1、第九讲 整除和位值原理 整除问题整除问题 1.1.整除的概念整除的概念 2.2.整除的基本性质整除的基本性质 3.3.数的整除特征数的整除特征 4.4.位值原理位值原理 5.5.位值原理的表达形式位值原理的表达形式 1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。 2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。 3.掌握整除的性质，并熟练应用被 2、3、4、5、8、9、11 整除的数的特征。 例例 1：证明：当：证明：当ac时，时，abccba必是必是 9 的倍数。的倍数。 例例 2 2：有一个两位数，把数码有一个两位数，把数码 1 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也
2、可以得加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以得 到一个三位数，这两个三位数相差到一个三位数，这两个三位数相差 666666。求原来的两位数。求原来的两位数。 例例 3 3：a a，b b，c c 是是 1 19 9 中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之 和是（和是（a+b+ca+b+c）的多少倍？）的多少倍？ 例例 4 4：用用 2 2，8 8，7 7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是 多少？多少？ 例例 5
3、 5：一个两位数，各位数字的和的一个两位数，各位数字的和的 5 5 倍比原数大倍比原数大 6 6，求这个两位数。，求这个两位数。 例例 6 6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等 于原来的三位数，求原来的三位数。于原来的三位数，求原来的三位数。 A A 1.一个自然数与 13 的和是 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是 2.有三个正整数 a、b、c 其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质，给出下面四个判断：(a+c) 2 不能被 b 整除，a
4、2+c2不能被 b 整除：(a+b)2不能被 c 整除；a2+b2不能被 c 整除，其 中，不正确的判断有( ) A4 个 B3 个 C 2 个 D1 个 3.已知 7 位数61287xy是 72 的倍数，求出所有的符合条件的 7 位数 4.(1)一个自然数 N 被 10 除余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，被 7 除余 6，被 6 除余 5，被 5 除余 4，被 3 除余 2，被 2 除余 1，则 N 的最小值是 (北京市竞赛题) (2)若1059、 1417、 2312分别被自然数x除时， 所得的余数都是y， 则xy的值等于( ) A15 B1 C164 D174 (“五羊杯”竞
5、赛题) (3)设 N= 个1990 111，试问 N 被 7 除余几?并证明你的结论 (安徽省竞赛题) 5.盒中原有 7 个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了 7 个小球，将其放 回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了 7 个小球后放回盒中，如此进 行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( ) A1990 个 B1991 个 C 1992 个 D1993 个 B B 6.在 100 以内同时被 2、3、5 整除的正整数有多少个? 7.某商场向顾客发放 9999 张购物券， 每张购物券上印有一个四位数的号码， 从 0001 到 9999 号， 如
6、果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和， 则称这张购物券为 “幸运券” 证明： 这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被 101 整除 8.写出都是合数的 13 个连续自然数 9.已知定由 “若大于 3 的三个质数 a、 b、 c 满足关系式 20+5b=c， 则 a+b+c 是整数 n 的倍数” 试 问：这个定理中的整数 n 的最大可能值是多少?请证明你的结论 10.一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大 数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“新生数” ，试求 所有的三位“新生数” 11.设 N 是
7、所求的三位“新生数” ，它的各位数字分别为 a、b、c (a、b、c 不全相等)，将其 各位数字重新排列后，连同原数共得 6 个三位数：cbacabbcabacacbabc,，不妨设其 中的最大数为abc， 则最小数为cba 由 “新生数” 的定义， 得 N=abccba=(100a+l0b+c) 一(100c+l0b+d)=99(ac) C C 12.从左向右将编号为 1 至 2002 号的 2002 个同学排成一行， 从左向右从 1 到 11 报数， 报到 11 的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从 1 到 11 报数，报到 11 的同学留下， 其余同学出列； 留下的
8、同学再从左向左从 1 到 11 地报数， 报到 11 的同学留下， 其余同学出列问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号? 13.在一种游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数cbacabbcabacabc、的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就能说出这个人所想的数abc现在设 N=3194，请你做魔术师， 求出数abc来 14.某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠现有 A、B、C 三个旅游团共 72 人，如果各团单独购票，门票费依次为 360 元、384 元、480 元；如果三个团合起来购票， 总共可少花 72 元 (1)这三个旅游团各有多少人? (2)在下面填写一种票价方案，使
9、其与上述购票情况相符 15.在下边的加法算式中，每个口表示一个数字，任意两个数字都不同：试求 A 和 B 乘积的 最大值 16.任给一个自然数 N，把 N 的各位数字按相反的顺序写出来，得到一个新的自然数 N，试 证明：NN能被 9 整数 17.证明：111 111+112112十 113113能被 10 整除 1.在下列数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 9 整除？哪些能被 3 整除？ 28、96、120、225、540、768、423、224、292 2.（1）五位数 A1A72 能被 12 整除； （2）五位数 4B97B 能被 12 整除，求这两个五位数。 3.有一个四位整数 16，如
10、果要让这个四位数同时能被 2、3、4、5 整除，那么这个四位 数的末两位上应是什么数？ 4.要使六位数能被 36 整除，而且所得的商最小，问这个六位数是多少？ 5.已知 2002 年的 1 月 l 日是星期二，那么 （1）2002 年的 12 月 5 日是星期几？ （2）20 年后的 1 月 l 日将是星期几？ 6.检验下面的算式是否正确： （l）65343+35892+38462=139587 （2）2708358=968464。 618ABC 售票处 普通票 团体票(须满人) 每人 7.已知两个整数相除商是 13，余数是 8，并且被除数与除数的差是 308，求这两个整数。 8.有一列数字：
11、l，2，9，4，7，1，2，9，4，7（1）第 307 个数是多少？（2）这 307 个数相加的和是多少？ 1.1.在内填上适当的数字，使（1）34能同时被 2、3、4、5、9 整除； （2）736能被 24 整除； （3）1996能同时被 8、9、25 整除 2.2.把 915 连续写多少次，所组成的数就能被 9 整除，并且这个数最小 3.3.希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮她看到圆珠笔每支 3 角 9 分， 橡皮每块 6 分，其余她没注意售货员要她付 3 元 8 角，希希马上说： “阿姨你算错了 ”请 问售货员的帐算错了没有？为什么？ 4.4.三个数分别是 346，734，983，请再写一个比 996 大的三位数，使这四个数的平均数是一 个整数 5.5.甲、乙两数的和是 1088，甲数除以乙数的商是 11，余数是 32，求甲、乙两的数值。 6.6.小雨有一盒糖，每 7 颗一数还余 4 颗，每 5 颗一数又少 3 颗，每 3 颗，每 3 颗一数恰好数 完，这盒糖至少有多少颗？ 7.7.今年国庆节是星期三，10 月 17 日是星期几？ 8.节日的街上挂起了一串串的彩灯，从第一盏开始，按照 5 盏红灯，4 盏黄灯，3 盏绿灯，2 盏蓝灯的顺序重复地排下去，问第 1996 盏灯是什么颜色
