1、【新教材】【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 教学设计（人教教学设计（人教 A 版）版） 本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出 正弦函数、余弦函数的性质. 课程目标课程目标 1.了解周期函数与最小正周期的意义; 2.了解三角函数的周期性和奇偶性; 3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期; 4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与 x 轴的交点等); 5.能利用性质解决一些简单问题. 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑
2、推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间； 3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性. 4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质. 重点：重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质； 难点：难点：应用正、余弦函数的性质来求含有 cosx,sinx 的函数的单调性、最值、值域及对称性. 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、 称性等考虑，那么正余
3、弦函数有哪些性质呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 201-205 页，思考并完成以下问题 1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？ 2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？ 3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1.定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或). 2.值域 (1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是. (2)最值 正弦函数 当且仅当时,取得最大值 当且仅当时
4、,取得最小值 余弦函数 当且仅当时,取得最大值 当且仅当时,取得最小值 3.周期性 定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时, 都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期. 由此可知, 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫 做的最小正周期. 根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小 正周期是. 4.奇偶性 ()为奇函数,其图象关于原点对称 ()为偶函数,其图象关于轴对称 5.对称性 正弦函数的对称中心是,对称轴是直线; 余弦函数的对称中心是,对称轴是直线 (正
5、(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中 轴线)的交点). 6.单调性 正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在 每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数 在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到. 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 正、余弦函数的周期性正、余弦函数的周期性 例例 1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3)y=2sin( 1 26 x ),xR; (4)y=|cos x|,xR.
6、【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4). 【解析】:(1)因为 3cos(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x 的最小正周期为 2. (2)因为 sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x 的最小正周期为 . (3) 因 为 1 s i n(4)s i n2s i n 262626 xx x , 所 以 由 周 期 函 数 的 定 义 知 , 2sin 26 x y 的最小正周期为 4. (4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为 . 解题技巧：（求函数最小正
7、周期的常用方法） (1)定义法，即利用周期函数的定义求解 (2)公式法，对形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A， 是常数，A0，0)的函数，T 2 |. (3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解 跟踪训练一跟踪训练一 1.（1）函数 y=2sin (3x+ 6 ),xR 的最小正周期是( ) (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) (2)函数 y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为 . 【答案】(1)B；(2) 2 【解析】 (2)作出 y=|sin 2x|(xR)的图象(如图所示). 由图象
8、可知,函数 y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为 2 . 题型二题型二 化简、求值化简、求值 例例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=2sin 2x;(2)f(x)=sin( 3 4 x + 3 2 );(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=1 cosx+cos1x. 【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又是偶函数. 【解析】(1)显然 xR,f(-x)=2sin(-2x)=-2sin 2x=-f(x),所以 f(x)=2sin 2x 是奇函数. (2)因为 xR,f(x)=sin( 3 4 x + 3 2 )=-cos 3 4
9、x ,所以 f(-x)=-cos(- 3 4 x )=-cos 3 4 x =f(x), 所以函数 f(x)=sin( 3 4 x + 3 2 )是偶函数. (3)显然 xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数 f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由 1cos0, cos10, x x 得 cos x=1,所以 x=2k(kZ),关于原点对称,此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶 函数. 解题技巧：(判断函数奇偶性的方法) 判断函数奇偶性的方法 (1)利用定义判断一个函数 f(x)的奇偶性,要考虑两方面:函数的定义域是否关于原点对称;f(-x)与 f
10、(x)的关系; (2)判断函数的奇偶性常用方法是:定义法;图象法. 跟踪训练二跟踪训练二 1.下列函数中,最小正周期为 的奇函数是( ) (A)y=sin(2x+ 2 ) (B)y=cos(2x+ 2 ) (C)y=sin(2x+ 4 ) (D)y=2sin(x+ 4 ) 【答案】B 【解析】 A 中,y=sin(2x+ 2 ),即 y=cos 2x,为偶函数;C,D 中,函数为非奇非偶函数;B 中,y=cos(2x+ 2 )=-sin 2x,是奇函数,T= 2 2 =,故选 B. 2.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 ，且当 x 0， 2 时
11、， f(x)sin x，则 f 5 3 等于 ( ) A1 2 B1 C 3 2 D 3 2 【答案】D 【解析】因为 f(x)的最小正周期为 T，所以 f 5 3 f 5 3 2 f 3 ， 又 yf(x)是偶函数，所以 f(x)f(x)所以 f 5 3 f 3 f 3 sin 3 3 2 . 题型三题型三 正、余弦函数的单调性正、余弦函数的单调性 例例 3 求函数 y=sin( 1 2 x+ 3 )的单调区间. 【解析】当- 2 +2k 1 2 x+ 3 2 +2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为- 5 3 +4k, 3 +4k(kZ).当 2 +2k 1 2 x+ 3 3
12、 2 +2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为 3 +4k, 7 3 +4k(kZ). 解题技巧：（求单调区间的步骤） (1)用“基本函数法”求函数 yAsin(x)(A0，0)或 yAcos(x)(A0，0)的单调 区间的步骤： 第一步：写出基本函数 ysin x(或 ycos x)的相应单调区间； 第二步：将“x”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”； 第三步：解关于 x 的不等式 (2)对于形如 yAsin(x)的三角函数的单调区间问题，当 0 时，可先用诱导公式转化为 y Asin(x)，则 yAsin(x)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调
13、递减区 间即为原函数的单调递增区间余弦函数 yAcos(x)的单调性讨论同上另外，值得注意的是 kZ 这一条件不能省略 跟踪训练三跟踪训练三 1求函数 y2sin 4x 的单调增区间 【解析】y2sin 4x 2sin x 4 ，令 zx 4，则 y2sin z，求 y2sin z 的增区间，即求 ysin z 的减区间，所以 22kz 3 2 2k(kZ)， 即 22kx 4 3 2 2k(kZ)，解得3 4 2kx7 4 2k(kZ)， 所以 y2sin 4x 的单调增区间是 3 4 2k，7 4 2k (kZ) 题型四题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用正弦函数、余弦函数单调性的应用
14、例例 4 比较下列各组中函数值的大小： （1）cos 23 5 与 cos 17 4 ；(2)sin 194 与 cos 160 . 【答案】（1）cos 23 5 cos 17 4 ；（2）sin 194 cos 160 . 【解析】（1）cos 23 5 cos 67 5 cos7 5 ，cos 17 4 cos 67 4 cos7 4 ， 7 5 7 4 2， 且函数 ycos x 在， 2上单调递增， cos7 5 cos7 4 ， 即 cos 23 5 cos 17 4 . (2)sin 194 sin(180 14 )sin 14 ， cos 160 cos(180 20 )cos
15、 20 sin 70 . 0 14 70 90 ，且函数 ysin x 在 0 x90 时单调递增，sin 14 sin 70 . 从而sin 14 sin 70 ，即 sin 194 cos 160 . 解题方法（比较两个三角函数值的大小） (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利 用函数的单调性比较 (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上 (3)已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解 跟踪训练四跟踪训练四 1下列结论正确的是 ( ) Asin 400 sin 50 Bsin
16、 220 cos 200 Dcos(40 )cos 310 【答案】C. 【解析】由 cos 130 cos(180 50 )cos 50 ，cos 200 cos(180 20 )cos 20 ，因为当 0 x90 时， 函数 ycos x 是减函数， 所以 cos 50 cos 20 ， 即 cos 130 cos 200 . 题型五题型五 正、余弦函数的值域与最值问题正、余弦函数的值域与最值问题 例例 5 求下列函数的值域: (1)y=cos(x+ 6 ),x0, 2 ;(2)y=cos2x-4cos x+5. 【答案】（1）- 1 2 , 3 2 ；（2）2,10. 【解析】(1)由
17、x0, 2 可得 x+ 6 6 , 2 3 , 函数 y=cos x 在区间 6 , 2 3 上单调递减,所以函数的值域为- 1 2 , 3 2 . (2)y=cos2x-4cos x+5,令 t=cos x,则-1t1.y=t2-4t+5=(, 当 t=-1 时,函数取得 t-2)2+1 最大值 10; t=1 时,函数取得最小值 2,所以函数的值域为2,10. 解题方法（三角函数的值域问题解题思路） 三角函数的值域问题的两种类型,一是化为y=Asin(x+)+B的形式,这种类型的值域问题解决方 法是利用区间上的单调性;二是与其他函数相复合,最为常见的是与二次函数复合,利用的是三角 函数的有
18、界性和二次函数区间的最值.其方法是换元法,把问题转化为二次函数求值域问题. 跟踪训练五跟踪训练五 1. 函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为 . 【答案】-9,1. 【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x- 5 4 )2+ 9 8 . 故当 sin x=1 时,ymax=1;当 sin x=-1 时,ymin=-9,故 y=2cos2x+5sin x-4 的值域为-9,1. 2.设 f(x)=acos x+b 的最大值是 1,最小值是-3,则 g(x)=bsin(ax+ 3 )的
19、最大值为 . 【答案】1. 【解析】由题意 a0,当 a0 时, 1, 3, ab ab 所以 2, 1, a b 此时 g(x)=-sin(2x+ 3 ),其最大值为 1.当 a0 时, 3, 1, ab ab 所以 2, 1. a b 此时 g(x)=-sin(-2x+ 3 ),其最大值为 1.综上知,g(x)的最大值为 1. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 207 页练习、213 页习题 5.4 2-6、10、11 题. 本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比 较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开. 5.4.2 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域 例 1 例 2 例 3 2.值域 3.周期性 4.奇偶性 例 4 例 5 5.单调性 6.对称性
