1、第第 10 讲讲 概率与统计概率与统计 第第 1 课时课时 计数原理与二项式定理计数原理与二项式定理 专题训练作业专题训练作业(二十三二十三) 一、选择题 12020 年元旦晚会期间，高三二班的学生准备了 6 个参赛节目，其中有 2 个舞 蹈节目，2 个小品节目，2 个歌曲节目要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2 个 舞蹈节目一定要排在一起，则这 6 个节目出场的不同编排种数为( ) A48 B36 C24 D12 2已知 2x 1 3 x n 的展开式中没有常数项，则 n 不可能是( ) A8 B7 C6 D5 3(2020 湖南三湘名校教育联盟联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dre
2、am”， 其中 China 又可以简写为 CN，从“CN Dream”中取 6 个不同的字母排成一排，含 有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A360 种 B480 种 C600 种 D720 种 4(2020 重庆市高三调研)在 x3 x 1 x 10 的展开式中，常数项为( ) A252 B45 C45 D252 5若(2x1)na0a1xa2x2anxn的展开式中的各项系数和为 243，则 a1 2a2nan( ) A405 B810 C243 D64 6若甲、乙等 5 名同学分别被保送到北京大学、清华大学、复旦大学三所大学 就读，若要求每所大学至少有一名保送生，则不同的
3、保送方法种数为( ) A240 B180 C150 D540 7(2020 湛江市第二十一中学模拟)(1x)(12x)4展开式中 x2的系数为( ) A24 B8 C16 D24 8(2019 湖北四校联考) 1 x24x 24 3 展开式中的常数项为( ) A120 B160 C200 D240 9(2020 遵义市南白中学高三模拟)4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、 浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去 旅游，则恰有一个地方未被选中的方法种类为( ) A144 B288 C342 D576 10某班班会上老师准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名
4、学生发言，要求甲、乙 2 名学生至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么 不同的发言顺序的种数为( ) A360 B520 C600 D720 11(2020 宜春市高三模拟)在(2xy)(xy)5的展开式中，x4y2的系数为( ) A20 B10 C15 D5 12袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任 取一个小球， 直到“中”“国”两个字都取到就停止， 用随机模拟的方法估计恰 好在第三次停止的概率利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数， 分别 用 0，1，2，3 代表“文、明、中、国”这四个字，每三个随机数为一组，表示 取球三次
5、的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 013 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为( ) A.1 9 B.1 6 C.2 9 D. 5 18 13在中国文字语言中有回文句，如：“中国出人才人出国中”其实，在数学 中也有回文数回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 3 位回文 数：101，111，121，191，202，999，则 5 位回文数有( ) A648 个 B720 个 C900 个 D1 000 个 14(2020 湛江市第二十
6、一中考试)为了积极稳妥开展疫情期间的复学工作， 市教 育局抽调 5 名机关工作人员去某街道 3 所不同的学校开展驻点服务， 每个学校至 少去 1 人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为( ) A114 B120 C140 150 二、填空题 15北京大兴国际机场是一座跨地域的超大型国际航空综合交通枢纽， 目前建有 “三纵一横”4 条跑道，分别为西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道，示意图 如图所示若有 2 架飞往不同目的地的飞机要从北京大兴国际机场同时起飞， 且 起飞的跑道不同，则 (1)有_种不同的安排方法； (2)若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取，则有_种不同的安排
7、 方法(用数字作答) 16 (2020 唐山市高三年级第一次模拟)中国古代的四书是指： 大学 中庸 论 语 孟子 ，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选一书进行研读，已知四人选取的 书恰好互不相同，且甲没有选中庸 ，乙和丙都没有选论语 ，则 4 名同学所 有可能的选择有_种 17设 f(x)(12x)6，则 x 的奇次项的系数和为_ 18(2020 河南名师联盟调研) 1 2x2y 5 的展开式中 x2y3的系数为_ 19(2020 厦门市高中毕业班质检)某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩， 间隔而坐”一排 8 个座位，安排 4 名同学就座，共有_种不同的安排方 法(用数字作答) 20某外商
8、计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目， 且在同一个城市投资的 项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有_种 参考解析答案 1 答案 C 解析 依据题意，分三步讨论：(1)歌曲节目排在首尾，有 A222 种排法；(2)将 2 个小品节目安排在歌曲节目的中间，有 A222 种排法；(3)排好后，2 个小品节 目与 2 个歌曲节目之间有 3 个空位，将 2 个舞蹈节目全排列，安排在中间的 3 个空位，有 A22C316 种排法则这 6 个节目出场的不同编排种数为 226 24.故选 C. 2 答案 A 解析 2x 1 3 x n 的展开式的通项公式为 Tr1Cnr(2x)n r 1 3
9、 x r Cnr(1)r2n rxn4r 3 . 因为 2x 1 3 x n 的展开式中没有常数项，所以 n4r 3 不能为 0， 当 n5， 6， 7 时， n4r 3 0 不成立； 当 n8， r6 时， n4r 3 0 成立， 此时 2x 1 3 x n 的展开式中有常数项故选 A. 3 答案 C 解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与“ea”进行全排列，由分步乘法计数原 理可知，排法共有 C54A55600(种)故选 C. 4 答案 C 解析 由题意， x 1 x 10 的展开式的通项公式为： Tr1C10r( x)10 r 1 x r (1)rC10rx5 r， 令 5r3，
10、得 r8，(1)rC10rx5 r(1)8C 108x 345x3， 所以 x3 x 1 x 10 的展开式中，常数项为 45.故选 C. 5 答案 B 解析 因为(2x1)na0a1xa2x2anxn， 两边求导得 2n(2x1)n 1a 12a2xnanxn 1， 令 x1，则 2n3n 1a 12a2nan， 又因为(2x1)n的展开式中各项系数和为 243， 所以令 x1，可得 3n243，解得 n5. 所以 a12a2nan2534810.故选 B. 6 答案 C 解析 由题意可知 5 名保送生可分为 1，1，3 和 1，2，2 两种情况，故满足题意 的不同的保送方法种数为 C53A
11、33C5 2C32 A22 A33150.故选 C. 7 答案 C 解析 由题意(1x)(12x)4(12x)4x(12x)4， 二项式(12x)4展开式的通项公式 Tr1C4r14 r(2x)rC 4r2rxr， 令 r2，C4r2rxrC4222x224x2； 令 r1，C4r2rxrC412x8x； 所以 x2的系数为 24816.故选 C. 8 答案 B 解析 方法一： 1 x24x 24 3 1 x2x 6 ，展开式的通项公式为 Tr1C6r 1 x 6r (2x)rC6r2rx2r 6，令 2r60，可得 r3，故展开式的常数项为 160. 方法二：展开式的常数项为：43C314C
12、2146496160. 9 答案 A 解析 从四个地方选出一个地方空出有 C41种情况，从 4 名学生中任选 2 名“捆 绑”在一起，有 C42种情况，再任意分配到三个地方有：A33种， 则恰有一个地方未被选中有：C41C42A33种故选 A. 10 答案 C 解析 若甲、 乙同时被选中， 则只需再从剩下的 5 人中选取 2 人， 有 C52种选法， 因为在安排顺序时，甲、乙不相邻需“插空” ，所以安排方式有 A32A22种，从而 此种情况下不同的发言顺序的种数为 C52A32A22120.若甲、乙只有一人被选中， 则先从甲、乙中选一人，有 C21种选法，再从剩下的 5 人中选取 3 人，有
13、C53种 选法，因为在安排顺序时无要求，所以此种情况下不同的发言顺序的种数为 C21C53A44480.综上，不同的发言顺序的种数为 120480600.故选 C. 11 答案 C 解析 因为(2xy)(xy)5(2xy)(xy)(xy)(xy)(xy)(xy)， 所以若从第一个式子 2xy 中选择 2x，则后面的式子中有 C53种可能出现 x3( y)2，相乘得 2C53x4y2；若从第一个式子 2xy 中选择 y，则后面的式子中有 C51 种可能出现 x4(y)，相乘得C51x4y2，即 x4y2的系数为 2C53C5115.故选 C. 12 答案 B 解析 由题意知样本空间包含的基本事件
14、总数为 18 个，恰好第三次就停止包含 的基本事件有 023，123，132，共 3 个，由此可以估计，恰好第三次就停止的概 率 P 3 18 1 6.故选 B. 13 答案 C 解析 由题设中定义回文数的概念可知：先考虑五位回文数的中间的一个位置， 每个数字都能选取，共有 10 种可能；其次是考虑首位数字应有除了 0 之外的 9 个数字，共有 9 种；最后再考虑第二个位置，10 个数字都可选取，共有 10 种可 能由分步乘法计数原理可得所有五位回文数的个数是 91010900.故选 C. 14 答案 A 解析 分四种情况： (1)安排甲去一所学校共有 C31种方法， 安排乙到第二所学校共有
15、C21种方法， 余下三人去第三所学校共有 1 种方法，共有 C31C2116 种方法 (2)安排甲去一所学校共有 C31种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21种方法， 余下的三人中两人一起去第三所学校有 C32种方法， 另一个人去前两所学校中任意一所共有 C21种方法， 共有 C31C21C32C2136 种方法 (3)安排甲去一所学校共有 C31种方法， 安排乙到第二所学校共有 C21种方法， 余下的三人中一人去第三所学校有 C31种方法， 另外两人一起去前两所学校中任意一所共有 C21种方法， 共有 C31C21C31C2136 种方法 (4)安排甲去一所学校共有 C31种方法， 安排乙
16、到第二所学校共有 C21种方法， 余下的三人中一人去第三所学校有 C31种方法， 另外两人分别去前两所学校中任意一所共有 A22种方法， 共有 C31C21C31A2236 种方法 综上，共有 6363636114 种方法故选 A. 15 答案 (1)12 (2)10 解析 (1)由排列组合知识知有 A4212(种)不同的安排方法 (2)方法一(互斥事件)： 西一跑道、西二跑道只选一条，则不同的安排方法有 C21C21A228(种)； 西一跑道、西二跑道选两条，则不同的安排方法有 C22C20A222(种) 由分类加法计数原理可得，不同的安排方法有 8210(种) 方法二(对立事件)： 记“西
17、一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取”为事件 A，则 A 表示“西一 跑道、西二跑道都未被选取” 由(1)知，从 4 条跑道中选取 2 条，不同的安排方法有 12 种 事件 A 表示选取东跑道和北跑道，不同的安排方法有 A222(种) 所以事件 A 的安排方法有 12210(种) 16 答案 10 解析 分以下两种情况讨论：(1)乙、丙两人中没有一人选中庸 ，则乙、丙两 人在大学 孟子中各选一书，则甲只能选论语 ，丁只能选中庸 ，此 时选法种数为 A22；(2)乙、丙两人中有一人选中庸 ，则另一人可在大学 孟 子中选择一书，甲、丁两人选书时没有限制，此时选法种数为 C21C21A22.综上 所
18、述，4 名同学所有可能的选择种数为 A22C21C21A2210. 17 答案 364 解析 设 f(x)(12x)6a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6， 当 x1 时，1a0a1a2a3a4a5a6， 当 x1 时，36a0a1a2a3a4a5a6， 得13 6 2 a1a3a5， a1a3a5364. x 的奇次项的系数和为364. 18 答案 20 解析 由二项式定理可知展开式的通项公式为 Tr1C5r 1 2x 5r (2y)r， 要求解 1 2x2y 5 的展开式中含 x2y3的项，则 r3， 所求系数为 C53 1 2 2 (2)320. 19 答案 120 解析 可先将 4 名同学全排列， 有 A4424 种排法， 因四个空座位产生五个位置， 四名同学插空就座，有 C54种方法，因此共有 C54A44120 种安排方法 20 答案 60 解析 试题分析：每个城市投资 1 个项目有 C43A33种，有一个城市投资 2 个项 目有 C42C21C32种，投资方案共 C43A33C42C21C32243660(种)
