1、第一模块 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合与集合的运算 回归课本 1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性；(2)互异性； (3)无序性 2元素与集合的关系有属于和不属于两种 3集合与集合之间有三种关系： (1)子集(包含与被包含)定义：AB如果任意xA，那么 xB； (2)真子集定义：ABAB，且B中至少有一元素xA(规 定：空集是任何一个非空集合的真子集)； (3)相等：ABAB且BA. 4集合的运算涉及交、并、补集 (1)交集定义：ABx|xA，且xB； (2)并集定义：ABx|xA，或xB； (3)补集定义：设U为全集，AU，由U中不属于A的所有元 素组成的集合称为集合A相对于全
2、集U的补集，记UA， 即UAx|xU，且xA； (4)基本性质：AAA；AAA；ABBA； ABBA；(AB)CA(BC)；(AB)C A(BC)；A；AA； U(UA)A； U(AB)(UA)(UB)； U(AB)(UA)(UB) 考点陪练 1.下列三个命题中，正确的个数为( ) R实数集，R全体实数集； 方程(x1)2(x2)0的解集为1,2,1； 方程(x3)2y1|z2|0的解集为3,1,2 A1个 C3个 B2个 D0个 解析：R实数集中“集”是多余的，R全体实数集 中“全体”和“集”都是多余的；中解集不符合集合中 元素的互异性；中集合的形式错了，应写成(3,1,2)， 因为方程中只
3、有一个解，而不是三个解 答案：D 2.集合M=(x,y)|x+y=4,xN,yN的非空真子集的个数是( ) A.6B.8 D.32C.30 解析:集合M=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),集合M的非空真子 集个数为2 5-2=30个,故应选C. 答案:C 3.集合P=(x,y)|y=k,Q=(x,y)|y=a x+1,a0,a1. 已知 PQ只有一个子集,那么实数k的取值范围是( ) A.(-,1)B.(-,1 C.(1,+)D.(-,+) 解析:由数形结合可知选B. 答案:B 4.已知集合A=y|y=2x,xR,B=y|y=x2,xR,则 ( ) A.AB=2,4B
4、.AB=4,16 C.A=BD.A B 解析:A,B分别表示函数y=2x与y=x2的值域. 答案:D 5.(2010浙江)设P=x|x4,Q=x|x 24,则( ) A.P QB.Q P C.P 痧D.Q P RR 解析:集合Q x| 2 x 2 ,所以Q P. 答案:B 类型一元素与集合的关系 解题准备:集合中的元素具有确定性 互异性和无序性.特别是 用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可少的步骤 . 【典例1】当正整数集合A满足:“若xA,则10-xA”. (1)试写出只有一个元素的集合A; (2)试写出只有两个元素的集合A; (3)这样的集合A至多有多少个元素? 解 (1)因为若1A
5、,则10-1=9A;反过来,若9A,则10- 9=1A.所以1和9要么都在A中,要么都不在A中,即它们是 成对出现在A中的,同理2和8,3和7,4和6也成对出现在A中, 所以A=5. (2)A=1,9,或A=2,8,或A=3,7,或A=4,6. (3)A中至多有9个元素,即A=1,9,2,8,3,7,4,6,5. 类型二集合与集合之间的关系 解题准备:1.集合间的基本关系包括两集合相等 子集 真子集 等. 2.此类问题的求解离不开基本的运算 变形,以达到化简集合 便于运算的目的,较好地体现了高考对运算求解能力的考 查. 【典例2】 设集合A=x|x=a2+2a+4,B=y|y=b2-4b+7.
6、 (1)若aR,bR,试确定集合A与B的关系; (2)若aN,bR,试确定集合A与B的关系. 解 (1)若aR,bR. 则x=(a+1)2+33,y=(b-2)2+33, 此时集合A B都是大于或等于3的实数的集合, A=B. (2)若aN、bR,则对于任意的x A, 0 有x =(a +1)2+3, 00 其中a N. 0 令b =a +3,则b N, 000 且(a +1)2+3=(b -2)2+3B. 00 而当b =2时,y =3A,从而可知AB. 00 反思感悟 (1)判断两个集合之间的子集 真子集关系可以比 照两实数间的关系: ABAB,且AB,类比于abab,且ab; ABA B
7、,或A=B,类比于abab,或a=b; A=BAB,且BA,类比于a=bab,且ab.也可以用韦 恩图直观地表示上述各种关系. 的区别与联系: (2)注意集合与空集 , 类型三集合的基本运算 解题准备:集合的基本运算性质: A B A B A; A B A A B;痧(A B) ( A)( B); UUU 痧(A B) ( A)( B).这些性质能简化集合的运算, UUU 应熟练掌握. 【典例3】 设全集是实数集R,A=x|2x2-7x+30,B=x|x2+a0. (1)当a=-4时,求AB和AB; (2)若( AB=B,求实数a的取值范围. R 解 (1)A=x|x3, 当a=-4时,B=x
8、|-2x2, AB=x|x2,AB=x|-2x3. 1 2 由 1 知 A x | x ,或x 3. R 2 当(痧A) B B时,B A,即A B . RR 当B ,即a 0时,满足B A; R 当B ,即a 0时,B x | a x a , 11 要使B A,需 a ,解得 a 0. R 24 1 综上可得,实数a的取值范围是a . 4 反思感悟 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要 求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论 数形结合思 想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系 ,在解题中漏掉它极易导致错解. 类型四集合概念与性质架构下的创新问题 解题准备:“信息迁移”问
9、题最明显的特征就是题目中有一些 新信息如定义新概念 新运算等,但是这些所谓“新信息” 肯定是在我们已经掌握的知识的基础上进行设计的,所以 不要有畏惧心理,通过耐心细致分析,就会慢慢发现它其实 就是“老问题”! 【典例4】 (2010福建厦门质检)如图所示的韦恩图中,A B 是非空集合,定义A*B表示阴影部分的集合.若x,yR, A x y | 2 B y y 3x x 0 则A B等于 2x x , | , , * A.x|0 x2 B.x|12 2x x , , y 2 0 2解 B y | y 3x,x 0 (1,), 由韦恩图可知A*B (A B), U 其中U A B,又A B 0,)
10、,A B 1,2 , A*B 0,1(2,). 答案 D 反思感悟 有些集合问题是通过定义一个新概念或约定一种 新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境,它要求我 们要在阅读理解的基础上,依据题中提供的信息,联系所学 的知识和方法,实现信息的迁移,从而顺利地解决问题. 类型五集合的应用 解题准备:集合问题多与函数 曲线方程 不等式有关,要善于 灵活运用集合的相关知识,解决问题并注意以下几点:重 视对参数的讨论,特别注意检验集合元素是否满足“三 性”,并提防“空集”这一隐形陷阱.善于运用Venn图和 数轴直观形象解决问题,Venn图适用于有限集,数轴适用于 实数集,要特别注意边界的取舍. x 3
11、 x 1 【典例5】 设函数f(x)= 2 的定义域为 A,g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B. (1)求集合A; (2)若BA,求实数a的取值范围. x 3 解 1 由2 0,得 0, x 1 x 1 x 1 x 1或x1,故A ,1 1, . 2 由 x a 1 2a x 0,得 x a 1 x 2a 0. a 1 2a ,B 2a, a 1 . 2a1,或a 11, 11 即a ,或a 2,而a 1, a 1,或a 2. 22 1 故a的取值范围是(,2 ,1 . 2 反思感悟 用“数形结合思想”解题时,要特别注意“端点” 的取舍问题. 错源一忽视元素的互异性
12、【典例1】 设集合A=0,a,集合B=a2,-a3,a2-1且AB,则a的值是 ( ) A.1B.-1 D.2C.1 错解 由A=0,a及集合元素的互异性可知a0,所以a20,-a30,又 A B得a2-1=0,即a=1.故选A. 剖析 解出a=1后,忽视了检验这两个值是否都满足元素 的互异性. 正解 由A=0,a及集合元素的互异性可知a0, 所以a20,-a30,又A B,所以a2-1=0, 解得a=1. 当a=-1时,a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾,舍去. 当a=1时,A=0,1,B=1,-1,0,满足AB. 综上a=1,故应选C. 答案 C 错源二忽视空集 【典例2】 设A=x
13、|2x6,B=x|2axa+3,若BA,则实数a 的取值范围是( ) A.1,3B.(3,+) D.(1,3)C.1,+) 2a 2 错解 , a 36 解得1a3,故选A. 剖析 空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产 生错误结论.对于形如x|axb一类的集合,当ab时,它表示 空集,解题中要引起注意. 2a a 3 正解当B 时,则有2a2 , a 36 解之得1a3,当B 时,2a a 3,解之得a 3. 综合得a1. 故应选C. 答案 C 技法 利用补集思想解题 【典例】 (2011郑州模拟)已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0, B=x|x0,若AB,求实数m的取值范围. 2 解设全集U m | 4m 4 2m 6 0 3 2 m | m 1, m 或 2 若方程x 4mx 2m 6 0的两根x ,x 均为非负根,则 12 mU, x x 4m0, 12 x x 2m 60, 1 2 3 得m , 2 3 2 关于U的补集为 m | m1 , 实数m的取值范围为 m | m1 . 解题提示 本题运用的是“正难则反”的解题策略,正是运 用了“补集思想”.
