1、13.3 等腰三角形 第十三章 轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 情境引入情境引入 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（符号语 言：ABC中，AB=AC) 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底 边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰腰腰腰 底边底边 顶角顶角 底角底角底角底角 A A B B C C AB=ACAB=AC 等腰三角形等腰三角形 小组内展示结果 操作得到的都是 等腰三角形 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折， 并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直 角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 探究 操作 观察、思
2、考：ABC 是轴对称图形吗？它 的对称轴是什么？找出其中能重合的线段和角. 折痕所在的直线是它的对称轴. A C D B 等腰三角形是轴对称图形. 重合的线段重合的角 AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C. BAD 与与CAD ADB 与与ADC 猜一猜：猜一猜： 一个等腰三角形除了两腰相等这 个性质外,还有其他的性质吗？组内交流，推选 代表汇报. 探究 发现 A B C 已知：已知：ABC中，AB=AC, 求证：求证：B=C. 思考：如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等 如何证明两个 角相等呢？ 可以运用全等三 角形的性质“对 应角相等”来证 D 探究
3、转化 2. 作BC边上的 高AD幻灯片 9 1. 作BC边上的中 线AD幻灯片 8 3. 作顶角的平分 线 AD幻灯片 10 常用辅助线幻 灯片 11 探究 证明 A B C 则有 BDCD D 在ABD和ACD中 证明: 过点A作中线AD,交BC于D ABAC BDCD ADAD （公共边） ABD ACD （SSS） BC （全等三角形对应角相等幻灯片7） A B C 则ADBADC 90 D 在RtABD和RtACD中 证明: 过点A作ADBC于D ABAC ADAD （公共边） RtABDRtACD （HL） BC （全等三角形对应角相等幻灯片7） A B C 则有12 D 1 2 在
4、ABD和ACD中 证明：过点A作BAC的平分线AD， 交BC于D ABAC 12 ADAD （公共边） ABD ACD （SAS） BC （全等三角形对应角相等幻灯片11） D 如图，作底 边BC的中线AD D 如图， 作底 边BC上的高AD D 如图，作顶角 BAC的平分线AD A BC A BC A BC 等腰三角形常用辅助线 观察、思考：观察、思考：等腰三角形这三种辅助线，是在同一 位置吗？（提示折纸操作） 探究 提升 等腰三角形里会不会 “三线合一三线合一” ？ 解：BAD CAD， BD=CD,ADB=ADC， BAD=CAD. 又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90
5、， ADBC A BC D 即即ADAD是等腰是等腰ABCABC底边底边BCBC 上的中线、顶角上的中线、顶角BACBAC的的 角平分线、底边角平分线、底边BCBC上的上的 高线高线 . . 观察观察 发现发现 证明证明, ,确认了确认了“三线合一三线合一”.”. 画出任意一个等腰三角 形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高，看看它们是否重 合？ 探究 对比 “三线合一”的操作 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A CB 符号语言：如图符号语言：如图, ,在在ABCABC中中, , ABAB= =ACAC( (已知已知),), B B=C C( (等边对等角等边对等角
6、).). 注意：这两条性质,以后可以直接运用. 知识生成 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上 的高线互相重合(三线合一）. 符号语言：在符号语言：在ABCABC中中 （1 1）AB=ACAB=AC，ADBCADBC， BADBAD=CADCAD，BDBD= =CDCD； （2 2）AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD， BADBAD=CADCAD，ADADBCBC； （3 3）AB=ACAB=AC，BADBAD=CADCAD， ADADBCBC，BDBD= =CDCD. . A BC D 例1.如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求 ABC
7、各角的度数. 新知运用 （2）找出图中所有相等的角； 分析：（1）指出图中有几个等腰三角形？ A=ABD,C=ABC=BDC； ABD,ABC,BCD. （3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C 呢？ BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD, ABC= BDC=2 A, C= BDC=2 A. （4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来. A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 , A BC D x 2x 2x 2x A BC D 解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而AB
8、C= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解得x=36 ，在ABC中， A=36， ABC=C=72. x 2x 2x 2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方 程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 仿练1：如图，在ABC中，AB=AD=DC， BAD=26，则B= C= . 7738.5 （1） 性质性质 1 等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等等边对等 角角） 性质性质 2 等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线底边上的中线、底底 边上的高边上的高互相重合 （简写成“三线合一三线合一”） 课堂小结 在本节课你
9、学到了哪些知识？ 折、剪纸（折、剪纸（实践操作实践操作） 观察观察、交流、交流 发现发现经验性结经验性结 论（论（猜想猜想） 转化转化 （转化转化为数学问题为数学问题） 证明证明 运用运用 （2）等腰三角形是轴对称图形等腰三角形是轴对称图形 （3）等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定 可综合运用可综合运用 探索发现新知的一般方法：探索发现新知的一般方法： 课后作业 一、必做题 1. 等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（） A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 2. 如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小 为（） A40 B30 C70 D50 3. (1)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为_； (2)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_. 4. 在ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50， 则底 角的大小为_ 5. 已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，ODAB于D， OEAC于E求证：AD=AE 二、选做题 6.（ 一题多解 ）已知：如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE. 求证：BDCE； 第2题 第5题 第6题
