1、1 1.4.4 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 教学设计教学设计（人教（人教 A A 版）版） 本节内容比较抽象，首先从命题出发，分清命题的条件和结论，看条件能否推出结论，从而判断命题 的真假；然后从命题出发结合实例引出充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，再详细讲述概念，最 后再应用概念进行论证. 课程目标课程目标 1理解充分条件、必要条件与充要条件的意义 2结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解； 2.逻辑推理：通过命题的判定得出充
2、分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、 必要条件、充要条件的判断； 3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组； 4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件， 探求的过程同时也是证明的过程； 5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思 维能力。 重点：重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念 难点：难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、一、
3、问题导入：问题导入： 写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？ （1）若 x a 2 + b2，则 x 2ab, （2）若 ab 0，则 a 0. 学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题()为假命题 提问：对于命题“若 p，则 q”，有时是真命题，有时是假命题如何判断其真假的？ 结论：看 p 能不能推出 q，如果 p 能推出 q，则原命题是真命题，否则就是假命题 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、二、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读课本 17-22 页，思考并完成以下问题 1. 什么是充分条件？ 2. 什么是必要条件？ 3.
4、 什么是充要条件？ 5. 什么是充分不必要条件？ 6. 什么是必要不充分条件？ 7. 什么是既不充分也不必要条件？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在 自主学习中遇到的困惑过程。 三、新知三、新知探究探究，知识梳理，知识梳理 1充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 pq p /q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2. 充要条件 一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq此时，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件显 然
5、，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，即如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件 概括地说，(1)如果pq，那么p与q互为充要条件 (2)若pq，但q /p，则称p是q的充分不必要条件 (3)若qp，但p /q，则称p是q的必要不充分条件 (4)若p /q，且q /p，则称p是q的既不充分也不必要条件 3.从集合角度看充分、必要条件 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件的判断 例例 1 1 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既 不
6、充分也不必要条件”中选出一种作答) (1)在ABC中，p：AB，q：BCAC； 记法记法 A=x|p(x),B=x|q(x)A=x|p(x),B=x|q(x) 关系关系 A A B B B B A A A=BA=B A A B B 且且 B B A A 图示图示 结论结论 p p 是是 q q 的充分不必的充分不必 要条件要条件 p p 是是 q q 的必要不充的必要不充 分条件分条件 p,qp,q 互为充要条件互为充要条件 p p 是是 q q 的既不充分也的既不充分也 不必要条件不必要条件 (2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2 或y6； (3)p：(a2)(a3)0，q：a3；(4)
7、p：ab，q：a b1. 【答案】见解析 【解析】(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充分必要条件 (2)因为x2 且y6xy8，即 qp，但pq，所以 p是q的充分不必要条件 (3)由(a2)(a3)0 可以推出a2 或a3，不一定有a3；由a3 可以得出(a2)(a3)0.因此， p是q的必要不充分条件 (4)由于ab，当b0 时，a b1； 当b0 时，a b1，故若 ab，不一定有a b1；当 a0，b0，a b1 时，可以推出 ab； 当a0，b0，a b1 时，可以推出 ab.因此p是q的既不充分也不必要条件 解题技巧： （充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法
8、 若pq，q /p，则p是q的充分不必要条件；若p /q，qp，则p是q的必要不充分条件； 若pq，qp，则p是q的充要条件；若p /q，q /p，则p是q的既不充分也不必要条件 (2)集合法 对于集合Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q，具体情况如下： 若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件； 若AB，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件； 若BA，则p是q的必要不充分条件 (3)等价法 等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等 价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断 跟踪训练一跟踪训练一 1设a，
9、b是实数，则“ab”是“a 2b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】D 题型二题型二 充要条件的探求与证明充要条件的探求与证明 例例 2 2 (1)“x 24x0”的一个充分不必要条件为( ) A0 x4 B0 x0 Dxy，求证：1 x0. 【答案】（1）B （2）见解析 【解析】(1)由x 24x0 得 0 x4，则充分不必要条件是集合x|0 x0 及xy，得 x xy y xy，即 1 x 1 y. 必要性：由1 x 1 y，得 1 x 1 y0，即 yx xy y，所以yx0. 所以1 x0. 法二：1 x 1 y 1 x
10、1 y0 yx xy yyx0，故由yx xy 0. 所以1 x0，即 1 x0. 解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法) (1)探求 A 成立的充要条件时，先将 A 视为条件，并由 A 推导结论(设为 B)，再证明 B 是 A 的充分条件，这 样就能说明 A 成立的充要条件是 B，即从充分性和必要性两方面说明 (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探 求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明 跟踪训练二跟踪训练二 2(1)不等式x(x2)0 成立的一个必要不充分条件是( ) Ax(0,2) Bx1，) Cx(0,1
11、) Dx(1,3) (2)求证：关于x的方程ax 2bxc0 有一个根是 1 的充要条件是 abc0. 【答案】 （1）B （2）见解析 【解析】（1）由x(x2)0 得 0 x2，因为(0,2) 1，)，所以“x1，)”是“不等式x(x 2)0)，且 p是q的充分不必要条件，则实数m的取值 范围为_ 【答案】m|m9(或9，) 【解析】 由x 28x200，得2x10，由 x 22x1m20(m0)， 得 1mx1m(m0) 因为p是q的充分不必要条件，所以pq且q /p. 即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集， 所以 m0， 1m0， 1m10， 解得m9. 变式变式 变条件变条件
12、 【例 3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条 件不变，试求m的取值范围 【答案】见解析 【解析】由x 28x200 得2x10，由 x 22x1m20(m0)得 1mx1m(m0) 因为p是q的必要不充分条件，所以qp，且p /q. 则x|1mx1m，m0 x|2x10所以 m0 1m2 1m10 ，解得 0m3. 即m的取值范围是(0,3 解题技巧： （利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p、q两命题， (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围 跟踪训练三跟踪训练三 3已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，求实数a的取值范围 【答案】见解析 【解析】因为“xP”是xQ的必要条件，所以QP.所以 a41 a43 解得1a5 即a的取值范围是1,5 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 23 页习题 1.4 因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学 生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明。 1.4 充分条件与必要条件 1.充分条件 例 1 例 2 例 3 2.必要条件
