1、专题专题 34 正态分布正态分布 一、单选题一、单选题 1 （2020 山西应县一中高二期中（理） ）如果随机变量41XN，则2P X 等于（ ） （注： 220.9544PX） A0.210 B0.0228 C0.0456 D0.0215 2 （2020 宜昌天问教育集团高二期末）设随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若(2)0.8P，则 (01)P 的值为（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 3 （2020 辽宁沈阳 高二期中）已知两个正态分布密度函数 2 2 2 1 ,1,2 2 i i x i i xexR i 的图象 如图所示，则（ ） A 1212 , B 1212 ,
2、 C 1212 , D 1212 , 4 （2020 通榆县第一中学校高二期末（理） ）若随机变量 2 3XN，且50.2P X ，则 15PX（ ） A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 5 （2020 湖北郧阳 高二月考）设随机变量服从正态分布4,3N，若232PaPa， 则a的值为（ ） A 7 3 B 5 3 C5 D3 6 （2020 福建高三其他（理） ）已知随机变量2,1XN，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为 1 的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ） 附：若随机变量 2 ,N ，则0.6826P ，220.9544P. A0.1359 B0.
3、6587 C0.7282 D0.8641 7 （2020 嘉祥县第一中学高三其他）如图是当取三个不同值 1 ， 2 ， 3 时的三种正态曲线，那么 1 ， 2 ， 3 的大小关系是（ ） A 132 0 B 132 0 C 123 0 D 123 0 8 （2020 全国高三其他（理） ）某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分 布 2 74,7N ，若该校高二学生有 1000 人参加这次测试，则估计其中成绩少于 60 分的人数约为（ ） 参考数据：若随机变量Z服从正态分布 2 ,N ，则0.6826PZ， 220.9544PZ，330.9974PZ A23 B28
4、C68 D95 二、多选题二、多选题 9（2020 江苏常州 高二期末） 已知在某市的一次学情检测中， 学生的数学成绩 X服从正态分布 N(105， 100)， 其中 90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附：随机变量服从正态分布 N(， 2 )，则 P()0.6826，P(22) 0.9544，P(33)0.9974. A该市学生数学成绩的期望为 105 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 10 （2020 江苏盱眙 马坝高中高二期中）已知三个正态分布密度函数 2 2 () 2
5、1 ( )(,1,2,3) 2 i i x i xexR i 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A 12 B 13 C 12 D 23 11 （2020 山东寿光现代中学高二期中） 甲、 乙两类水果的质量 （单位：kg） 分别服从正态分布 2 11 ,N 、 2 22 ,N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8 D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 12 （2020 辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量
6、0,1N， xPx，其中 0 x，下列等式成立有( ) A 1xx B 22xx C 21Pxx D 2Pxx 三、填空题三、填空题 13 （2020 苏州大学附属中学高二月考）正态总体的概率密度函数 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ，xR的图象关 于直线_对称 14 （2020 营口市第二高级中学高二期末）设随机变量 2 4,3XN，且01P XP Xa，则 实数a的值为_. 15 （2020 全国高三课时练习（理） ）某个部件由两个电子元件按如图 方式连接而成，元件 1或元件 2 正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服 从正态分布 N(1 000，
7、502)，且各个元件能否正常工作相互独立那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概 率为_. 16 （2020 新疆高三月考（理） ）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取 任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果如果采取公共卫生强制 措施，则会导致峰值下降，峰期后移如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布35,2N， 70,8N，则峰期后移了_天，峰值下降了_%（注：正态分布的峰值计算公式为 1 2 ） 四、解答题四、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）生产工艺工程中产品的尺寸误差 X(单位:mm)N(0,1.52)
8、,如果产品的尺寸与规 定的尺寸偏差的绝对值不超过 1.5 mm 为合格品,求: (1)X 的密度函数; (2)生产的 5 件产品的合格率不小于 80%的概率. 18 （2020 山西迎泽 太原五中高三二模（理） ） 山东省高考改革试点方案规定：从 2017 年秋季高中入学 的新生开始，不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目 构成将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B 、B、C、C、D、D、E共 8 个等 级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、 3%选考科目成绩计入考生总成绩
9、时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转 换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到 考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试， 其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记X表示这 3 人中等级成绩在区间61,80的人数， 求X的分布列和数学期望 （附：若随机变量 2 ,N ，则()0.682P，(22 )0.954P， (3
10、3 )0.997P ） 19 （2020 陕西西安高三月考（理） ）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法， 收集 100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h).根据这 100 个样本数据，制作出学生每周平均锻炼 时间的频率分布直方图(如图所示). （）估计这 100 名学生每周平均锻炼时间的平均数x和样本方差 2 s(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表)； （）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样 本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s. （i）求(0.88.3)PZ； （ii）若该校共有 5000名学生，记
11、每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为，试求( )E. 附： 6.162.5 ，若Z 2 ,N ，()0.6827PZ， (22 )0.9545PZ. 20 （2020 湖北黄石港 黄石二中高二月考（理） ）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统 一规格的包装箱包装） ，现统计了最近 100 天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量 T（单位：箱）分 成了以下几组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并绘制了如图所示的频率 分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）. （1） 该物流公司负责人决定用
12、分层抽样的方法从前 3 组中随机抽出 11 天的数据来分析可配送货物量少的原 因， 并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析， 求这3天的数据中至少有2天的数据来自50,60) 这一组的概率. （2） 由频率分布直方图可以认为， 该物流公司每日的可配送货物量 T （单位： 箱） 服从正态分布 2 ,14.4N， 其中近似为样本平均数. （）试利用该正态分布，估计该物流公司 2000天内日货物配送量在区间54.1,97.3内的天数（结果保留 整数）. （）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案. 方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划
13、分为以下三级：60T 时，奖励 50 元；6080T， 奖励 80元；80T 时，奖励 120元. 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送 货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为 奖金 50 100 概率 4 5 1 5 小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：若 2 ,ZN ，则()0.6827PZ，(22 )0.9545PZ. 21 （2020 河北易县中学高三其他（理） ）某精密仪器生产车间每天生产n个零件，质检员小张每天都会随 机地从中抽取 50个零件进
14、行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查根据多年 的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布 2 (10,0.1 )N（单位：微米 m ） ，且相互独立若零件的 长度d满足9.710.3mdm，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格 （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求(2)P X 及X的数学期望EX； （2）小张某天恰好从 50个零件中检查出 2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率已 知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元假设n充分大，为了使 损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由 附
15、：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则 5049 (33 )0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P 22 （2020 定西市第一中学高三其他（理） ）在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民 对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参 加问卷调查的 100人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分
16、ZN(，198)，近似为这 100 人得分的平均值（同 一组中的数据用该组区间的左端点值 作代表） ， 求 的值； 利用该正态分布，求(88.5)P Z ； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 50 概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数 学期望 参考数据与公式：19814若 2 ,XN ，则0.6826PX， 220.9544PX，3
17、30.9974PX 专题专题 34 正态分布正态分布 一、单选题一、单选题 1 （2020 山西应县一中高二期中（理） ）如果随机变量41XN，则2P X 等于（ ） （注： 220.9544PX） A0.210 B0.0228 C0.0456 D0.0215 【答案】B 【解析】 111 (2)1(26)1(4242)(10.954 222 P XPXPX剟?4)0.0228 故选：B 2 （2020 宜昌天问教育集团高二期末）设随机变量服从正态分布 2 (1,)N，若 (2)0.8P ，则 (01)P 的值为（ ） A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 【答案】B 【解析】随机变量服从正
18、态分布 2 1,N ，所以，110.5PP， 12210.8 0.50.3PPP， 01120.3PP，故选 B 3 （2020 辽宁沈阳 高二期中）已知两个正态分布密度函数 2 2 2 1 ,1,2 2 i i x i i xexR i 的图象 如图所示，则（ ） A 1212 , B 1212 , C 1212 , D 1212 , 【答案】A 【解析】 正态曲线关于x 对称，且 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有 越小图象越瘦高，得到正确的结果 详解： 正态曲线是关于x 对称， 且在x 处取得峰值 1 2 ， 由图易得 12 ， 故 1 x的图象更“瘦高”，
19、2 x的图象更“矮胖”，则 12 .故选 A. 4 （2020 通榆县第一中学校高二期末（理） ）若随机变量 2 3XN， 且50.2P X ，则 15PX（ ） A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 【答案】A 【解析】 随机变量 X服从正态分布 2 3,N ， 该正态曲线的对称轴是 3x ， (5)0.2P X ， (15)1 251 0.40.6PXP X . 故选：A 5 （2020 湖北郧阳 高二月考）设随机变量服从正态分布4,3N，若232PaPa， 则a的值为（ ） A 7 3 B 5 3 C5 D3 【答案】D 【解析】 服从正态分布4,3N，232PaPa， 2324 2a
20、a ，解得3a 故选：D 6 （2020 福建高三其他（理） ）已知随机变量2,1XN，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为 1 的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为（ ） 附：若随机变量 2 ,N ，则0.6826P ，220.9544P. A0.1359 B0.6587 C0.7282 D0.8641 【答案】D 【解析】 因为2,1XN 由题意 1 1(01)10.95440.68260.8641 2 PPX 阴影 ， 故选：D 7 （2020 嘉祥县第一中学高三其他）如图是当取三个不同值 1 ， 2 ， 3 时的三种正态曲线，那么 1 ， 2 ， 3 的大小关
21、系是（ ） A 132 0 B 132 0 C 123 0 D 123 0 【答案】D 【解析】 由图可知，三种正态曲线的都等于0 由一定时，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布 越分散，则 123 0 故选：D 8 （2020 全国高三其他（理） ）某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分 布 2 74,7N，若该校高二学生有 1000 人参加这次测试，则估计其中成绩少于 60 分的人数约为（ ） 参考数据：若随机变量Z服从正态分布 2 ,N ，则0.6826PZ， 220.9544PZ，330.9974PZ A23 B2
22、8 C68 D95 【答案】A 【解析】 由220.9544PZ，得 74 14600.9544PXPX ， 所以 1 601600.0228 2 P XP XPX ， 从而成绩少于 60分的人数约为1000 0.022822.823（人） ， 故选：A 二、多选题二、多选题 9（2020 江苏常州 高二期末） 已知在某市的一次学情检测中， 学生的数学成绩 X服从正态分布 N(105， 100)， 其中 90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ） 附：随机变量服从正态分布 N(， 2 )，则 P( )0.6826，P(22) 0.9544，P(33)0.9974. A该市学生数学
23、成绩的期望为 105 B该市学生数学成绩的标准差为 100 C该市学生数学成绩及格率超过 0.99 D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AD 【解析】 依题意105,10,220，285. 期望为 105，选项 A正确；方差为 100，标准差为 10，选项 B 错误； 该市 85分以上占 1 0.9544 10.9772 2 ，故 C错误； 由于 90 120 105 2 ，根据对称性可判断选项 D正确. 故选：AD 10 （2020 江苏盱眙 马坝高中高二期中）已知三个正态分布密度函数 2 2 () 2 1 ( )(,1,2,3) 2 i i x i xexR i 的
24、图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A 12 B 13 C 12 D 23 【答案】AD 【解析】 根据正态曲线关于 x 对称，且 越大图象越靠近右边， 所以 123，BC 错误； 又 越小数据越集中，图象越瘦长， 所以 123，AD正确 故选：AD 11 （2020 山东寿光现代中学高二期中） 甲、 乙两类水果的质量 （单位：kg） 分别服从正态分布 2 11 ,N 、 2 22 ,N ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ） A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8 D乙类
25、水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 【答案】AB 【解析】 因为由图像可知，甲图像关于直线0.4x对称，乙图像关于直线0.8x对称， 所以 1 0.4， 2 0.8，故 A 正确，C错误， 因为甲图像比乙图像更“高瘦”， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故 B 正确， 因为乙图像的最大值为1.99，即 2 1 1.99 2 = ， 所以 2 1.99，故 D错误， 故选：AB. 12 （2020 辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量0,1N， xPx，其中 0 x，下列等式成立有( ) A 1xx B 22xx C 21Pxx D 2Pxx 【答案】
26、AC 【解析】 随机变量服从标准正态分布(0,1)N， 正态曲线关于0 对称， ( )(xPx ， 0)x ，根据曲线的对称性可得： A.()()1( )xxx ，所以该命题正确； B.(2 )(2 ),2 ( )2 ()xxxx ，所以 22xx错误； C.(|)= ()1 2 ()1 21( )2 ( ) 1PxPxxxxx ，所以该命题正确； D.(|)(PxPx或)=1( )()1( ) 1( )22 ( )xxxxxx ，所以该命题错误 故选：AC 三、填空题三、填空题 13 （2020 苏州大学附属中学高二月考）正态总体的概率密度函数 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ，
27、xR的图象关 于直线_对称 【答案】x 【解析】由正态曲线的特征可知正态总体的概率密度函数 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ，xR的图象关于直线 x 对称.故答案为：x 14 （2020 营口市第二高级中学高二期末）设随机变量 2 4,3XN ，且01P XP Xa，则 实数a的值为_. 【答案】9 【解析】 分析：随机变量 2 4,3XN 的正态曲线关于4X 对称，即 0与1a关于4X 对称，解出即可 详解： 根据题意有014 29aa 15 （2020 全国高三课时练习（理） ）某个部件由两个电子元件按如图 方式连接而成，元件 1或元件 2 正常工作，则部件正常工作，设两个电子
28、元件的使用寿命(单位：小时)均服 从正态分布 N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立那么该部件的使用寿命超过 1 000小时的概 率为_. 【答案】 3 4 . 【解析】解法一：(1)由正态分布知元件，1，2 的平均使用寿命为 1 000 小时，设元件 1，2的使用寿命超过 1 000 小时分别记为事件 A，B，显然 P(A)P(B) 1 2 ，所以该部件的使用寿命超过 1 000小时的事件为 ABABAB ，所以其概率 P 1111113 2222224 . 解法二：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1 000，502)得两个电子元件的使用寿命超过 1 000小时
29、的概率均为 1 2 P ，则该部件使用寿命超过 1 000小时的概率为 2 1 3 1 (1) 4 PP . 16 （2020 新疆高三月考（理） ）根据公共卫生传染病分析中心的研究，传染病爆发疫情期间，如果不采取 任何措施，则会出现感染者基数猛增，重症挤兑，医疗资源负荷不堪承受的后果如果采取公共卫生强制 措施，则会导致峰值下降，峰期后移如图，设不采取措施、采取措施情况下分别服从正态分布35,2N， 70,8N，则峰期后移了_天，峰值下降了_%（注：正态分布的峰值计算公式为 1 2 ） 【答案】35 50 【解析】 （1）由题意可知，峰期后移了70 3535（天） ； （2）峰值下降了 111
30、1 50% 2222822 故答案为：35；50 四、解答题四、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）生产工艺工程中产品的尺寸误差 X(单位:mm)N(0,1.52),如果产品的尺寸与规 定的尺寸偏差的绝对值不超过 1.5 mm 为合格品,求: (1)X 的密度函数; (2)生产的 5 件产品的合格率不小于 80%的概率. 【答案】 （1） 2 4.5 1 1.5 2 x xe ； （2）0.494. 【解析】 (1)由题意知 2 X N 0,1.5, 即0,1.5, 故密度函数 2 x -4.5 1 xe. 1.5 2 (2)设 Y 表示 5 件产品中的合格品数, 每件产品是合格品的概
31、率为P X1.5P1.5X1.50.683, 而Y B 5,0.683,合格率不小于80%,即Y5 0.84 , 故 445 5 P Y4P Y4P Y5C0.6831 0.6830.6830.494. 18 （2020 山西迎泽 太原五中高三二模（理） ） 山东省高考改革试点方案规定：从 2017 年秋季高中入学 的新生开始，不分文理科；2020 年开始，高考总成绩由语数外 3 门统考科目和物理、化学等六门选考科目 构成将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B 、B、C、C、D、D、E共 8 个等 级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、1
32、6%、7%、 3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转 换到91,100、81,90、71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30八个分数区间，得到 考生的等级成绩某校高一年级共 2000 人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试， 其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数； （2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记X表示这 3 人中等级成绩在区间61,80的人数， 求X的分布列和数学期望 （附：若随机变量 2 ,N ，则()
33、0.682P，(22 )0.954P， (33 )0.997P ） 【答案】 （）1636 人； （）见解析 【解析】 （）因为物理原始成绩 2 60,13N ， 所以(4786)(4760)(6086)PPP 11 (60 1360 13)(602 13602 13) 22 PP 0.6820.954 22 0.818 所以物理原始成绩在（47，86）的人数为2000 0.818 1636（人） （）由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间61,80内的概率为 2 5 所以随机抽取三人，则X的所有可能取值为 0,1,2,3，且 2 3, 5 XB ， 所以 3 327 0 5125 P X
34、， 2 1 3 2354 1 55125 P XC ， 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 28 3 5125 P X 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 所以数学期望 26 3 55 E X 19 （2020 陕西西安 高三月考（理） ）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收 集 100 位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:h).根据这 100 个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时 间的频率分布直方图(如图所示). （）估计这 100 名学生每周平均锻炼时间的平均数x和样本方差 2 s(
35、同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表)； （）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布 2 ,N ，其中近似为样 本平均数x， 2 近似为样本方差 2 s. （i）求(0.88.3)PZ； （ii）若该校共有 5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为，试求( )E. 附：6.162.5，若Z 2 ,N ，()0.6827PZ， (22 )0.9545PZ. 【答案】 （）平均数 5.85；样本方差 6.16； （） （i）0.8186； （ii）4093. 【解析】 （）这 100名学生每周平均锻炼时间的平均数为 1 0.05 3 0.2 5
36、 0.3 7 0.25 9 0.15 11 0.055.8x . 2222222 (1 5.8)0.05(3 5.8)0.2(5 5.8)0.3(75.8)0.25(95.8)0.15(11 5.8)0.05s 6.16. （） （i）由（）知(5.8,6.16)ZN， 即 2 5.8,2.5ZN ， 从而(0.88.3)(5.855.82.5)(2)PZPZPZ 1 () (22 )()0.8186 2 PZPZPZ（ii）由（i）可 知，(5000,0.8186)B， 故( )5000 0.81864093Enp. 20 （2020 湖北黄石港 黄石二中高二月考（理） ）某物流公司专营从甲
37、地到乙地的货运业务（货物全部用统 一规格的包装箱包装） ，现统计了最近 100 天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量 T（单位：箱）分 成了以下几组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并绘制了如图所示的频率 分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）. （1） 该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前 3 组中随机抽出 11 天的数据来分析可配送货物量少的原 因， 并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析， 求这3天的数据中至少有2天的数据来自50,60) 这一组的概率. （2） 由频率分布直方图可以认为，
38、 该物流公司每日的可配送货物量 T （单位： 箱） 服从正态分布 2 ,14.4N ， 其中近似为样本平均数. （）试利用该正态分布，估计该物流公司 2000天内日货物配送量在区间54.1,97.3内的天数（结果保留 整数）. （）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案. 方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：60T 时，奖励 50 元；6080T， 奖励 80元；80T 时，奖励 120元. 方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送 货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖
39、金及对应的概率分别为 奖金 50 100 概率 4 5 1 5 小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：若 2 ,ZN ，则()0.6827PZ，(22 )0.9545PZ. 【答案】 （1） 46 165 （2） （）1637天（）小张选择方案二更有利 【解析】 （1）由分层抽样知识可知，这 11天中前 3 组的数据分别有 1个，4 个，6 个， 所以至少有 2天的数据来自50,60)这一组的概率概率为 213 7 33 1111 44 C CC46 CC165 P . （2） （）由题得45 0.0555 0.265 0.375 0
40、.385 0.1 95 0.0568.5， 所以 1 (54.197.3)(68.5 14.468.5 28. 8)(0.68270.9545)0.8186 2 PTPT. 故 2000天内日货物配送量在区间54.1,97.3内的天数为 2 000 0.81861637.21637. （）易知 1 ()() 2 P TP T. 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为 50，80，120， 其对应的概率分别为 0.25，0.6，0.15， 故()50 0.2580 0.6 120 0.1578.5E X . 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为 50
41、，100，150，200， 故 142 (50) 255 P Y ， 1114421 (100) 2525550 P Y ， 1144 (150)2 25525 P Y ， 1111 (200) 25550 P Y . 所以Y的分布列为 Y 50 100 150 200 P 2 5 21 50 4 25 1 50 所以 22141 ( )5010015020090 5502550 E Y . 因为( )()E YE X， 所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利. 21 （2020 河北易县中学高三其他（理） ）某精密仪器生产车间每天生产n个零件，质检员小张每天都会随 机地从中抽取 50个
42、零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查根据多年 的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布 2 (10,0.1 )N（单位：微米 m ） ，且相互独立若零件的 长度d满足9.710.3mdm，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格 （1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求(2)P X 及X的数学期望EX； （2）小张某天恰好从 50个零件中检查出 2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率已 知检查一个零件的成本为 10 元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为 260 元假设n充分大，为了使 损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理
43、由 附：若随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则 5049 (33 )0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P 【答案】 （1）见解析（2）需要，见解析 【解析】 （1） 14950 50 (2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003P XP XP XC , 由于X满足二项分布,故0.0013 500.065EX . （2）由题意可知不合格率为 2 50 , 若不检查,损失的期望为 252 ( )2602020 505 E Ynn ； 若检查,成本为10n,由于 522 ( ) 1020 1020 55 E Ynnnn, 当n充
44、分大时, 2 ( ) 10200 5 E Ynn, 所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 22 （2020 定西市第一中学高三其他（理） ）在创建“全国文明城市”过程中，银川市“创城办”为了调查市民 对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参 加问卷调查的 100人的得分统计结果如表所示： 组别 30，40) 40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ZN(，198)， 近似为这 100 人得分的
45、平均值（同 一组中的数据用该组区间的左端点值 作代表） ， 求 的值； 利用该正态分布，求(88.5)P Z ； （2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： 得分不低于的可以获赠 2 次随机话费，得分低于的可以获赠 1次随机话费； 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单元：元） 20 50 概率 3 4 1 4 现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数 学期望 参考数据与公式：19814若 2 ,XN ，则0.6826PX， 220.9544PX，330.9974PX 【答案】 （1）60.5
46、0.0228（2）见解析，165 4 【解析】 （1）由题意得： 30 240 1350 21 60 2570 2480 11 90 4 60.5 100 ， 60.5 ，19814， 1(22 ) (88.5)(2 )0.0228 2 P uZ P ZP Z ， （2）由题意知 1 2 P ZP Z，. 获赠话费X的可能取值为 20，40，50，70，100， 133 20 248 P X ， 1339 40 24432 P X ， 111 50 248 P X ， 1311133 70 24424416 P X ， 1111 100 24432 P X ，. X的分布列为： X 20 40 50 70 100 P 3 8 9 32 1 8 3 16 1 32 39131165 ()20405070100 832816324 E X .
