1、第 1页（共 21页） 2021 年湖南省常德市高考数学模拟试卷年湖南省常德市高考数学模拟试卷 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |1Bxxm，若 |12ABxx ，则 实数m的取值范围为() A2B2，)C(1,)D1，2 2 （5 分）已知复数1zi ，其中i是虚数单位，则复数 2 1 z i 等于() A1i B1iC1i D1i 3 （5 分）函数( )sin1f xxx在0 x
2、 处的切线方程为() A1y B1yxC21yxD31yx 4 （5 分）某学校高一年级星期五随机安排 6 节课，上午安排数学 2 节，语文和音乐各 1 节， 下午安排英语、体育各 1 节，则 2 节数学恰好相邻的概率为() A 3 4 B 1 2 C 1 3 D 1 4 5 （5 分）2021 年 3 月全国两会上， “碳达峰”碳中和”备受关注为应对气候变化，我国 提出“二氧化碳排放力争于 2030 年前达到峰值，努力争取 2060 年前实现碳中和”等庄严的 目标承诺在今年的政府工作报告中， “做好碳达峰、碳中和工作”被列为 2021 年重点任务 之一； “十四五”规划也将加快推动绿色低碳发
3、展列入其中我国自 1981 年开展全民义务植 树以来，全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为19841988年，每 5 年清查一次，历次清查数据如表： 第x次3456789 森林面积y（亿平方 米） 1.251.341.591.751.952.082.20 经计算得到线性回归直线为0.1675yxa（参考数据： 7 1 12.16) i i y ，据此估算我国森林 面积在第几次森林资源清查时首次超过 3 亿平方米() A12B13C14D15 6 （5 分）哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术、模式匹配和 信息检索、同步光电探测器的代码、射电天文学等有广泛
4、的应用图 1 的哥隆尺可以一次性 度量的长度为 1，2，3，4，5，6在图 2 的哥隆尺的刻度 4 到 12 之间增加一个整数刻度n， 第 2页（共 21页） 使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为() A8B9C10D11 7 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 1 F， 2 F，过右焦点作垂直于x轴 的直线交椭圆于A，B两点，若 1 120AF B，则椭圆的离心率为() A72B 2 2 C21D23 8 （5 分）已知函数 2 1,1 ( ) 25,1 x x f xlnx xxx ，若函数 2 ( )( )(12 ) ( )1F
5、xfxa f x恰有 5 个零点，则实数a的取值范围是() A 7 43 ,) 4 12 B 3 7 ( , 2 4 C 3 43 ( ,) 2 12 D 1 (,) 2 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则下列选项正 确的是() A函数( )f x的最小正周期为3
6、B 5 ( 4 ，0)为函数( )f x的一个对称中心 C 1 (0) 2 f D函数( )f x向右平移 2 个单位后所得函数为偶函数 10 （5 分）下列不等式中成立的是() 第 3页（共 21页） A 0.80.8 0.60.8B 0.80.6 0.60.8 C 0.80.6 log0.6log0.8D 0.6 0.8 log0.60.8 11 （5 分）下列说法正确的是() A命题:0px ，1 x ex的否定:0px ，1 x ex B二项式 5 (12 ) x的展开式的各项的系数和为 32 C已知直线a 平面，则“/ /la”是/ /l”的必要不充分条件 D函数 1 sin sin
7、 yx x 的图象关于直线 2 x 对称 12 （5 分）如图，点P在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列结论中正 确的是() A三棱锥 11 APB D的体积不变B/ /DP平面 11 AB D C 11 A PBDD平面 1 ACP 平面PBD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知数列 n a满足 11 2(2) nnn aaan ，且 1 1a ， 5 13a ，则 2 a 14（5 分） 已知向量(1, )ak ，(2,3)bk ， 若(2)aab ， 且0k ， 则c
8、osa ，b 15 （5 分）已知边长为 1 的正ABC的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点 为S，若三棱锥SABC的体积为 2 6 ，则球O的体积为 16 （5 分）定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则APB取最大值 时，APB叫点P对曲线L的张角已知点P为抛物线 2 :4C yx上的动点，设P对圆 22 :(3)1Mxy的张角为，则cos的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
9、，c，已知 2 cab，且 3 cos()cos 2 ABC 第 4页（共 21页） （）求角C； （）延长BC至D，使得4BD ，求ACD面积的最大值 18 （12 分）已知数列 n a的首项为 1 3a ， n S是 n a的前n项和 （）若 1 1 1 2 nn Sa 求数列 n a的通项； （）若 1 3 nn aa ，证明： 3(31) (2) 2 n n Sn 19 （12 分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取 20000 名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的 某项医学指标值，统计得到如表频率分布表： 医学指标
10、 值X 9，11)11，13)13，15)15，17)17，19)19，21)21，23 频率0.050.10.150.40.20.060.04 （）根据频率分布表，估计 20000 名志愿者的该项医学指标平均值x（同一组数据用该组 数据区间的中点值表示） ； （）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布 2 ( ,)N ，用（）中 的平均值x近似代替，且(1417.76)0.5PX ，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不 低于 14 时，则认定其体内已经产生抗体；现从该市随机抽取 3 人进行第一次疫苗注射，求 能产生抗体的人数的分布列与期望 20 （12 分）如图，已知斜三棱柱 1
11、11 ABCA BC底面是边长 2 的正三角形，D为ABC所在 平面上一点且四边形ABCD是菱形，ACBDO ， 四边形 11 ACC A为正方形， 平面 11 A DC 平面 111 A B C （）证明： 1 B O 平面ABCD； （）求平面 1 CDC与平面 11 A DC所成二面角的正弦值 第 5页（共 21页） 21 （12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点(2,0)F的距离与到定直线 1 2 x 的距离的比等于常数 2 （）求动点P的轨迹E的方程； （）若直线PF与曲线E的另一个交点为Q，以PQ为直径的圆交直线 1 2 x 于A，B两 点，设劣弧AB所对的圆心角为，
12、求证：为定值 22 （12 分）设函数 1 ( ) 1 f xalnx x ，其中a为常数，且0a （）讨论函数( )f x的单调性； （ ） 设 函 数( )( )F xf xxlna， 1 x， 2 x是 函 数( )f x的 两 个 极 值 点 ， 证 明 ： 12 ()()142F xF xln 第 6页（共 21页） 2021 年湖南省常德市高考数学模拟试卷年湖南省常德市高考数学模拟试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符
13、合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 2 |20Ax xx， |1Bxxm，若 |12ABxx ，则 实数m的取值范围为() A2B2，)C(1,)D1，2 【解答】解： | 12Axx ， |1Bxxm，且 |12ABxx ， 2m ， m的取值范围为：2，) 故选：B 2 （5 分）已知复数1zi ，其中i是虚数单位，则复数 2 1 z i 等于() A1i B1iC1i D1i 【解答】解：因为复数1zi ， 所以复数 22 (1)2 (1) (1)1 11(1)(1) ziii iii iiii 故选：A 3 （5 分）函数( )sin1f xxx在0 x 处的切
14、线方程为() A1y B1yxC21yxD31yx 【解答】解：函数( )sin1f xxx， 可得( )1cosfxx ， 所以在0 x 处的切线的斜率为：2， 切点坐标为：(0,1)，所以切线方程为：12(0)yx ， 即210 xy 故选：C 4 （5 分）某学校高一年级星期五随机安排 6 节课，上午安排数学 2 节，语文和音乐各 1 节， 下午安排英语、体育各 1 节，则 2 节数学恰好相邻的概率为() A 3 4 B 1 2 C 1 3 D 1 4 【解答】解：某学校高一年级星期五随机安排 6 节课， 第 7页（共 21页） 上午安排数学 2 节，语文和音乐各 1 节，下午安排英语、
15、体育各 1 节， 基本事件总数 42 42 48nA A， 其中 2 节数学恰好相邻包含的基本事件个数 232 232 24mA A A， 则 2 节数学恰好相邻的概率为 241 482 m P n 故选：B 5 （5 分）2021 年 3 月全国两会上， “碳达峰”碳中和”备受关注为应对气候变化，我国 提出“二氧化碳排放力争于 2030 年前达到峰值，努力争取 2060 年前实现碳中和”等庄严的 目标承诺在今年的政府工作报告中， “做好碳达峰、碳中和工作”被列为 2021 年重点任务 之一； “十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中我国自 1981 年开展全民义务植 树以来，全国森林面
16、积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为19841988年，每 5 年清查一次，历次清查数据如表： 第x次3456789 森林面积y（亿平方 米） 1.251.341.591.751.952.082.20 经计算得到线性回归直线为0.1675yxa（参考数据： 7 1 12.16) i i y ，据此估算我国森林 面积在第几次森林资源清查时首次超过 3 亿平方米() A12B13C14D15 【解答】解：由题意可知， 3456789 6 7 x ， 7 1 12.16 1.74 77 i i y y ， 又因为 0.1675b ， 则 1.740.1675 60.735aybx， 故0.1
17、6750.735yx， 令0.16750.7353yx，又x为整数， 所以14x，x为整数 故选：C 6 （5 分）哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术、模式匹配和 第 8页（共 21页） 信息检索、同步光电探测器的代码、射电天文学等有广泛的应用图 1 的哥隆尺可以一次性 度量的长度为 1，2，3，4，5，6在图 2 的哥隆尺的刻度 4 到 12 之间增加一个整数刻度n， 使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为() A8B9C10D11 【解答】解：已有刻度 0，1，4，12，17， 利用已有刻度可以测量出 1，4，12，17，3，8，5，11，16，13 共
18、 10 个长度， 在刻度 4 到 12 之间增加一个整数刻度n，尽量与以上刻度不重复， 若加 8，可多测量出 7，9， 若加 9，可多测量出 9，3， 若加 10，可多测量出 10，9，2，7，6， 若加 11，可多测量出 10，7，6， 故选：C 7 （5 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 1 F， 2 F，过右焦点作垂直于x轴 的直线交椭圆于A，B两点，若 1 120AF B，则椭圆的离心率为() A72B 2 2 C21D23 【解答】解：椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点为 1 F， 2 F，过右焦点作垂直于x轴 的直
19、线交椭圆于A，B两点，若 1 120AF B，所以 12 60AF F， 可得 2 2 | b AF a ，所以 2 3 2 b a c ， 即 1 3 22 e e ，01e，解得23e 故选：D 8 （5 分）已知函数 2 1,1 ( ) 25,1 x x f xlnx xxx ，若函数 2 ( )( )(12 ) ( )1F xfxa f x恰有 5 个零点，则实数a的取值范围是() 第 9页（共 21页） A 7 43 ,) 4 12 B 3 7 ( , 2 4 C 3 43 ( ,) 2 12 D 1 (,) 2 【解答】解：当1x 时，( )1 x f x lnx ， 2 1 (
20、) lnx fx ln x ， 当(1, )xe时，( )0fx，( )f x单调递减，当( ,)xe时，( )0fx，( )f x单调递增， 作出( )f x的图象如图： 令( )f xt，则函数 2 ( )( )(12 ) ( )1F xfxa f x恰有 5 个零点， 即方程 2( ) (12 ) ( )10fxa f x 恰有 5 个根， 即 2 (12 )10ta t 有两个不等实根，且一个根属于(,1)e，一个根属于2，6)内 令 2 ( )(12 )1g tta t， 则 2 (1)(1)(12 )(1)10 (2)42(12 )1 0 (6)366(12 )10 g eea e
21、 ga ga ，解得 743 412 a 实数a的取值范围是 7 43 ,) 4 12 故选：A 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象如图所示，则下列选项正 确的是() 第 10页（共 21页） A函数( )f x的最小正周期为3 B 5 ( 4 ，0)为函数( )f x的一个对
22、称中心 C 1 (0) 2 f D函数( )f x向右平移 2 个单位后所得函数为偶函数 【解答】解：根据函数( )sin()(0f xx ，|) 2 的部分图象， 可得， 1 44 T ，所以3T，故A正确； 由 2 3 ，可得 2 3 ， 由点( 4 ，0)在函数图像上，可得 2 sin()0 34 ，可得 2 34 k ，kZ，解得 6 k ，kZ， 因为| 2 ，可得 6 ，可得 2 ( )sin() 36 f xx ， 因为 52523 ()sin()sin0 434632 f ，故B错误； 由于 1 (0)sin() 62 f ，故C正确； 将函数( )f x向右平移 2 个单位后
23、所得函数为 22 ()sin ()cos 23263 x f xx 为偶函 数，故D正确 故选：ACD 10 （5 分）下列不等式中成立的是() A 0.80.8 0.60.8B 0.80.6 0.60.8 C 0.80.6 log0.6log0.8D 0.6 0.8 log0.60.8 【解答】解：函数 0.8 yx，在(0,)上单调递增， 0.80.8 0.60.8，故A错误； 函数0.6xy ，在R上单调递减， 0.80.6 0.60.6，函数0.6xy ，在(0,)上单调递增， 第 11页（共 21页） 0.60.6 0.60.8， 0.80.6 0.60.8，故B正确； 函数 0.8
24、 logyx单调递减， 0.80.80.60.6 log0.6log0.81log0.6log0.8，故C正确； 00.6 0.80.8 0.60.810 80 8loglog ，故D错误， 故选：BC 11 （5 分）下列说法正确的是() A命题:0px ，1 x ex的否定:0px ，1 x ex B二项式 5 (12 ) x的展开式的各项的系数和为 32 C已知直线a 平面，则“/ /la”是/ /l”的必要不充分条件 D函数 1 sin sin yx x 的图象关于直线 2 x 对称 【解答】解：对于A：命题:0px ，1 x ex的否定:0px ，1 x ex ，故A正确； 对于B：
25、二项式 5 (12 ) x的展开式的各项的系数和为 55 (12)3，故B错误； 对于C：已知直线a 平面，由于直线l与的关系不确定， 故“/ /la”是/ /l”的既不必要不充分条件，故C错误； 对于D：由于x关于 2 x 的对称点为x， 故 1 ( )sin sin f xx x ，满足 11 ()sin()sin( ) sin()sin fxxxf x xx ， 故函数 1 sin sin yx x 的图象关于直线 2 x 对称，故D正确 故选：AD 12 （5 分）如图，点P在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列结论中正 确的是() A三棱锥 11 A
26、PB D的体积不变B/ /DP平面 11 AB D C 11 A PBDD平面 1 ACP 平面PBD 第 12页（共 21页） 【解答】解：对于A， 11 AB D的面积是定值， 11 / /ADBC， 1 AD 平面 11 AB D， 1 BC 平面 11 AB D， P到平面 11 AB D的距离为定值，三棱锥 11 APB D的体积不变，故A正确； 对于B， 11 / /ADBC， 11/ / B DBD， 1111 ADB DD ， 1 BCBDB ， 平面 11/ / AB D平面 1 BDC， DP 平面 1 BDC，/ /DP平面 11 AB D，故B正确； 对于C，以 1 D
27、为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 设(P a，2，) c，02a ，02c ， 则 1(2 A，0，0)，(2B，2，2)， 1(0 D，0，0)， 1 (2APa ，2，) c， 1 ( 2BD ，2，2)， 则 11 2442220AP BDacac ， 1 AP和 1 BD不垂直，故C错误； 对于D，设(P a，2，) c，02a ，02c ， 则 1(2 A，0，0)，(0C，2，2)，(2B，2，2)，(0D，0，2)，(0D，0，2)， 1 (2APa ，2，) c， 1 ( 2AC ，2，2)，(DPa ，2，) c，(2DB ，
28、2，0)， 设平面平面 1 ACP的法向量(nx ，y，) z， 则 1 1 (2)20 2220 n APaxycz n ACxyz ，取0y ，则2xc，za，2ac，得(na ，0， )a， 设平面PBD的法向量(ma ，b，) c， 则 20 220 m DPaxycz m DBxy ，取1x ，得(1m ，1， 2 ) a c ， 22 2 2 aa m naaaaa ca 不一定为 0， 平面 1 ACP和平面PBD不垂直，故D错误 故选：AB 第 13页（共 21页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5
29、分）已知数列 n a满足 11 2(2) nnn aaan ，且 1 1a ， 5 13a ，则 2 a 4 【解答】解：数列 n a满足 11 2(2) nnn aaan ， 所以数列 n a为等差数列； 故公差 51 3 51 aa d ， 所以 21 4aad 故答案为：4 14 （5 分）已知向量(1, )ak ，(2,3)bk ，若(2)aab ，且0k ，则cosa ，b 2 5 5 【解答】解：根据题意，向量(1, )ak ，(2,3)bk ，则2( ,23)abkk ， 若(2)aab ，则(2)(23)0aabkkk ， 解可得：0k 或1k ， 又由0k ，则1k ， 则(
30、1,1)a ，(1,3)b ， 则有|2a ，|10b ，134a b ， 故cosa ， 42 5 5|210 a b b a b ， 故答案为： 2 5 5 15 （5 分）已知边长为 1 的正ABC的三点都在球O的球面上，AO的延长线与球面的交点 第 14页（共 21页） 为S，若三棱锥SABC的体积为 2 6 ，则球O的体积为 4 3 【解答】解：设球心为O，球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为 1 O， 则 1 OO 平面ABC， 作SD 平面ABC交 1 CO的延长线与D 222 1 231 () 323 OORR， 高 1 2SDOO， ABC是边长为 1 的正三角形，三棱锥SA
31、BC的体积为 2 6 ， 3 4 ABC S， 321 346 SABC Vh 三棱锥 ， 2 6 3 h ， 2 12 6 2 33 R ， 1R则球O的体积为 3 44 1 33 ， 故答案为： 4 3 16 （5 分）定义：点P为曲线L外的一点，A，B为L上的两个动点，则APB取最大值 时，APB叫点P对曲线L的张角已知点P为抛物线 2 :4C yx上的动点，设P对圆 22 :(3)1Mxy的张角为，则cos的最小值为 3 4 【解答】解：如图， 第 15页（共 21页） 2 coscoscos212sinAPBAPMAPM ， 要使cos最小，则sinAPM最大，故|PM最小， 设 2
32、 ( 4 a P，)a，则 2 2222 1 |(3)(4)8 416 a PMaa 当 2 4a ，即2a 时，|2 2 min PM， 此时(1,2)P或(1, 2)， 22 13 (cos )1212() 42 2 min sinAPM 故答案为： 3 4 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2 cab，且 3 cos()cos 2 ABC （）求角C； （）延长BC至D，使得4BD ，求ACD面积的
33、最大值 【解答】解： （）已知 2 cab， 所以 2 sinsinsinCAB， 3 cos()cos 2 ABC， 所以： 3 2sinsin 2 AB ， 故 2 3 sin 4 C ， 整理得 3 sin 2 C ， 故 3 C 或 2 3 第 16页（共 21页） 由于 22222 1211 cos 222222 abcabab C ababab ， 所以 3 C 满足条件， 故 3 C （）延长BC至D，使得4BD ， 所以 13 (4) sin(4) 234 ACD Sa bab ， 由于 222 2 2coscababC cab ， 所以ab， 所以 2 33 (4)(2)3
34、44 aba ， 当2a 时， ACD S的最大值为3 18 （12 分）已知数列 n a的首项为 1 3a ， n S是 n a的前n项和 （）若 1 1 1 2 nn Sa 求数列 n a的通项； （）若 1 3 nn aa ，证明： 3(31) (2) 2 n n Sn 【解答】 （）解：由 1 1 1 2 nn Sa 得：当2n时， 1 1 1 2 nn Sa ， 11 1 () 2 nnnn SSaa ，即 1 1 () 2 nnn aaa ， 2n 时， 1 3 n n a a ， 又 1 3a ， 12 1 1 2 Sa， 2 4a， 2 1 4 3 3 a a ， 当2n时，
35、2 4 3n n a ， 数列 n a的通项公式为 2 3,1 43,2 nn n a n （）证明：若 1 3 nn aa 得： 231 1231 3333(2) n nnnn aaaaa n ， 1 1 33 nn n aa ， 21 11 33 nn n aa ， 2 21 33aa， 11 aa， 各式相加得： 23 12 3333 (2) n nn Saaan， 第 17页（共 21页） 又 23 3(13 )3(31) 3333 132 nn n ， 3(31) (2) 2 n n Sn 19 （12 分）为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员从某市随机选取 2000
36、0 名志愿者，并将该疫苗注射到这些人体内，独立环境下试验一段时间后检测这些人的 某项医学指标值，统计得到如表频率分布表： 医学指标 值X 9，11)11，13)13，15)15，17)17，19)19，21)21，23 频率0.050.10.150.40.20.060.04 （）根据频率分布表，估计 20000 名志愿者的该项医学指标平均值x（同一组数据用该组 数据区间的中点值表示） ； （）若认为注射该疫苗的人群的此项医学指标值X服从正态分布 2 ( ,)N ，用（）中 的平均值x近似代替，且(1417.76)0.5PX ，且首次注射疫苗的人该项医学指标值不 低于 14 时，则认定其体内已经
37、产生抗体；现从该市随机抽取 3 人进行第一次疫苗注射，求 能产生抗体的人数的分布列与期望 【解答】解：（） 0.05 100.1 120.15 140.4 160.2 180.06200.04221 5.88x ； （）由(1417.76)0.5PX，且正态密度曲线关于15.88x对称， 所以 1(1417.76) (14)(17.76)0.25 2 PX P XP X ， 3 (14)1(14)10.25 4 P XP X ， 由题意可得，随机变量0，1，2，3，且 3 (3, ) 4 B， 所以 030 3 131 (0)( ) ( ) 4464 PC， 121 3 139 (1)( )
38、( ) 4464 PC， 212 3 1327 (2)( ) ( ) 4464 PC， 303 3 1327 (3)( ) ( ) 4464 PC， 所以随机变量的分布列为： 0123 第 18页（共 21页） P 1 64 9 64 27 64 27 64 所以随机变量的数学期望为 39 ( )3 44 Enp 20 （12 分）如图，已知斜三棱柱 111 ABCA BC底面是边长 2 的正三角形，D为ABC所在 平面上一点且四边形ABCD是菱形，ACBDO ， 四边形 11 ACC A为正方形， 平面 11 A DC 平面 111 A B C （）证明： 1 B O 平面ABCD； （）求
39、平面 1 CDC与平面 11 A DC所成二面角的正弦值 【解答】 （）证明：取 11 AC中点M，连接MD、 1 MB、MO， 因为 1111 A BBC，所以 111 B MAC， 因为四边形 11 ACC A为正方形，所以 11 OMAC， 所以 11 AC 平面 1 B MDO，因为MD 平面 1 B MDO， 所以 11 ACDM，又因为平面 11 A DC 平面 111 A B C， 所以DM 平面 111 A B C，又因为平面/ /ABCD平面 111 A B C， 所以DM 平面ABCD， 因为 1 / /B MOD且 1 B MOD，所以 1 / /BODM， 所以 1 B
40、 O 平面ABCD； （）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 在RT 1 B BO中， 2222 11 2( 3)1BOB BBO， ( 1CD ，3，0)， 1 (0CC ，3，1)， 设平面 1 CDC的法向量为(mx ，y，) z， 第 19页（共 21页） 1 30 30 CD mxy CCmyz ，令1y ，( 3m ，1，3)， 平面 11 A DC的法向量为(0n ，1，0)， 所以平面 1 CDC与平面 11 A DC所成二面角的余弦值为 |11 | |7 17 m n mn ， 故平面 1 CDC与平面 11 A DC所成二面角的正弦值为 142 1 77 21 （12 分）
41、已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点(2,0)F的距离与到定直线 1 2 x 的距离的比等于常数 2 （）求动点P的轨迹E的方程； （）若直线PF与曲线E的另一个交点为Q，以PQ为直径的圆交直线 1 2 x 于A，B两 点，设劣弧AB所对的圆心角为，求证：为定值 【解答】 （）解：设( , )P x y，则 | 2 PF d ， 22 (2) 2 1 | 2 xy x ，化简得 2 2 1 3 y x ， 故动点P的轨迹E的方程为 2 2 1 3 y x （）证明：当PFx轴时，把2x 代入 2 2 1 3 y x 中，可得(2,3)P，(2, 3)Q， 圆心为(2,0)，半径为 3，
42、由垂径定理知， 1 2 1 2 cos 232 ， (0, )， 23 ，即 2 3 ，为定值 第 20页（共 21页） 当PF不垂直x轴时，设其方程为(2)yk x， 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 联立 2 2 (2) 1 3 yk x y x ，得 2222 (3)4(43)0kxk xk， 2 12 2 4 3 k xx k ， 2 12 2 43 3 k x x k ， 1212 2 12 ()4 3 k yyk xxk k ， PQ的中点坐标为 2 2 2 ( 3 k k ， 2 6 ) 3 k k ， 又 2 222 121212 2 6(1) |1|1(
43、)4 |3| k PQkxxkxxx x k ， 圆的半径 2 2 13(1) | 2|3| k rPQ k ， 圆心（即PQ的中点）到直线 1 2 x 的距离 22 12 22 12133 | | 22322|3| xxkk d kk ， 由垂径定理知， 2 2 2 2 33 12|3| cos 3322 |3| k dk kr k ， (0, )， 23 ，即 2 3 ，为定值 综上所述，为定值 22 （12 分）设函数 1 ( ) 1 f xalnx x ，其中a为常数，且0a （）讨论函数( )f x的单调性； （ ） 设 函 数( )( )F xf xxlna， 1 x， 2 x是
44、函 数( )f x的 两 个 极 值 点 ， 证 明 ： 12 ()()142F xF xln 【解答】解： （）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 22 1(21) ( ) (1)(1) aaxaxa fx xxx x ， 令 2 ( )(21)g xaxaxa， 22 (21)441aaa ， 当 1 4 a时，( ) 0g x ，( ) 0fx，( )f x在(0,)上单调递增， 当 1 0 4 a时，由( )0g x 解得 1 1214 2 aa x a ， 2 1214 2 aa x a ， 第 21页（共 21页） 所以 2 21 121414414 0 22 aaaaa x
45、x aa ， 所以当 1 (0,)xx时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递增， 当 1 (xx， 2) x时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递减， 当 2 (xx，)时，( )0g x ，( )0fx，( )f x单调递增， 综上所述，当 1 0 4 a时，( )f x在 1214 (0,) 2 aa a 上单调递增， 在 1214 ( 2 aa a ， 1214 ) 2 aa a 上单调递减， 在 1214 ( 2 aa a ，)上单调递增， 当 1 4 a时，( )f x在(0,)上单调递增 （）由（）知函数( )f x的两个极值点为 1 x， 2 x，
46、则 1 0 4 a， 所以 12 12a xx a ， 12 1x x ， 所以 121122 ()()()()F xF xf xx lnaf xx lna 12 1212 12 2 ()() (1)(1) xx aln x xxx lna xx 12 1 1212 2 () 1 xx xx lna x xxx 12 1 a lna a ， 记h（a） 1211 11(2)(0) 4 a lnalnaa aa ， h（a） 22 11112 (2) lnaa lna aaaa ， 因为 1 0 4 a， 所以120a，0lna， 所以h（a）0，h（a）在 1 (0, ) 4 上单调递增， 所以h（a） 1 ( )14 2 4 hln ， 即 12 114 2 a lnaln a ， 所以 12 ()()142F xF xln
