1、5.1.2 5.1.2 弧度制弧度制 本节课是普通高中教科书人教 A 版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作 用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推 广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识 的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对 应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习 三角函数带很大方便。 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌 B.能灵活运用弧长
2、公式、扇形面积公式解 决问题； C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特 殊到一般的思想方法。 1.数学抽象： 角集与实数集间的一一对应； 2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式； 3.数学运算：求扇形的弧长和面积； 4.直观想象：由函数的图象表示函数； 5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。 1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明； 2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【答案】角度制的单位有：度、分、秒。 2.1的角是如
3、何定义的？ 【答案】规定：圆周 1/360 的圆心角称作 1角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 . 日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长 80 厘米， 也可以说长 0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他 科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 弧度制， 它是如何定 义呢？ 二、探索新知 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 角度为 30 0、600的圆心角，半径 r=1,2,3 时， （1）分别计算相对应的弧长 l （2）分别计算对应弧长与半径之比 思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？ 【答案】.圆心角不变，比值不变； 比值的大小与所取的圆
4、的半径大小无 关； 圆心角改变，比值改变；比值的大 小只与圆心角的大小有关； 1.弧度的概念 把长度等于半径长的弧所对的圆心 角叫做 1 弧度(radian)的角. 弧度制： 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制， 它的 单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为 0. 思考 1:圆的半径为 r,弧长分别为 2r、 -3r,则它们所对圆心角的弧度 数是多少? 【答案】2rad,-3rad. 思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角所对的弧长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值如何计算？ 【答案】 r l | 结论： 圆心角 AOB
5、的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对 值。 2.角度与弧度的换算 思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是 多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 【答案】360，2。 1802360， 思考 4：根据上述关系，1等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】 30.57 180 rad,1rad01745. 0 180 1）（ 通过复习初中所学 角的单位及定义，类 比长度的不同度量 制，用类比的方法、 联系的观点引入本 节新课。建立知识间 的联系，提高学生概 括、类比推理的能 力。 通过探究与思 考，寻找弧长、半径 与圆心角之间的关 系，进而得弧度的
6、定 义，提高学生的解决 问题、分析问题的能 力。 通过思考，进一步巩 固弧度制的定义，提 高学生分析问题、概 括能力。 通过思考，归纳弧度 与角度的互化。提高 学生分析问题、概括 能力。 例1. 把 6730化成弧度。 【解析】因为，）（ 2 135 0367 所以radrad 8 3 2 135 180 0367 。 例2. 把下列各角的弧度化为度数。 （1） 4 2 12 5 ）（ 【解析】（1） 75 12 5180 12 5 ）（ 45 180 4 2）（）（ 注：角度制与弧度制互化时要抓住 180= rad 这个关键。 注: 常规写法 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，
7、不必写 成小数 用弧度制表示角时, “弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写 该角所对应的弧度数. 弧度与角度不能混用即不能出现这样的形式: 6 30 。 填写下列表中特殊角的弧度数或度数。 角 度 0 0 30 0 60 0 120 0 1350 270 0 弧 度 4 2 6 5 2 3. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系， 任意角的集合 实数集 R 例 3.利用弧度制证明下列扇形的公式： （1） 2 R 2 1 S2）（Rl lR 2 1 S3）（。 （ 其 中R是 扇 形 的 半 径 ，l是 弧 长 ， 为圆心角（)20，S 是扇形的面积）。 通过例题学会角度 与弧
8、度的转化，提高 学生解决问题的能 力。 通过例题总结弧度 制下的扇形的弧长 公式、扇形的面积公 式，提高学生的观 察、概括能力。 三、达标检测 1正确表示终边落在第一象限的角的范围的是( ) A 2k，2k 2 (kZ) B k，k 2 (kZ) C 2k，2k 2 (kZ) D k，k 2 (kZ) 【解析】 B 中 k1 时为 ，3 2 显然不正确；因为第一象限 角不含终边在坐标轴的角故 C、D 均错，只有 A 正确 【答案】 A 2与 30角终边相同的角的集合是( ) A k 360 6 ，kZ B|2k30，kZ C|2k 36030，kZ D 2k 6 ， kZ 【解析】 3030
9、180 rad 6 rad， 与 30终边相同的所有角可表示为 2k 6 ，kZ，故选 D 【答案】 D 3在半径为 10 的圆中，240的圆心角所对弧长为( ) A40 3 B20 3 C200 3 D400 3 【解析】 240240 180 rad 4 3rad， 弧长 l| r4 310 40 3 ，选 A 【答案】 A 4 将1 485化成 2k(02， kZ)的形式为_ 【解析】 由1 4855360315， 所以1 485可以表示为107 4. 【答案】 107 4 5一个扇形的面积为 1，周长为 4，求该扇形圆心角的弧度数 【解析】 设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 ，
10、 则 2Rl4. 由扇形的面积公式 S1 2 lR，得 1 2lR1. 通过练习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。 由 于弧 度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制 与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思 想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。 学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分 学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。只是学生的作业 还是做得不太好。所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。 由得 R1，l2， l R2 rad. 扇形的圆心角为 2 rad. 四、小结 1. 1 弧度角的定义； 2.角度制与弧度制的联系与区别； 3.弧长公式与扇形的面积公式; 五、作业 习题 5.1 5.（2）、（4）,6.（1）,9 题 通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力,提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。
