1、北师大版北师大版 八年级八年级 数学数学 下下册册 2-4 5-10 与与相相等等吗吗？ 分数的分数的 基本性质基本性质 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于 零的数，分数的值不变零的数，分数的值不变. 2.这些分数相等的依据是什么？这些分数相等的依据是什么？ 1.把把3个苹果平均分给个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？个同学，每个同学得到几个苹果？ 3 6 导入新知导入新知 1. 理解理解并掌握分式的并掌握分式的基本性质基本性质. . 2. 会会运用分式的基本性质进行分式的运用分式的基本性质进行分式的约分约分. . 素养目标素养目
2、标 思考思考：下列两式成立吗？为什么？下列两式成立吗？为什么？ 33 0 44 （） c c c 55 0 66 （） c c c 探究新知探究新知 知识点 1 分式的基本性质分式的基本性质 分数分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于 0的数，分数的值不变的数，分数的值不变. 原因：原因：分数分数的基本的基本性质性质 即对于任意一个分数即对于任意一个分数 有：有： a b 0 aacaac =c bbcbbc 探究新知探究新知 想一想：想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什类比分数的基本性质，你能猜想分式有什 么性质吗？么性质吗？ 思考：思考
3、：你认为分式你认为分式 与与 ；分式；分式 与与 相等吗？相等吗？ （a，m，n均不为均不为0） 探究新知探究新知 2 a a 1 2 n m 2 n m n 分式的基本性质分式的基本性质： 分式分式的分子与的分子与分母都乘（或除以）分母都乘（或除以）同一个不等于零同一个不等于零 的的整式，分式的值整式，分式的值不变不变. 上述性质可以用上述性质可以用式式子子表示表示为：为： 0 AACAAC C BBCBBC（ ）, ,. . 其中其中A,B,C是整式是整式. 结论结论 探究新知探究新知 想一想想一想: 运用分式的基本性质应注意什么运用分式的基本性质应注意什么? ( (1) )“都都” (
4、(2) ) “同一个同一个” ( (3) ) “不为不为0” 想一想想一想 3 5 3 5 x y x y （1）与与有什么关系？那么有什么关系？那么与与有什么关系？有什么关系？ 3 5 3 5 3 5 （2）， 与与有什么关系？有什么关系？ x y x y x y 那么那么，与与有什么关系？有什么关系？ 分式分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个两个 符符号号，分式的分式的值不变值不变；若只改变其中的；若只改变其中的一个或三一个或三个全个全变号变号，则，则 分式的分式的值变成值变成原分式值的原分式值的相反数相反数 结论结论 探究新知探究新知
5、不改变分式的值，使下列分子与分母都不含不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“”号号 ( (1) ) ( (2) ) ( (3) ) 3 7 a b 10 3 m n 解：解：（1）原式）原式=（2）原式）原式= （3）原式）原式= 2 . 5 x y 3 . 7 a b 10 . 3 m n 2 5 x y 做做一一做做 探究新知探究新知 下列下列等式的右边是怎样从左边得到的？等式的右边是怎样从左边得到的？ 解：解：（1）因为）因为y0，所以所以 222 bbyby xxyxy ； （2）因为因为x0，所以所以 axaxxa bxbxxb . (0) 22 byb y xxy axa bxb
6、 （1） ； （2） . 例1 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1分式的基本性质分式的基本性质 方法方法总结总结 应用应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意分式的基本性质的两个步骤及三点注意 ( (1) )两个步骤两个步骤:观察分析观察分析:对式子进行观察、分析对式子进行观察、分析,比较比较变形变形 前后分式的分子或分母发生了怎样的变化前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同找到同乘乘(或除以或除以) 的的_; 应用应用性质性质:根据分析的结果根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形应用分式的基本性质进行变形. 整式整式 探究新知探究新知 ( (2) )三点注意三点注意:注意分式变形
7、前后的值要注意分式变形前后的值要_; 注意分式的分子和分母要同乘或同除以注意分式的分子和分母要同乘或同除以,不能只对分不能只对分 子或只对分母进行变形子或只对分母进行变形; 所乘所乘(或除以或除以)的整式不能为的整式不能为_. 相等相等 零零 填空填空：2() ()() x xyxyxy 2x（x+y） 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 22 44( )2 ( )66( ) xyxy x yx y 2xy 2xy3x 2 21 4 ( ) y y y-2 3 1 = ( ) - yx xy(x-y)2 例例2 如果如果把把分式分式 中中的的x和和y都扩大为原来的都扩大为原来的5倍倍,那么分那
8、么分 式的式的值值( ( ) ) A.扩大为原来的扩大为原来的5倍倍 B.扩大为原来的扩大为原来的10倍倍 C.不变不变 D.缩小为原来缩小为原来的的 2 32 x xy A 1 5 探究新知探究新知 下列下列变形正确的是（变形正确的是（ ） AB CD 2 2 xx yy 3 3 aa bb (2) (2) x xx yyy 2 2 (0) aa b a bab D 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 想一想想一想： 联想分数的约分联想分数的约分，你，你能想出如何对分式进行约分？能想出如何对分式进行约分？ yx x xyx 2 2 22 2 xxx x x yx xx xxyx 2 2 )(
9、 2 1 )2( 2 xxxx xx （ ） （ ） 与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简最简 公分母公分母. 探究新知探究新知 知识点 2 分式的约分分式的约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称 为分式的为分式的约分约分 约分的定义约分的定义结论结论 探究新知探究新知 在在化简分式化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧：时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖小颖： 小小明：明： 2 5 2 0 x y xy 22 55 2 02 0 x yx xyx 2 551 2045
10、4 xyxy x yxxyx 你对他们俩的解法有何看法？说说看！你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要一般约分要彻底彻底, 使分子、分母没有公因式使分子、分母没有公因式. 议一议：议一议： 结论结论 探究新知探究新知 判断判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断， 就是看分子、分母有没有就是看分子、分母有没有公因式公因式.分子或分母是分子或分母是多项式多项式时，时， 要先把分子、分母要先把分子、分母因式分解因式分解. 最简分式的定义最简分式的定义 分子和分母都分子和分母都没有公因式没有公因式的分式叫做最简分式的分式叫做最简分式. 结
11、论结论 注意：注意： 探究新知探究新知 约分的基本步骤约分的基本步骤 （1）若分子若分子分母都是分母都是单项式单项式，则，则约去约去系数的最大公约数系数的最大公约数， 并约去相同字母的并约去相同字母的最低次幂最低次幂； （2）若分子若分子分母含有分母含有多项式多项式，则先将多项式，则先将多项式分解因式分解因式， 然后约去分子然后约去分子分母所有的分母所有的公因式公因式 探究新知探究新知 注意事项：注意事项： （1）约分前后分式的值要）约分前后分式的值要相等相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也
12、就是分子的整体）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体 和分母的整体都除以和分母的整体都除以同一个因式同一个因式. 化简分式时，通常要使结果成为化简分式时，通常要使结果成为最简分式最简分式或或整式整式. 探究新知探究新知 ( )； 2 1 a bc ab 解解： 2 1( )； a bcabac ac abab 2 2 1 2 21 () x xx 2 22 1111 2 1211 （） ( () （） ) ) . . xxxx xxxx 分式的化简分式的化简素养考点素养考点 1 探究新知探究新知 例1 化简下列分式化简下列分式: 方法方法总结总结 关于关于约分的三点约分的三点说明：
13、说明： (1)根据根据:分式的基本性质分式的基本性质. (2)关键关键:确定分式分子与分母的确定分式分子与分母的公因式公因式. 确定确定公因式的公因式的步骤步骤: 确定确定系数系数,取分子与分母系数的取分子与分母系数的最大公约数最大公约数; 确定确定字母字母(因式因式),取分子与分母中取分子与分母中都含有的字母都含有的字母(因式因式); 确定字母确定字母(因式因式)的的次数次数,都含有的字母都含有的字母(因式因式)的指数取的指数取 次数最低次数最低的的. (3)结果结果:最简分式最简分式或或整式整式. 探究新知探究新知 23 2 25 1 15 ( )； a bc ab c 约分约分: 分析：
14、分析：为约分要先找出分子和分母的为约分要先找出分子和分母的公因式公因式. 解解： 2322 2 25555 1 53315 ( )； a bcabcacac abcbbab c (公因式是公因式是5abc) 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 2 2 9 2 69 () x xx 解解： 2 22 9333 2 3693 （） （ （ ） （） ) ) . . xxxx xxxx 分析：分析：约分时约分时,分子或分母若是分子或分母若是多项式多项式,能分解则能分解则必须先必须先 进行因式分解进行因式分解.再再找出分子和分母的公因式进行约分找出分子和分母的公因式进行约分. 巩固练习巩固练习 例例2
15、 下列下列分式中分式中,最简分式是最简分式是( ( ) ) 2 22 2 2 11 A. B. 11 36 C. D. 212 xx xx yxx xxy B 最简分式最简分式素养考点素养考点 2 探究新知探究新知 方法方法总结总结 最简分式最简分式的标准是分子、分母中不含有公的标准是分子、分母中不含有公 因式因式,不能再约分不能再约分. 判断判断的方法是把分子、分母的方法是把分子、分母分解因式分解因式,并且并且 观察有无观察有无互为相反数互为相反数的因式的因式,这样的因式可以通这样的因式可以通 过符号变化化为相同的因式从而进行约分过符号变化化为相同的因式从而进行约分. 探究新知探究新知 将将
16、分式分式 化为化为最简分式最简分式,所得结果所得结果是是_. 2 2 21 1 xx x 1 1 x x 巩固练习巩固练习 变式训练变式训练 连接中考连接中考 （2020湖州）化简：湖州）化简： . 2 1 21 x xx 1 1x 1.下列约分正确的是下列约分正确的是 ( ( ) ) A.1 B.1 3322 93 C. D. 6321 mmxyy mx x abbbx aay bay C 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 3.分式分式 可变形为可变形为( ( ) ) 1 3 x D 11 A. B. 33 11 C. D. 33 xx xx 课堂检测课堂检测 基 础
17、巩 固 题基 础 巩 固 题 2.已知已知 =_. 3 , 2 则 xxy yxy 1 5 4小明在化简分式小明在化简分式 4 3 3 1 5 5 xy x 时是这样做的：时是这样做的： 原式原式 4 33 3 1 55 5 xy x （第一步）（第一步） 94 25 y x （第二步）（第二步）. 他的解法对吗？如果正确，请说明每一步的依据；他的解法对吗？如果正确，请说明每一步的依据； 如果不正确，错在哪一步？请说明原因如果不正确，错在哪一步？请说明原因. 答：答：解法解法不对不对 错在第一步错在第一步 分子与分母所乘的不是分子与分母所乘的不是同一个同一个不为零的整式不为零的整式. 课堂检测
18、课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 5.不不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数 都化为整数都化为整数. （1） （2） 解解： 5 (0.6)30 3 2 (0.7)30 5 ab ab (0.015)100 (0.30.04)100 x x 课堂检测课堂检测 （1） （2） 0.015 0.30.04 x x 5 0.6 3 2 0.7 5 ab ab 500 304 x x 1850 2112 ab ab 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.已知已知: 求求代数式代数式 的的值值. 0 234 ， xyz 2 xy
19、z xyz 解解: :设设t= 0,则则 x=2ty=3tz=4t 将代入代数式将代入代数式 得得 所以所以,代数式代数式 的的值是值是 . 234 xyz 2 , xyz xyz 222341 2343 ， xyzttt xyzttt 2 xyz xyz 1 3 课堂检测课堂检测 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 2.已知已知y=3xy+x,求代数式求代数式 的的值值. 232 2 xxyy xxyy 解解:因为因为y=3xy+x,所以所以x-y=-3xy. 当当x-y=-3xy时时, 232 2 xxyy xxyy 课堂检测课堂检测 23 2 xyxy xyxy . 3 5 233 3
20、2 xyxy xyxy 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 已知已知x2-4xy+4y2=0,那么分式那么分式 的的值等于多少值等于多少? xy xy 解解:x2-4xy+4y2=0,(x-2y)2=0,x=2y, 故故分式分式 的值等于的值等于 -2-1 =. +2+3 xyyy xyyy xy xy 1 . 3 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 分 式 的分 式 的 基本性质基本性质 内容内容 作用作用 分式进行约分分式进行约分 的的依据依据 注意注意 ( (1) )分子分母分子分母同时同时进行；进行； ( (2) )分子分母只能分子分母只能同乘或同除同乘或同除，不能进，不能进 行同加或同减；行同加或同减； ( (3) )分子分母只能同乘或同除分子分母只能同乘或同除同一个整同一个整 式式； ( (4) )除式是除式是不等于零不等于零的整式的整式 进行分式运算进行分式运算 的的基础基础 0 bbmbbm m aamaam（ ）, ,. . 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
