1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 导入新知导入新知 在在七下我们已经知道了七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形”， 生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它 们都是们都是等边三角形等边三角形. 思考：思考：在上一节课我们证明等腰三角形的在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等两底角相等，那等边三，那等边三 角形的各角之间有什么关系呢角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？等腰三角形中有哪些相等的线段？ 1 1. .进一步进一步学习学习等腰三角形等腰
2、三角形的相关的相关性质性质. . 2 2. .了解了解等腰三角形等腰三角形两底角的角平分线两底角的角平分线（两腰两腰 上的高上的高，中线中线）的性质）的性质. . 素养目标素养目标 3. 3.学习学习等边三角形的性质等边三角形的性质，并能够运用其，并能够运用其解决解决 问题问题 探究新知探究新知 知识点 1等腰三角形的重要线段的性质等腰三角形的重要线段的性质 想一想想一想： 上上节课我们证明了等腰三角形的节课我们证明了等腰三角形的“三线合一三线合一”，即，即顶角的平分顶角的平分 线线、底边上的高底边上的高、底边上的中线底边上的中线. 试试猜想等腰三角形的猜想等腰三角形的两底角的角平分线两底角的
3、角平分线、两腰上的高两腰上的高、两腰两腰 上的中线上的中线有什么关系呢？有什么关系呢？ 探究新知探究新知 作图作图观察观察, ,我们我们可以猜想：可以猜想： 等腰三角形两底角的平分线相等；等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形等腰三角形两腰上两腰上的中线相等的中线相等； 等腰三角形等腰三角形两腰上两腰上的高相等的高相等 A C B D E A CB M N A CB P Q 你能证明你能证明 你的猜想你的猜想 吗？吗？ 探究新知探究新知 A CB E 已知已知: 求证求证: BD=CE. 如图如图, 在在ABC中中, AB=AC, BD和和CE是是ABC的角平的角平 分线分线 1 2 D
4、猜想猜想证明：证明：等腰三角形两底角的平分线等腰三角形两底角的平分线相等相等 探究新知探究新知 2= ACB(已知已知), AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角). 证明：证明： 1 2 又又1= ABC， 1 2 1=2(等式性质等式性质) 在在BDC与与CEB中，中， DCB= EBC（已知），（已知）， BC=CB（公共边），（公共边）， 1=2（已证），（已证）， BDC CEB（ （ASA） BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) A CB E 1 2 D 探究新知探究新知 思考：思考：如图，如图，在在等腰三角形等腰三角形ABC中中， （1
5、）如果）如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE吗？吗？ （2）如果如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE吗吗？ 1 3 1 3 1 4 1 4 由此你得到什么结论由此你得到什么结论? 在在ABC中，如果中，如果AB=AC，ABD= ABC， ACE= ACB，那么那么BD=CE. 简述为简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. . 结论结论 1 n 1 n A CB ED 探究新知探究新知 已知已知: 求证求证: BM=CN. 如图如图, 在在ABC中中, AB=AC,BM,CN是是ABC两腰上的两腰
6、上的 中线中线 猜想猜想证明：证明：等腰三角形等腰三角形两腰上的中线相等两腰上的中线相等 A CB M N 探究新知探究新知 又又CM= ，BN= ， 1 2 AB 1 2 AC 证明：证明：AB=AC(已知已知)，ABC=ACB. CM=BN 在在BMC与与CNB中，中， BC=CB,MCB=NBC, CM=BN， BMC CNB（SAS） BM=CN. A CB M N 探究新知探究新知 已知已知: 求证求证: BP=CQ. 如图如图, 在在ABC中中, AB=AC,BP,CQ是是ABC两腰上的高两腰上的高 猜想猜想证明：证明：等腰三角形等腰三角形两腰上的高相等两腰上的高相等 A CB P
7、 Q 证明：证明：AB=AC(已知已知)，ABC=ACB. 在在BMC与与CNB中，中， BC=CB,QBC=PCB, BQC=CPB， BQC CPB（AAS） BP=CQ. 探究新知探究新知 思考：思考：如图，如图，在在等腰三角形等腰三角形ABC中中， （1）如果）如果AD= AC，AE= AB，那么，那么BD=CE吗？吗？ （2）如果）如果AD= AC，AE= AB，那么，那么BE=CE吗吗？ 1 3 1 3 1 4 1 4 由此你得到什么结论由此你得到什么结论? 在在ABC中，如果中，如果AB=AC，AD= AC， AE= AB，那么，那么BD=CE. 简述为简述为：两腰上距顶点等距的
8、两点与底边顶点的连线段相等两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等. . 结论结论 1 n 1 n A CB ED 等腰三角形的重要线段的性质等腰三角形的重要线段的性质素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例例 如如图图,在在ABC中中,AB=AC,CDAB于点于点D,BEAC于点于点E,求求 证证:DEBC. 证明：证明：AB=AC,ABC=ACB. 又又CDAB于点于点D,BEAC于点于点E, AEB=ADC=90, ABE=ACD, ABC-ABE=ACB-ACD, 即即EBC=DCB. 探究新知探究新知 在在BEC与与CDB中中, BEC CDB,BD=CE, AB-BD=AC-
9、CE,即即AD=AE, ADE=AED. 又又A是是ADE和和ABC的顶角的顶角, ADE=ABC, DEBC. = = = BECCDB EBCDCB BCCB ， ， ， 如如图图,已知已知AD,BE分别分别是是ABC的中线和高的中线和高,且且AB=AC, EBC=20,则则BAD的度数的度数为为 ( ( ) ) A.18 B.20 C.22.5D.25 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 B 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 下列说法下列说法: ( (1) )等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合; ( (2) )等腰三角形的两腰上的中线长相等等腰
10、三角形的两腰上的中线长相等; ( (3) )等腰三角形的腰一定大于其腰上的高等腰三角形的腰一定大于其腰上的高; ( (4) )等腰三角形的一边长为等腰三角形的一边长为8,一边长为一边长为16,那么它的那么它的周长周长是是32或或40. 其中不正确的个数其中不正确的个数是是( ( ) ) A.1B.2C.3D.4 C 知识点 2等边三角形的性质等边三角形的性质 想一想想一想： 等边三角形等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角 有什么特征呢有什么特征呢？ 探究新知探究新知 定理定理 等边三角形等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于的三个内角
11、都相等，并且每个角都等于60. 思考：思考： 怎样怎样证明这一证明这一定理？定理？ 可以利用可以利用等腰三角形的性质等腰三角形的性质进行证明进行证明. . 证明证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60. 探究新知探究新知 已知：如图已知：如图,在在ABC中，中， AB=AC=BC 求证：求证：A=B=C=60 A C B 证明：证明：在在ABC中中，AB=AC(已知已知)， B=C(等边对等角等边对等角). 同理同理A=B 又又A+B+C=180， A=B=C=60 探究新知探究新知 等边三角形的性质等边三角形的性质素养考点素养考点 2
12、 例例 如如图图,ABC是等边三角形，点是等边三角形，点D在在AC边上，边上，DBC=35， 则则ADB的度数为（的度数为（ ） A.25 B.60 C.85 D.95 D 如如图图,等边三角形等边三角形ABC中中,BD是是AC边上的中线边上的中线,BD=BE, 求求EDA的度数的度数. B C DA E 解：解： ABC是等边三角形，是等边三角形，CBA=60. BD是是AC边上的中线，边上的中线， BDA=90, DBA=30. BD=BE， BDE=(180 DBA) 2 =(18030) 2=75. EDA=90 BDE=9075=15. 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 连接中考连
13、接中考 （2020绵阳）在螳螂的示意图中，绵阳）在螳螂的示意图中，ABDE，ABC是等腰三是等腰三 角形，角形，ABC=124，CDE=72，则，则ACD=( ( ) ) A.16B.28 C.44D.45 C 1.若若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100,则则顶角顶角 的度数的度数为为 ( ( ) ) A.50B.80 C.100 D.130 B 课堂检测课堂检测 2 .在在ABC中，中，AB=AC，BD、CE分别为分别为ABC、ACB的的 平分线，平分线，BD=5，则，则CE= . 5 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3 .如如图图,在在AB
14、C中中,CA=CB,ADBC,BEAC,AB=5,AD=4, 则则AE=_. 3 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 课堂检测课堂检测 4. 若若如图如图,ABC是等边三角形是等边三角形,AD是角平分线是角平分线,ADE是是 等边三角形等边三角形,AB,ED相交于点相交于点F,下列结下列结 论论:ADBC;EF=FD;BE=BD.其中正确的有其中正确的有 _.(填序号填序号) 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5. 如如图图,在在ABC中中,AB=AC,中线中线BD,CE相交相交 于点于点O.求证求证:OB=OC. 证明证明: :BD,CE是是ABC的两条中线的两条中线
15、, CD= AC,BE= AB, AB=AC,CD=BE,EBC=DCB. 在在EBC和和DCB中中,BE=CD,EBC=DCB,BC=CB, EBC DCB(SAS),ECB=DBC,OB=OC. 1 2 1 2 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1. 如如图图,AB=AC,BD=DC,DFAB,DEAC,垂足分别是垂足分别是F,E. 求证求证:DE=DF. 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 证明证明: :AB=AC,B=C, DFAB,DEAC,BFD=CED=90, 在在BDF和和CDE中，中， BD=DC, B=C， BFD=CED， BDF CDE（AAS）
16、,DE=DF. 课堂检测课堂检测 2. 如如图图, ABC是等边三角形是等边三角形,D是是AB边上一点边上一点,以以CD为边为边作等边作等边 CDE,使点使点E,A在直线在直线DC的同侧的同侧,连接连接AE,判断判断AE与与BC的位置关的位置关 系系,并说并说明理由明理由. 证明证明: :AEBC,理由如下理由如下: ABC和和DEC是等边三角形是等边三角形, BC=AC,CD=CE,BCA=ECD=60,B=60, BCA-DCA=ECD-DCA,即即BCD=ACE, 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 在在ACE和和BCD中中, ACE BCD(SAS), EAC=B=
17、60, ACB=60,EAC=ACB, AEBC. = = = ACBC ACEBCD CECD ， ， ， 课堂检测课堂检测 如如图图,在等边在等边ABC中中,点点D,E分别在边分别在边BC,AC上上,且且AE=CD,BE与与 AD相交于点相交于点P,BQAD于点于点Q. (1)求证求证:ABE CAD. 证明证明: :ABC为为等边三角形，等边三角形， AB=AC,BAC=ACB=60， 在在BAE和和ACD中中, BAE ACD（SAS）. = = = AECD BACACB ABAC ， ， ， 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 课堂检测课堂检测 (2)求求PBQ的度数的度数. 解
18、解: :BAE ACD, ABE=CAD, BPQ为为ABP的的外角外角, BPQ=ABE+BAD, BPQ=CAD+BAD=BAC=60， BQAD,PBQ=30. 课堂检测课堂检测 等边三角等边三角 形的性质形的性质 等边三角形的等边三角形的三个内角都相等三个内角都相等，并且，并且 每个角都等于每个角都等于6060 课堂小结课堂小结 等腰三角等腰三角 形重要线形重要线 段的性质段的性质 底角的两条底角的两条角平分线角平分线相等相等 两条腰上两条腰上的的高高相等相等 两条腰上的两条腰上的中线中线相等相等 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
