1、第四讲第四讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 周期函数的定义及周期的概念 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T)f(x)，那么函数 f(x)就叫做_周期函数_.非零常数 T 叫做这个函数的_周期_.如果在周 期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小_正周期 _. (2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，_2k(kZ，k0)_都是它们的周期，最小正周 期是_2_. 知识点二 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 性质 ysin
2、x ycos x ytan x 图象 定义域 x|xR x|xR x|xR，且 x 2 k，kZ 值域 _y|1y1_ _y|1y1_ _R_ 单调性 在 _ 22k， 22k _ ， k Z上 递 增 ； 在 _ 22k， 3 2 2k _， k Z 上递减 在_(2k1)，2k_， kZ上递增； 在_2k， (2k1)_，kZ 上递 减 在 2 k ， 2k ， kZ 上递 增 最值 x_ 22k(kZ)_时，ymax 1；x_ 22k(kZ)_ 时，ymin1 x_2k(kZ)_时， ymax1；x_2k(k Z)_时，ymin1 无最值 奇偶性 _奇_ _偶_ _奇_ 对 称 性 对称
3、 中心 _(k，0)，kZ_ _ k 2，0 ，kZ_ _ k 2 ，0 ，kZ_ 对称 轴 _xk 2，kZ_ _xk，kZ_ 无对称轴 最小正周期 _2_ _2_ _ 归 纳 拓 展 1函数 ysin x，x0,2的五点作图法的五个关键点是_(0,0)_、_ 2，1 _、_(， 0)_、_ 3 2 ，1 _、_(2，0)_. 函数 ycos x，x0,2的五点作图法的五个关健点是_(0,1)_、_ 2，0 _、_(， 1)_、_ 3 2 ，0 _、_(2，1)_. 2函数 ysin x 与 ycos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于 x 轴 的直线，如 ycos x 的
4、对称轴为 xk(kZ)，而不是 x2k(kZ) 3对于 ytan x 不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间 k 2，k 2 (k Z)内为增函数 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)ysin x 在第一象限是增函数( ) (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (3)ysin |x|是周期为 的函数( ) (4)ycos x，x(0,4)不是周期函数( ) (5)由 sin 6 2 3 sin 6知， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( ) (6)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1( )
5、 题组二 走进教材 2(必修 4P45T3 改编)函数 ytan 2x 的定义域是( D ) A x|xk 4，kZ B x|xk 2 8，kZ C x|xk 8，kZ D x|xk 2 4，kZ 解析 由 2xk 2，kZ，得 x k 2 4，kZ，所以 ytan 2x 的定义域为 x xk 2 4，kZ . 3(必修 4P40T4 改编)下列关于函数 y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是 ( B ) A在，0上是增函数，在0，上是减函数 B在 2， 2 上是增函数，在 ， 2 及 2， 上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在 2， 及 ， 2 上是增函数，在 2，
6、2 上是减函数 解析 函数 y4sin x 在 ， 2 和 2， 上单调递减，在 2， 2 上单调递增故选 B 4(必修 4P38T3 改编)函数 y32cos x 4 的最大值为_5_，此时 x_3 4 2k(k Z)_. 解析 函数 y32cos x 4 的最大值为 325， 此时 x 42k， kZ， 即 x 3 4 2k(kZ) 题组三 走向高考 5(2020 天津，8,5 分)已知函数 f(x)sin x 3 .给出下列结论： f(x)的最小正周期为 2； f 2 是 f(x)的最大值； 把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度，可得到函数 yf(x)的图象 其中所
7、有正确结论的序号是( B ) A B C D 解析 函数 f(x)sin x 3 的最小正周期 T2 1 2， 正确； 易知 f 6 sin 21， f 2 sin 2 3 sin 5 6 1 21，错误；把函数 ysin x 的图象上所有点向左平移 3个单位长度， 得到的是函数 ysin x 3 的图象，正确综上，正确，错误故选 B 6(2019 全国卷，5 分)下列函数中，以 2为周期且在区间 4， 2 上单调递增的是( A ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos |x| Df(x)sin |x| 解析 A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为
8、2，当 x 4， 2 时，2x 2， ，函数 f(x)单调 递增，故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为 2，当 x 4， 2 时，2x 2， ，函数 f(x) 单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)cos |x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x) sin |x| sin x，x0， sin x，x0， 由正弦函数图象知，在 x0 和 x0 时，f(x)均以 2 为周期，但在 整个定义域上 f(x)不是周期函数，故 D 不正确，故选 A 考点突破 互动探究 考点一 三角函数的定义域、值域自主练透 例 1 (1)(理)函数 ylgsin x
9、cos x1 2的定义域为_ x 2k0， cos x1 20， 即 sin x0， cos x1 2， 解得 2kx2k， 32kx 32k (kZ)， 所以 2kx 32k，kZ. 所以函数的定义域为 x 2k0，函数 f(x)sin x 4 在 2， 上单调递减，则 的取值范 围是( A ) A 1 2， 5 4 B 1 2， 3 4 C 0，1 2 D(0,2 解析 (1)ycos 2x 3 cos 2x 3 ， 由 2k2x 32k(kZ)， 得 k 6xk 2 3 (kZ) 即所求单调递减区间为 k 6，k 2 3 (kZ) y3tan 6 x 4 3tan x 4 6 ， 由 k
10、 2 x 4 6k 2，解得 4k 4 3x4k 8 3(kZ) 函数的单调递减区间为 4k4 3，4k 8 3 (kZ) 画图知单调递减区间为 k 4，k 4 (kZ) (2)由 2x 得 2 4x 40)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求 解但如果 0， a 4， 解得 00)的最小正周期为 ，则该函数的图象( D ) A关于点 6，0 对称 B关于直线 x 4对称 C关于点 4，0 对称 D关于直线 x 12对称 解析 由 T 知 2 T 2 2， 所以函数 f(x)sin 2x 3 . 函数 f(x)的对称轴满足 2x 3 2k(kZ)，解得 x 12 k 2 (kZ)
11、； 函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x 3k(kZ)， 解得 x 6 k 2 (kZ)故选 D 名师点拨 (1)求三角函数的最小正周期， 一般先通过恒等变形化为 yAsin(x)或 yAcos(x) 或 yAtan(x)(A， 为常数，A0)的形式，再分别应用公式 T2 |或 T |求解 (2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对 yAsin(x )代入 x0，若 y0 则为奇函数，若 y 为最大或最小值则为偶函数若 yAsin(x)为 奇函数，则 k(kZ)，若 yAsin(x)为偶函数，则 2k(kZ) (3)求函数 yAsin(x)的对称中心、对称轴问
12、题往往转化为解方程问题 ysin x 的对称中心是(k，0)，(kZ)， yAsin(x)的对称中心， 由方程xk解出xk ， 故对称中心为 k ，0 (kZ) ysin x 的对称轴是 xk 2，kZ， xk 2解出 x k 2 ， 即 x k 2 为函数 yAsin(x)的对称轴方程 函数 f(x)Asin(x)(A， 为常数，A0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或 最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线 xx0或点(x0,0)是否是函数图 象的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行判断 (4)注意 ytan x 的对称中心为 k 2 ，0 (kZ) 变式训
13、练 2 (1)(角度 1)(2018 课标全国，6)函数 f(x) tan x 1tan2x的最小正周期为( C ) A 4 B 2 C D2 (2)(角度 2)下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( D ) Aysin 2x 2 Bycos 1 2x 2 Cysin 2xcos 2x Dysin 2x 4 cos 2x 4 (3)(角度 3)(2018 江苏)已知函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于直线 x 3对称，则 的值是_ 6_. 解析 (1)本题考查三角函数的周期 解法一：f(x)的定义域为 x xk 2，kZ . f(x) sin x cos x 1 sin x cos x
14、2sin x cos x 1 2sin 2x， f(x)的最小正周期 T2 2 . 解法二：f(x) tanx 1tan2x tan x 1tan2xf(x)， 是 f(x)的周期 f x 2 tan x 2 1tan2 x 2 ， 而 tan x 2 sin x 2 cos x 2 cos x sin x 1 tan x， f x 2 tan x 1tan2xf(x)， 2不是 f(x)的周期， 4也不是 f(x)的周期故选 C (2)ysin 2x 2 cos 2x 是偶函数， 不符合题意 ycos 1 2x 2 sin 1 2x 是 T4 的奇 函数，不符合题意，同理 C 不是奇函数，D
15、 为 y 2sin 2x，故选 D (3)由题意可得 sin 2 3 1，所以2 3 2k， 6k(kZ)，因为 2 2， 所以 k0， 6.故填 6. 名师讲坛 素养提升 三角函数的值域与最值 例 6 (1)函数 y2sin x1 sin x2 的值域为_ 3，1 3 _. (2)(理)函数 f(x)2sin xsin x 6 ，当 x 0， 2 时，函数 f(x)的值域为_ 0，2 3 2 _. (文)函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR)的值域为_2,2_. (3)函数 y1sin x 3cos x的值域为_ 0，3 4 _. (4)(理)若 x 是三角形的
16、最小内角，则函数 ysin xcos xsin xcos x 的最小值是( A ) A1 2 2 B1 2 2 C1 D 2 解析 (1)解法一：y2sin x1 sin x2 2 5 sin x2， 由于1sin x1，所以5 5 sin x2 5 3， 函数的值域为 3，1 3 . 解法二：由 y2sin x1 sin x2 ，解得 sin x2y1 y2 ， 1sin x1， 12y1 y2 1，解得3y1 3， 函数的值域为 3，1 3 . (2)(理)f(x)2sin x 3 2 sin x1 2cos x 3sin2xsin xcos x 31cos 2x 2 sin 2x 2 s
17、in 2x 3 3 2 ， x 0， 2 ，2x 3 3， 2 3 ， sin 2x 3 3 2 ，1 . f(x) 0，2 3 2 . (文)f(x)cos 2x 3sin 2x2sin (2x 6)，值域为2,2 (3)解法一：由 y1sin x 3cos x得 sin xycos x3y1， sin(x) 3y1 1y2 其中 sin y 1y2，cos 1 1y2. 3y1 1y2 1，解得 0y3 4. 解法二：1sin x 3cos x可理解为点 P(cos x，sin x)与点 C(3,1)连线的斜率，点 P(cos x， sin x)在单位圆上，如图所示 故 t1sin x 3
18、cos x满足 kCAtkCB，设过点 C(3,1)的直线方程为 y1k(x3)，即 kxy1 3k0. 由原点到直线的距离不大于半径 1，得|13k| k211，解得 0k 3 4.从而值域为 0，3 4 . (4)(理)由条件知 0 x 3， 令 tsin xcos x 2sin x 4 ， 又 0 x 3， 4x 4 7 12，得 1t 2； 又 t212sin xcos x，得 sin xcos xt 21 2 ， 得 ytt 21 2 1 2(t1) 21，则1 2 2y1， 所以函数的最小值为1 2 2.故选 A 名师点拨 求三角函数值域或最值的方法 (1)yasin xb(或 y
19、acos xb)的值域为|a|b，|a|b (2)yasin2xbcos xc 可转化为关于 cos x 的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值) 即可 (3)yasin2xbsin xcos xc cos2x 利用二倍角公式 降幂整理 yAsin 2xBcos 2x 辅助角 公式 y A2B2sin(2x )，再利用 sin(2x)的有界性求解，注意 2x 的取值范围 (4)yasin xb csin xd 或yacos xb ccos xd 可反解出 sin xf(y)(或 cos xf(y)由正、余弦函数的有界 性(|f(y)|1)求解；yasin xb ccos xd可根据式子的几何
20、意义用数形结合方法求解，或化为 sin(x) ydb a2yc2利用三角函数的有界性求解 (5)yf(sin x cos x，sin x cos x)常用换元法，令 tsin x cos x 2sin(x 4)，则 cos xsin x t 21 2 或1t 2 2 ，可化为关于 t 的二次函数在某区间上的值域或最值 变式训练 3 (1)函数 f(x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2 的最大值是_1_. (2)(理)(2021 黑龙江宜春二中月考)函数 y 1 2sin xcos x的最大值是( D ) A 2 2 1 B 2 2 1 C1 2 2 D1 2 2 (文)(2020
21、黑龙江宜春二中月考)函数 y2sin xcos x 的最大值是( B ) A 22 B 22 C2 2 D2 2 (3)(2021 云南调研)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域是_ 1 2 2，1 _. 解析 (1)依题意，f(x)sin2x 3cos x3 4cos 2x 3cos x1 4 cos x 3 2 21， 因为 x 0， 2 ，所以 cos x0,1， 因此当 cos x 3 2 时，f(x)max1. (2)(理)y 1 2 2sin x 4 ， 2 22 2sin x 4 2 2， y 1 2 21 2 2 ，故选 D (文)y2 2sin x 4 ， 当 x 42k(kZ)时，ymax2 2，故选 B (3)设 tsin xcos x，则 t212sin xcos x， sin xcos x1t 2 2 ，且 2t 2， yt 2 2t 1 2 1 2(t1) 21. 当 t1 时，ymax1，当 t 2时，ymin1 2 2. 函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为 1 2 2，1 .
