1、第二课时第二课时 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值 考点突破 互动探究 考点一 三角函数式的化简师生共研 例 1 化简下列各式： (1)sin2sin cos 2sin sin cos； (2) 1 1tan 1 1tan ； (3) tan 4 cos 2 2cos2 4 . 解析 (1)原式 sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos tan() (2)原式1tan 1tan 1tan2 2tan 1tan2tan 2. (3)原式 sin 4
2、 cos 2 2sin2 4 cos 4 cos 2 2sin 4 cos 4 cos 2 sin 22 cos 2 cos 21. 名师点拨 (1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用 (2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确 (3)对 asin xbcos x 化简时，辅助角 的值如何求要清楚 变式训练 1 (1)化简 sin x 3 2sin x 3 3cos 2 3 x _0_. (2)(2020 开封模拟)化简：sin2sin2cos2cos21 2cos 2cos 2_ 1 2_. 解析 (1)解法一：原式sin xcos 3cos xsi
3、n 32sin xcos 32cos xsin 3 3cos 2 3 cos x 3sin 2 3 sin x cos 32cos 3 3sin 2 3 sin x sin 3 2sin 3 3cos 2 3 cos x 1 21 3 3 2 sin x 3 2 3 31 2 cos x0. 解法二： 原式sin x 3 3cos x 3 2sin x 3 2sin x 3 3 2sin x 3 2sin x2 3 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 2sin x 3 0. (2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角) 原式sin2sin2cos2cos21
4、 2(2cos 21)(2cos21) sin2sin2cos2cos2cos2cos21 2 sin2sin2cos2sin2cos21 2 sin2cos21 21 1 2 1 2. 解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式sin2sin2(1sin2)cos21 2cos 2cos 2 cos2sin2(cos2sin2)1 2cos 2cos 2 cos2sin2cos 21 2cos 2cos 2 cos2cos 2(sin21 2cos 2) 1cos 2 2 1 2cos 2 1 2. 解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式1cos 2 2 1cos 2 2 1c
5、os 2 2 1cos 2 2 1 2cos 2 cos 2 1 4(1cos 2cos 2cos 2cos 21cos 2cos 2cos 2cos 2) 1 2cos 2cos 2 1 4 1 4 1 2. 解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方 原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos 1 2cos 2 cos 2 cos2()1 2sin 2 sin 2 1 2cos 2 cos 2 cos2()1 2 cos(22) cos2()1 2 2cos 2()11 2. 考点二 求值问题多维探究 角度 1 给角求值 例 2 求下列各式的值 (1)
6、sin 7 cos 15 sin 8 cos 7 sin 15 sin 8 ； (2) 3tan 12 3 sin 12 4cos212 2. 解析 (1)原式sin15 8 cos 15 sin 8 cos15 8 sin 15 sin 8 sin 15 cos 8 cos 15 cos 8 tan 15 tan(45 30 ) tan 45 tan 30 1tan 45 tan 30 1 3 3 1 3 3 31 312 3. (2) 3tan 12 3 sin 12 4cos212 2 3sin 12 3cos 12 2cos 24 sin 12 cos12 2 3sin12 60 1
7、2sin 48 4 3. 名师点拨 给角求值问题的解题思路 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： (1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； (2)观察名，尽可能使函数统一名称； (3)观察结构，利用公式，整体化简 角度 2 给值求值 例 3 已知 cos 4 10 10 ， 0， 2 ，则 sin 2 3 _43 3 10 _. 解析 由题意可得 cos2 4 1cos 2 2 2 1 10，cos 2 2 sin 24 5，即 sin 24 5. 因为 cos 4 10 10 0， 0， 2 ， 所以 0 4，2 0， 2 ， 根据同角三角函数基本关系式，可得 co
8、s 23 5， 由两角差的正弦公式，可得 sin 2 3 sin 2cos 3cos 2sin 3 4 5 1 2 3 5 3 2 43 3 10 . 名师点拨 给值求值问题的解题关键 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定 要注意角的范围的讨论如 ()，2()()， 4 2 4 等 角度 3 给值求角 例 4 已知 A，B 均为钝角，sin2A 2cos A 3 5 15 10 ，且 sin B 10 10 ，则 AB ( C ) A3 4 B5 4 C7 4 D7 6 解析 由题意知1 2(1cos A) 1 2cos A 3 2 sin A1 2 1
9、5 10 ，得 sin A 5 5 ，sin B 10 10 . A，B 均为钝角，AB0， 那么，3 2 AB2，所以 AB7 4 ，故选 C 名师点拨 (1)已知三角函数值求角的解题步骤：求出角的某一三角函数值；确定角的范围； 根据角的范围确定角 (2)给值求角的原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦 或余弦函数；若角的范围是 0， 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若 角的范围为 2， 2 ，选正弦较好 变式训练 2 (1)(角度 1) 3cos 15 4sin215 cos 15 ( D ) A1 2 B 2 2 C1 D 2 (2)(角度
10、2)(2021 黑龙江哈师大附中模拟)已知 0， 2 ， 且 2cos 2cos 4 ， 则 sin 2 的值为( C ) A1 8 B1 8 C7 8 D7 8 (3)(角度 3)已知 sin 5 5 ，sin() 10 10 ， 均为锐角，则角 等于( C ) A5 12 B 3 C 4 D 6 解析 (1) 3cos 15 4sin215 cos 15 3cos 15 2sin 15 2sin 15 cos 15 3cos 15 2sin 15 sin 30 3cos 15 sin 15 2cos(15 30 )2cos 45 2，故选 D (2)由题意可得 2(cos2sin2)cos
11、 4cos sin 4sin ，即 2(cos sin )(cos sin ) 2 2 (cos sin ) 由 0， 2 ， 可得 cos sin 0， 所以 cos sin 2 4 ， 等式两边平方， 可得 1sin 21 8，所以 sin 2 7 8，故选 C (3)0 2，0 2， 2Bsin Asin Bcos Acos B 例 5 (1)设 A，B 是ABC 的内角，且 cos A3 5，sin B 5 13，则 sin C( D ) A63 65或 16 65 B16 65 C16 65或 63 65 D63 65 (2)(2021 河北唐山一中质检)在ABC 中，若 sin(A
12、B)12cos(BC)sin(AC)，则 ABC 的形状一定是( D ) A等边三角形 B不含 60 的等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形 分析 (1)由 sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 知求 sin A、cos B 即可 (2)利用 cos(BC)cos A，sin(AC)sin B 及两角差的正弦公式求解 解析 (1)cos A3 5，0A，A 为锐角， 且 sin A 1cos2A4 5.又 sin B 5 13sin A，BA， B 为锐角且 cos B 1sin2B12 13. sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos
13、Asin B63 65.故选 D (2)sin(AB)12cos(BC) sin(AC)， sin Acos Bcos Asin B12cos Asin B， sin Acos Bcos Asin B1，即 sin(AB)1， sin C1，又 0CBabsin Asin B，知 B 为锐角 变式训练 3 (1)在ABC 中， 若 sin(2A) 2sin(B)， 3cos A 2cos(B)， 则 C( D ) A 6 B 4 C 3 D7 12 (2)(2020 宁夏平罗中学期中)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 sin A2sin Bcos C，则ABC
14、一定是( A ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 解析 由已知得 sin A 2sin B ， 3cos A 2cos B ， 22，得 2cos2A1，即 cos A 2 2 . 当 cos A 2 2 时，cos B 3 2 ，又 A，B 是三角形的内角， 所以 A 4，B 6，所以 C(AB) 7 12. 当 cos A 2 2 时，cos B 3 2 ，又 A，B 是三角形的内角， 所以 A3 4，B 5 6 不符题意，舍去 综上可得 C7 12，故选 D (2)由题意知 sin(BC)2sin Bcos C， 整理化简得 sin Bcos Ccos Bsin C0 即 sin(BC)0，又BC， BC0，即 BC，故选 A
