I）由 an2+2an4Sn+3，可知 an+12+2an+14Sn+1+3 两式相减得 an+12

21、an2+2（an+1an）4an+1， 即 2（an+1+an）an+12an2（an+1+an） （an+1an） ， an0，an+1an2， a12+2a14a1+3， a11（舍）或 a13， 则an是首项为 3，公差 d2 的等差数列， an的通项公式 an3+2（n1）2n+1： （）an2n+1， bn（） ， 数列bn的前 n 项和 Tn（）（）. 20 （2020 进贤县第一中学高一月考）已知数列 n a的前n项和为 n S, 满足 22( 1) nn Sn ann, 且 1 1 2 a . (1) 令 1 nn n bS n , 证明: 1 (2) nn bbn n ； (

22、2) 求 n a的通项公式. 【答案】 （1）见解析（2） 21 2 n n a 【解析】 （1）证明：Sn=n2ann2（n1） ， n2 时，Sn=n2（SnSn1）n2（n1） ， 化为： 1n n Sn 1 1 n n S n =n， bn= 1 n n S n ，bnbn1=n（n2） （2）解：b1=2a1=1 bn=n+（n1）+2+1= 1 2 n n bn= 1 n n S n = 1 2 n n ，可得 Sn= 2 2 n an=SnSn1= 2 2 n 2 (1) 2 n = 21 2 n （n2） ，n=1 时也符合 an= 21 2 n 21 （2020 湖北省高三三

23、模（文） ）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且满足： 22 15 8aa， 12 5aa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 n S n 的前n项和为 n T，求 n T取得最大值时n的值. 【答案】 （1） 173 55 n an n N（2）10 【解析】 设差等数列 n a公差为d，依题意有 1 2 2 11 25 48 ad aad . 解之得 1 14 5 3 5 a d ，则 143173 1 5555 n ann ， 故 n a的通项公式为： 173 55 n an n N. （2）由 1 1 2 n n n Snad ，得 1 1413 110 2525

24、 n Sd ann n ， 所以 314 1 105 n，即 31 3 n ，由n N，故10n， 故 n T取最大值时n的值为 10. 22 （2020 安徽师范大学附属中学高一期中）设等差数列 n a的前n项和为 n S， 22 5 aS， 5 15 S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若1 n nn ba ，求数列 n b的前20项和 20 T. 【答案】 （1） n an （2）10 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d，由 221 325 aSad， 51 51015 Sad，即 1 23 ad， 所以 1 1 325 23 ad ad ，解得 1 1 1 a d ， 所以11 n ann. （2）因为1 n nn ba ， 所以 2012341920 .Tbbbbbb 12341920 .aaaaaa .ddd 1010110d.