1、【新教材】【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计教学设计 （人教（人教 A 版）版） 本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是 两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于 三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。 课程目标课程目标 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽
2、象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题. 4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。. 重点：重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 教学方法：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 我 们 在 初 中 时 就 知 道 2 cos45 2 ， 3 cos30 2 ， 由 此 我 们 能 否
3、得 到 cos15cos 4530? 大家可以猜想，是不是等于cos45 cos30 呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课二、预习课本，引入新课 阅读课本 215-218 页，思考并完成以下问题 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？ 2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究三、新知探究 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin_cos_cos_sin_； cos()cos_cos_sin_sin_； tan() t
4、an tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 22sin_cos_； cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_； tan 2 2tan 1tan2. 提醒： 1必会结论 (1)降幂公式：cos2 1cos 2 2 ，sin2 1cos 2 2 . (2)升幂公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 . (3)公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) (4)辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)， 其中 sin b a2b2，cos a a2b2 . 2常见的配角技巧 2()()， ()， 2
5、2 ， 2 2 ， 2 2 2 等 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 给角求值给角求值 例例 1 利用和（差）角公式计算下列各式的值. (1)sin72 cos42cos72 sin42 ; (2)cos20 cos70sin20 sin70 ; 1tan15 (3). 1tan15 【答案】（1） 1 2 （2）0（3）3. 1 =sin 7242=sin30 = 2 =cos 2070=cos90 =0 tan45tan15 =tan603. 1tan45 tan15 （1）原式； （2）原式； （ 【解】 3）原式 析 解题技巧：（利用公式求值问题） 在利用公式
6、解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或 同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两 角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 跟踪训练一跟踪训练一 1.cos 50 =( ) A.cos 70 cos 20 -sin 70 sin 20 B.cos 70 sin 20 -sin 70 cos 20 C.cos 70 cos 20 +sin 70 sin 20 D.cos 70 sin 20 +sin 70 cos 20 【答案】C 【解析】 cos 50 =cos(70 -20 )=cos 7
7、0 cos 20 +sin 70 sin 20 . 2.cos5 12cos 6+cos 12sin 6的值是( ) A.0 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 【答案】C 【解析】cos5 12cos 6+cos 12sin 6=cos 5 12cos 6+sin 5 12sin 6=cos( 5 12 - 6)=cos 4 = 2 2 . 3. 求值：(1)tan75 ；(2) 3tan15 1 3tan15 . 【答案】（1）2 3；（2）1. 【解析】(1)tan75 tan(45 30 ) tan45 tan30 1tan45 tan30 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3
8、126 3 6 2 3. (2)原式 tan60 tan15 1tan60 tan15 tan(60 15 )tan45 1. 题型二题型二 给值求值给值求值 例例 2 45 sin,cos,cos(). 5213 已知是第三象限角，求的值 【答案】 33 . 65 2 2 3 cos=- 1 sin. 5 12 sin- 1 cos, 13 3512433 cos()=coscossinsin=. 51313565 是第二象限角， 是第三 【解析 ， 】 象限角 则 例例 3 3 sin,sin(),cos(),tan(). 5444 已知是第四象限角，求的值 【答案】见解析. 43 cos
9、=,tan. 54 24327 2 sin()=sincoscossin= 444255210 24327 2 cos()=coscossinsin= 444255210 37 tantan1 444 tan()=7. 31 4 1tantan1 444 是第四象限【解析角 ； 】， ； 解题技巧：(给值求值的解题策略) (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角 的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、 差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角 的变换有: =(-)+;=+ 2 + - 2 ;2=(+)+(-
10、); 2=(+)-(-). 跟踪训练二跟踪训练二 1.(1)已知 为锐角,sin =3 5, 是第四象限角,cos = 4 5,则 sin(+)= . (2)若 sin(-)cos +cos(-)sin =3 5,且 ( 2 ,),则 tan(- 3 4 ) = . 【答案】（1）0；（2）1 7 【解析】 (1) 为锐角,sin =3 5,cos = 4 5. 是第四象限角,cos =4 5,sin =- 3 5. sin(+)=sin cos +cos sin =3 5 4 5 + 4 5 (- 3 5)=0. (2)由已知得 sin (-)+=3 5,即 sin = 3 5,又因为 (
11、2 ,), 所以 cos =-4 5,于是 tan =- 3 4, 故 tan(- 3 4 ) = tan-tan 3 4 1+tantan 3 4 = -3 4-(-1) 1+(-3 4)(-1) = 1 7. 题型三题型三 给值求角给值求角 例例 4 已知 tan1 7，sin 10 10 ，且 ， 为锐角，求 2 的值 【答案】 4. 【解析】 tan1 71 且 为锐角，0 4. 又sin 10 10 50 10 2 2 且 为锐角 0 4，02 3 4 . 由 sin 10 10 ， 为锐角，得 cos3 10 10 ，tan1 3. tan() tantan 1tantan 1 7
12、 1 3 11 7 1 3 1 2. tan(2) tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1. 由可得 2 4. 解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤) (1)给值求角问题的步骤 求所求角的某个三角函数值 确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小， 会使求出的角不合题意或漏解)， 根据范围找出角 (2)选取函数的原则 已知正切函数值，选正切函数 已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是 0， 2 ，选正弦或余弦函数均可；若 角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是 2， 2 ，选正弦较好 跟踪训练三跟踪训练三 1.若 tan =1 2,tan =
13、1 3,且 (, 3 2 ),(0, 2),则 + 的大小等于( ) A. 4 B.5 4 C.7 4 D.9 4 【答案】B . 【解析】由已知得 tan(+)=tan+tan 1-tantan = 1 2+ 1 3 1-1 2 1 3 =1. 又因为 (, 3 2 ),(0, 2), 所以 +(,2),于是 +=5 4 . 题型四题型四 二倍角公式应用二倍角公式应用 例例 5 5 sin2,sin4cos4tan4. 13 42 已知求，的值 【答案】见解析. 2 2 125 2,cos2 =,tan2. 4221312 512120 sin42sin2 cos22; 1313169 12
14、119 cos42cos 2121; 13169 sin4120 tan4. cos4119 【，解析】 解题技巧：(二倍角公式应用二倍角公式应用) 应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析， 消除差异 跟踪训练四跟踪训练四 1. (1)已知 2， ，sin 5 5 ，则 sin2_，cos2_，tan2_； (2)已知 sin 4x 5 13，0 x 4，求 cos2x 的值 【答案】（1）4 5， 3 5， 4 3；（2） 120 169. 【解析】 (1)因为 2， ，sin 5 5 ，所以 cos2 5 5 ， 所以 sin22
15、sincos2 5 5 2 5 5 4 5， cos212sin212 5 5 23 5， tan2sin2 cos2 4 3，故填 4 5， 3 5， 4 3. (2)因为 x 0， 4 ，所以 4x 0， 4 ，又因为 sin 4x 5 13， 所以 cos 4x 12 13， 所以 cos2xsin 22x 2sin 4x cos 4x 2 5 13 12 13 120 169. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 228 页习题 5.5. 本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、 余弦正切公式;利用两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与 差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。 5.5.5 5. .1 1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 一、六组公式 例 1 例 2 二、二倍角公式 例 3 例 4
