1、20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题（二）模拟试题（二） 一选择题一选择题 1已知向量(2,3)OA，(4, 1)OB ，P是线段 AB 的中点，则P点的坐标是 A(2, 4) B(3,1) C( 2,4) D(6,2) 2若复数z满足(1)(1)22zii，则| z A2 B3 C5 D5 3已知复数z满足(12 ) |43 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部为 A2 B2i C1 Di 4复数 3 12 1 i z i 的共轭复数的虚部为 A 1 2 i B 1 2 i C 1 2 D 1 2 5已知向量a，b满足| 2
2、| 2ba，|2| 2ab，则向量a，b的夹角为 A30 B45 C60 D90 6已知向量( 1,2)a ，(21,1)bm，且ab，则|2 |ab A5 B4 C3 D2 7已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 Am，n，/ /m，/ / /n B/ /，m，/ /nmn Cm，/ /mnn D/ /mn，nm 8四面体ABCD中，DC 面 ABC，3ABBC，120ABC，8DC ，则四面体ABCD外 接球的表面积为 A100 B50 C25 D91 二多选题二多选题 9ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量, a b满足2 ,2ABa ACab，则下列
3、结论正确的是 Aa是单位向量 B/ /BCb C1a b D(4)BCab 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosbcA，角A的角平分线交 BC 于点 D，1AD ， 1 cos 8 A ，以下结论正确的是 A 3 4 AC B8AB C 1 8 CD BD DABD的面积为 3 7 4 11 在正方体 1111 ABCDABC D中，N为底面 ABCD 的中心，P为线段 11 AD上的动点 （不包括两个端点） ， M为线段 AP 的中点，则 ACM与PN是异面直线 B存在P点使得/ /PN平面 11 CC D D C平面PAN 平面 11 BDD B D过P，A，C三点
4、的正方体的截面一定是等腰梯形 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为AB， 11 AD的中点，则( ) A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 三填空题三填空题 13已知i虚数单位，若复数 1 () 1 ai zaR i 的虚部为3，则| z 14已知向量 13 ( ,) 22 a ，若向量b与a反向，且| 2b ，则向量b的坐标是 15已知向量( ,3)am，(1, 2)b ，且()abb，则m 16 直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在球
5、O的球面上， 且1ABAC，3BC ， 若球O的表面积为20， 则这个三棱柱的体积为 四解答题四解答题 17已知复( ,)zabi a bR满足3zi为实数， 2 z i 为纯虚数，其中i是虚数单位 （1）求实数a，b的值； （2）若复数 2 1 2(5)zzmmi在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围 18已知复数 1 12zi ， 2 34zi，i为虚数单位 （1）若复数 12 zaz在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若 1 2 z z z ，求z的共轭复数z 19 （1）设 1 e， 2 e是正交单位向量，如果 12 2OAeme， 12 OBnee，
6、12 5OCee，若A、B、C三 点在一条直线上，且2mn求m、n的值 （2）已知(2,3)OA，(6, 3)OB ，点P在线段BA的延长线上，且 3 | 4 APPB，求点P坐标 20如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD是边长等于 2 的菱形，120ADC， 1 AA 平面 ABCD，O，E分别是 1 AC，AB的中点，AC交DE于点H，点F为HC的中点 （1）求证：/ /OF平面 1 A ED； （2）若OF与平面ABCD所成的角为60，求三棱锥 1 AADE的表面积 21已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积 222 4 bca S （1）若
7、6a ，2b ，求cosB； （2）求sin()sincoscos()ABBBBA的最大值 22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD为等边三角形，平面PAD 平面PCD （）证明：直线CD 平面PAD； （）若2AB ，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积 20202020- -20212021 学年高一数学下学期期中学年高一数学下学期期中 模拟试题模拟试题（二）（二） 一选择题一选择题 1已知向量(2,3)OA，(4, 1)OB ，P是线段 AB 的中点，则P点的坐标是 A(2, 4) B(3,1) C( 2,4) D(6,2) 【答案】B 【解析】由线段的中点公式
8、可得 1 ()(3 2 OPOAOB，1)，故P点的坐标是(3,1)， 故选 B 2若复数z满足(1)(1)22zii，则|z A2 B3 C5 D5 【答案】D 【解析】由(1)(1)22zii， 得 2 22 22(22 )(1)22224 12 1(1)(1)112 iiiiiii zi iii ， 12zi ， 则 22 | |1( 2)5z 故选 D 3已知复数z满足(12 ) |43 |zii（其中i为虚数单位） ，则复数z的虚部为 A2 B2i C1 Di 【答案】A 【解析】由 22 (12 ) |43 |4( 3)5zii ， 得 55(12 ) 12 12(12 )(12
9、) i zi iii ， 复数z的虚部为2 故选 A 4复数 3 12 1 i z i 的共轭复数的虚部为 A 1 2 i B 1 2 i C 1 2 D 1 2 【答案】D 【解析】 3 1212(12 )(1)31 11(1)(1)22 iiii zi iiii ， 31 22 zi， 复数 3 12 1 i z i 的共轭复数的虚部为 1 2 ， 故选 D 5已知向量a，b满足| 2| 2ba，|2| 2ab，则向量a，b的夹角为 A30 B45 C60 D90 【答案】C 【解析】根据题意，设向量a，b的夹角为， 若| 2| 2ba，则| 2b ，| 1a ， 若|2| 2ab，则 2
10、22 (2)448 8cos4abaa bb ， 解可得 1 cos 2 ， 又由0180剟，故60， 故选 C 6已知向量( 1,2)a ，(21,1)bm，且ab，则|2 |ab A5 B4 C3 D2 【答案】A 【解析】向量( 1,2)a ，(21,1)bm，且ab， 可得( 21)20m ，解得 3 2 m ， 所以(2,1)b ，2( 5,0)ab ， 所以|2 | 5ab 故选 A 7已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 Am，n，/ /m，/ / /n B/ /，m，/ /nmn Cm，/ /mnn D/ /mn，nm 【答案】D 【解析】m，n为
11、两条不同的直线，为两个不同的平面， 对于A，m，n，/ /m，/ / /n，也可能相交，所以A不正确； 对于B，/ /，m，/ /nmn也可能异面，所以B不正确； 对于C，m，/ /mnn有可能n，所以C不正确； 对于D，/ /mn，nm，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确 故选 D 8四面体ABCD中，DC 面 ABC，3ABBC，120ABC，8DC ，则四面体ABCD外 接球的表面积为 A100 B50 C25 D91 【答案】A 【解析】设ABC外接圆的圆心为 1 O，四面体ABCD外接球的球心为O，半径为R， 连接 1 OC， 1 OO，OC， 由正弦定理可得 1 2 sin BC
12、 OC BAC ，即 1 3 3 2sin30 OC ， 1 1 4 2 OODC， 2222 11 435ROCOCOO， 即四面体ABCD外接球的表面积为 2 45100S， 故选 A 二多选题二多选题 9ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量, a b满足2 ,2ABa ACab，则下列结论正确的是 Aa是单位向量 B/ /BCb C1a b D(4)BCab 【答案】ABD 【解析】A| 2AB ，由2ABa得， | |1 2 AB a ，a是单位向量，该选项正确； B22BCACABabab，/ /BCb，该选项正确； .| 2,| 1CACa，由2ACab得， 2 22 44A
13、Caa bb，即 2 444a bb， 2 1 4 b a b ， 该选项错误； DBCb，由上面得， 2 (4)(4)40BCabbaba bb，(4)BCab，该选项正确 故选 ABD 10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cosbcA，角A的角平分线交 BC 于点 D，1AD ， 1 cos 8 A ，以下结论正确的是 A 3 4 AC B8AB C 1 8 CD BD DABD的面积为 3 7 4 【答案】ACD 【解析】因为cosbcA， 由正弦定理可得，sinsincossin()BCAAC， 所以sincos0AC ， 因为sin0A， 所以cos0C 即 1 2
14、 C， 1 cos 8 AC A AB ， 由角平分线定理可得， 1 8 ACCD ABBD ， 设ACx，8ABx，则3 7BCx， 7 3 CDx， Rt ACD中，由勾股定理可得， 22 7 ()1 3 xx， 解可得 3 4 x ，即 3 4 AC ，6AB ， 136327 7 6 24832 ABC S ， 所以 83 7 94 ABDABC SS 故选 ACD 11 在正方体 1111 ABCDABC D中，N为底面 ABCD 的中心，P为线段 11 AD上的动点 （不包括两个端点） ， M为线段 AP 的中点，则 ACM与PN是异面直线 B存在P点使得/ /PN平面 11 CC
15、 D D C平面PAN 平面 11 BDD B D过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【解析】对于A，因为C，N，A共线，又CN，PM交于点A，即P，M，N，C共面，因此CM与 PN共面，故选项A不正确； 对于B，当P为 11 AD的中点时，/ /PN平面 11 CC D D，故选项B正确； 对于C，ANBD， 1 ANBB， 1 BDBBB，BD， 1 BB 平面 11 BDD B， AN平面 11 BDD B，AN 平面PAN， 平面PAN 平面 11 BDD B，故选项C正确； 对于D，过P，A，C三点的正方体的截面与 11 C D相交于点Q，则/ /ACPQ，
16、且PQAC，因此一定 是等腰梯形，故选项D正确 故选 BCD 12在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为AB， 11 AD的中点，则( ) A 1 BDBC B/ /EF平面 1 DB B C 1 AC 平面 11 B DC D过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 【答案】BC 【解析】对于A， 11 / /BCAD， 1 ADB是BD与 1 B C所成角（或所成角）的补角， 11 ADBDAB， 1 60ADB，BD与 1 B C不垂直，故A错误； 对于B，取AD中点G，连接FG，EG，则/ /EGBD， 1 / /FGBB， EGF
17、GG， 1 BDBBB，平面/ /EFG平面 1 DB B， EF 平面EFG，/ /EF平面 1 DB B，故B正确； 对于C， 1111 ACB D， 111 AAB D， 1111 ACAAA， 11 AC、 1 AA 平面 11 AAC， 11 B D平面 11 AAC， 1 AC 平面 11 AAC， 111 ACB D， 同理 11 ACBC， 1111 B DBCB， 11 B D、 1 BC 平面 11 B DC， 1 AC平面 11 B DC，故C正确； 对于D，取 11 A B中点H，连接FH、EH， 则 11 / /FHB D， 1 / /GFBB， FHGFF， 111
18、1 B DBBB，平面/ /EHFG平面 11 BB D D， 1 BD 平面 11 BB D D，EF 平面EHFG， 过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面为矩形EHFG， 2GF ， 11 442 22 GEBD， 过直线EF且与直线 1 BD平行的平面截该正方体所得截面面积为2 2S ，故D错误 故选：BC 三填空题三填空题 13已知i虚数单位，若复数 1 () 1 ai zaR i 的虚部为3，则| z 【答案】13 【解析】 2 2 1(1)(1)1(1)(1)11 1(1)(1)1222 aiaiiaiiaiaa iaa zi iiii ， 复数 1 () 1
19、ai zaR i 的虚部为3， 1 3 2 a ，解得5a ， 23zi ， 22 | |( 2)( 3)13z 故答案为：13 14已知向量 13 ( ,) 22 a ，若向量b与a反向，且| 2b ，则向量b的坐标是 【答案】( 1, 3) 【解析】因为：向量 13 ( ,) 22 a ， | 1a， 向量b与a反向，且| 2b 2( 1, 3)ba 故答案为：( 1, 3) 15已知向量( ,3)am，(1, 2)b ，且()abb，则m 【答案】1 【解析】根据题意，向量( ,3)am，(1, 2)b ，则(1,1)abm 因为()abb，所以()1 20abbm ，解得1m ， 故答
20、案为：1 16 直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在球O的球面上， 且1ABAC，3BC ， 若球O的表面积为20， 则这个三棱柱的体积为 【答案】3 【解析】设ABC和 111 ABC的外心分别为 1 O、 2 O，连接 12 O O， 可得外接球的球心O为 12 O O的中点，连接OA、OB、OC、 1 O A、 1 O B、 1 OC， ABC中， 222 1 cos 22 ABACBC A AB AC ， (0, )A， 2 3 A ， 根据正弦定理，得ABC外接圆半径 1 1 2sin BC O A A 球O的表面积为20， 2 420R，5R ， Rt 1 OOA中， 22
21、11 2OOOAO A，可得 121 24OOOO， 直三棱柱 111 ABCABC的底面积 123 sin 234 ABC SAB AC ， 直三棱柱 111 ABCABC的体积为 12 3 ABC SOO 故答案为：3 四解答题四解答题 17已知复( ,)zabi a bR满足3zi为实数， 2 z i 为纯虚数，其中i是虚数单位 （1）求实数a，b的值； （2）若复数 2 1 2(5)zzmmi在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围 【答案】 （1） 3 2 3 a b ； （2） 3 ( 4 ，2). 【解析】 （1）由( ,)zabi a bR，得3(3)ziabi， ()
22、(2)22 22(2)(2)55 zabiabiiabab i iiii ， 再由题意可得： 30 20 20 b ab ab ，解得 3 2 3 a b ； （2）由（1）得， 3 3 2 zi ， 则 22 1 3 2(5)32(5) 2 zzmmiimmi 2 3 (2)(2) 2 mmi， 则 2 3 20 2 20 m m ，即 3 2 4 m 实数m的取值范围是 3 ( 4 ，2) 18已知复数 1 12zi ， 2 34zi，i为虚数单位 （1）若复数 12 zaz在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围； （2）若 1 2 z z z ，求z的共轭复数z 【答案】 （1
23、） 1 ( 3 ， 1 ) 2 ； （2） 12 55 zi . 【解析】 （1）复数 1 12zi ， 2 34zi， 所以 12 (12 )(34 )(13 )(42)zaziaiaai； 由该复数在复平面上对应的点在第四象限， 所以 130 420 a a ， 解得 11 32 a， 所以实数a的取值范围是 1 ( 3 ， 1 ) 2 ； （2）化简 1 22 2 12(12 )(34 )5 1012 343(4 )2555 ziiii zi zii ， z的共轭复数 12 55 zi 19 （1）设 1 e， 2 e是正交单位向量，如果 12 2OAeme， 12 OBnee， 12
24、5OCee，若A、B、C三 点在一条直线上，且2mn求m、n的值 （2）已知(2,3)OA，(6, 3)OB ，点P在线段BA的延长线上，且 3 | 4 APPB，求点P坐标 【答案】 （1） 1 1 2 m n 或 10 5 m n ； （2）( 10,21)P . 【解析】 （1）以O为原点， 1 e， 2 e 的方向分别为x，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy， 则(2,)OAm，( , 1)OBn，(5, 1)OC ， (3, 1)ACm ，(5,0)BCn， 又A，B，C三点在一条直线上， / /ACBC， 3 0( 1)(5)0mn ，与2mn联立， 解得 1 1 2 m n
25、或 10 5 m n ； （2）(2,3)OA，(6, 3)OB ， (2,3)A，(6, 3)B，设( , )P x y， 点P在线段BA的延长线上，且 3 | 4 APPB， 3 4 APPB ， 即(2x， 3 3)(6, 3) 4 yxy ， 3 2(6) 4 3 3(3) 4 xx yy ，解得10 x ，21y ( 10,21)P 20如图，在四棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形ABCD是边长等于 2 的菱形，120ADC， 1 AA 平面 ABCD，O，E分别是 1 AC，AB的中点，AC交DE于点H，点F为HC的中点 （1）求证：/ /OF平面 1 A ED； （2）
26、若OF与平面ABCD所成的角为60，求三棱锥 1 AADE的表面积 【答案】 （1）答案见解析； （2） 6315 2 . 【解析】 （1）连接 1 AH，由于点F为HC的中点，O为 1 AC的中点，所以 1 / /OFAH， 由于OF 平面 1 A ED， 1 A H 平面 1 A ED， 所以/ /OF平面 1 A ED （2）连接BD，由于四边形ABCD为边长为 2 的菱形，120ADC 所以ABD为等边三角形 所以 2 3 3 AH ，3DE ，且DEAB， 由于OF与平面ABCD所成的角为60，且 1 / /OFAH， 由于 1 AA 平面ABCD， 则： 1 60AHA， 所以 1
27、1 2,5AAAE， 由于 1 AA 平面ABCD，DE 平面ABCD， 所以 1 AADE 又DEAB， 1 AAABA， 1 AA，AB平面 11 A ABB， 所以DE 平面 11 A ABB， 则： 1 A EDE， 所以三棱锥 1 AADE的表面积为： 111136315 221 2351 2 222222 21已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积 222 4 bca S （1）若6a ，2b ，求cosB； （2）求sin()sincoscos()ABBBBA的最大值 【答案】 （1） 30 6 ； （2） 5 2 . 【解析】 （1） 222 4 bca S
28、 ，可得 12cos sin 24 bcA bcA ， sincosAA，可得tan1A ， (0, )A， 4 A ， 6a ，2b ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 2 2 sin6 2 sin 66 bA B a ， 又ab，B为锐角， 2 30 cos1 6 Bsin B （2） 4 A ， sin()sincoscos()ABBBBA sin()sincoscos() 44 BBBB 2222 sincossincoscossin 2222 BBBBBB 2(sincos )sincosBBBB 令sincostBB，则 2 12sintBcoB ， 原式 22 11
29、13 2(2) 2222 ttt，(0t，2， 当2t 时， 4 B ，此时，原式的最大值为 5 2 22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD为等边三角形，平面PAD 平面PCD （）证明：直线CD 平面PAD； （）若2AB ，Q为线段PB的中点，求三棱锥QPCD的体积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 3 . 【解析】 （）证明：取PD的中点，连接AO， PAD为等边三角形，AOPD， 又AO 平面PAD，平面PAD 平面PCD，平面PAD平面PCDPD， AO平面PCD， CD 平面PCD，AOCD， 底面ABCD为正方形，CDAD， AOADA，AO，AD 平面PAD， CD平面PAD； （）解：2AB ，由（）得AO 平面PCD， 点A到平面PCD的距离3dAO， 底面ABCD为正方形，/ /ABCD， 又AB平面PCD，CD 平面PCD， / /AB平面PCD， A，B两点到平面PCD的距离相等，均为d， 又Q为线段PB的中点 点Q到平面PCD的距离 3 22 d h ， 由（）知，CD 平面PAD， PD平面PAD，CDPD， 11133 22 33223 Q PCDPCD VSh 故三棱锥QPCD的体积为 3 3
