1、第七讲函数的奇偶性与周期性 回归课本 1.函数的奇偶性 (1)函数的奇偶性的定义 奇偶性 定义图象特点 偶函数 如果函数f(x)的定义域 关于y轴对称 内任意一个x都有f(- x)=f(x),那么函数f(x)是 偶函数. 奇函数 如果函数f(x)的定义域 关于原点对 内任意一个x都有f(-x)=- 称 f(x),那么函数f(x)是奇函 数. (2)对函数奇偶性的理解 函数奇偶性的判断 a.首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则 函数既不是奇函数,也不是偶函数. b.若函数的定义域关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.若f(- x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)
2、=f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;若f(- x)f(x)且f(-x)-f(x),则f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 在公共定义域内 a.两奇函数的积与商(分母不为零时)为偶函数,两奇函数的和 是奇函数. b.两偶函数的和 积与商(分母不为零)为偶函数. 奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单 调性相反. 2.函数的周期性 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫做周期函 数,非零常数T叫f(x)的周期.如果所有的周期
3、中存在一个最 小的正数,那么这个最小正数就叫f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若T0是f(x)的周期,则 kT(kZ)(k0)也一定是f(x)的周期,周期函数的定义域无上 下界. 考点陪练 上的偶函数 那么 a 1, 2a a b 2 是定义在 ,1.已知f x ax bx 的值是（） 1B. 1 A. 33 C. 1 D. 1 22 答案:B 2.(2010新课标全国)设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则 x|f(x-2)0=() A.x|x4 C.x|x6 B.x|x4 D.x|x2 解析:已知函数f(x)是偶函数,所以当x0时,解析式为f(x)=2-
4、x- 4(x0),所以当x-20,解得 x0,解得 x4,综上x|f(x-2)0=x|x4,故选B. 答案:B 3.(2010山东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时 ,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=() A.-3 C.1 B.-1 D.3 解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有 f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1, 所以f(-1)=-f(1)=-(21+21-1)=-3,故选A. 答案:A 4.(2010广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均 为R,则() A.f(x)与g(x)
5、均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x=- (3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数. 答案:B 2x 3, (x 0) 5.如果函数g x f (x),(x 0) 是奇函数,则f x _ . 答案:2x+3 类型一函数奇偶性的判断 解题准备:判断函数奇偶性的一般方法 (1)首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的.否则,既 不是奇函数也不是偶函数. (2)若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断: 定
6、义判断:f(-x)=f(x)f(x)为偶函数, f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数. 等价形式判断:f(-x)-f(x)=0f(x)为偶函数. f(-x)+f(x)=0f(x)为奇函数. f (x) f (x) f (x) 或等价于:1,则f(x)为偶函数; 1, f (x) 则f(x)为奇函数. (3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行. 【典例1】判断下列函数的奇偶性,并说明理由. 2 1 f x x x 1x 1, 4 ; 1 x x 1,1 ; 2 f x x 1 1 x 1 1 a 0, a 1 ; 3 f x x a 1 2 x(1 x) (x 0) x(1 x) (x 0)
7、 4 f x . 分析判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点 对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理 判断. 解 1 由于f x x x 1,x 1,4 的定义域不是关于 2 原点对称的区间,因此,f x 是非奇非偶函数. 1 x 2x 1,已知f x 的定义域为1 x 1, 1 x 1 x 1 x 其定义域关于原点对称.又f x x 1 1 x 1 x (1 x) 2 (1 x) (x 1) 1 x 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x) 1 x 1 x 1 x 1 x (1 x) (x 1) f (x), 1 x 即f x f x ,f x 是偶函数. 3的
8、定义域为x R,且x 0,其定 1 1 义域关于原点对称,并且有f (x) x a 1 2 x x 1 1 a 1 (1 a ) 1 1 1 xx 2 1 a 2 1 a 2 1 a x 1 1 1 1 1 f (x), xx 1 a 2 a 1 2 即f x f x ,f x 为奇函数. x(1 x)(x 0) (x 0) 4 x(1 x) 的定义域关于原点对称, 当x0时,-x0). 当x0, f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x) =-f(x)(x0, 2 1 1-x 0,1+x 0, 21 (1-x )(1+x )=1+x -x -x x 0. 211 2 1 2 1 x x
9、 x x 1, 121 2 1 x x x x 121 2 得f x f x 0,即f x 在 0,1 上单调递减. 12 由于f x 为奇函数,所以f x 在 1, 0 上也是减函数. 类型三函数的周期性 解题准备:三个结论:若a b是非零常数,且ab,则有 结 论1: (逆推式与周期关系结论) 1 若f x a f x a ,则T 2 a ; 1 2 若f x a ,则T 2 a ; f (x) 3 若f x a f x ,则T 2 a ; 1 f (x) 1 f (x) 4 若f x a ,则T 4 a . 结论2:(对称性与周期关系结论) (1)f(x)关于x=a及x=b对称,则T=2
10、|b-a|; (2)f(x)关于x=b及M(a,0)对称,则T=4|b-a|; (3)f(x)关于M(a,0)和N(b,0)对称,则T=2|b-a|. 结论3:(奇偶性与周期关系结论) (1)f(x)是偶函数且关于直线x=a对称,则T=2|a|; (2)f(x)是奇函数且关于直线x=a对称,则T=4|a|. (上述结论中的T为函数的周期,但不一定是最小正周期). 【典例3】已知定义在R上的函数f x 满足f 2 2 3, 1 ,则f 2009 _ . 且对任意的x都有f x 3 f (x) 1 解析由题意可得f x 6 f x 3 3 f (x 3) 1 f (x).函数的周期为6. 1 f
11、(x) f 2009 f (33465) f 5 ,而f 5 f 3 2 11 (2 3). f (2) 2 3 故填(2 3 ). 答案(2 3) 1 反思感悟根据f x 3 ,可得到f x 为 f (x) 周期为6的函数. 类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题 解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解 决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移 问题.函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性 质可解决与函数相关的方程 不等式等综合问题. 【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都 有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在-1,1上
12、只有一个根,则方 程f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左 到右数起). 解由f(x+2)=-f1-(x+1)=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周 期为2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由xR,f(x)是 奇函数,且f(x)=0在-1,1上只有一个根,知f(0)=0,方程 f(x)=0的第2000个根是4000,f(x+1)=0的第2000个根是 3999. 错源一忽略定义域出错 4 3 x x 【典例1】判断f x 的奇偶性. 1 x 4 3 3 x x x (1 x) 错解 因为 f x 3 x , 1 x1 x 显然f x f x
13、,故f x 为奇函数. 剖析判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关 于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性;否则,函数一定 不具有奇偶性.其次,要看f(x)与f(-x)之间的关系. 正解函数的定义域为x|x1,定义域不关于原点对称,因此该 函数为非奇非偶函数. 错源二忽视对参数的讨论 【典例2】判断函数f(x)=x2+|x-a|+1(aR)的奇偶性. 错解显然函数定义域为R. 因为f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, 所以f(-a)f(a),且f(-a)-f(a), 所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 剖析此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到a=0这种 特
14、殊情形,以致解题出错. 正解当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x), 此时f(x)为偶函数; 当a0时, f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(-a)f(a),f(-a)-f(a), 此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 技法一快速解题(数形结合法) 【典例1】已知定义在R上的函数f(x)不恒为零,且满足 f(x+3)=-f(3-x) f(x+4)=f(4-x),则f(x)是() A.奇函数也是周期函数 B.偶函数也是周期函数 C.奇函数但非周期函数 D.偶函数但非周期函数 快解由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意
15、的图象即可选对答案.函数f(x)以点(3,0)为对称中心,以直 线x=4为对称轴,如下图所示,点(2k-1,0)都是对称中心,直线 x=2k都是对称轴,这里的kZ,故选B. 另解切入点因为f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函数 f(x)以点(3,0)为对称中心,以直线x=4为对称轴. 分析思维过程要利用两个条件式,推证出f(x)是奇函数或偶 函数,需找到两式的联系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出现, 如此推演,有望得到结果. 解析f(x+3)=-f(3-x) f(x+4)=f(4-x) f(x+4)=f(x+1)+3=-f-(x+1)+3=-f(
16、2-x)=-f4-(x+2) =-f4+(x+2)=-f3+(x+3)=f3-(x+3)=f(-x). 则f(4-x)=f(-x)+4=f(x). f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x). 故函数f(x)是偶函数,也是周期函数,选B. 答案B 方法与技巧解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多, 不易掌握.而数形结合法简单 直观,好掌握,易理解,对于解 选择题非常适宜. 得分主要步骤运用好已知的两个条件式是很重要的.首先由 式入手,使之出现式的形式,再由到,每步都需认真 思考,是否满足条件,是否可以得到需要的结果. 易丢分原因各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错.如由 f(x+4)
17、得到f(-x),故f(4-x)=f(-x)+4=f(x). 技法二探寻判断奇偶性的途径 2 1 x x 1 【典例2】已知函数f x . 2 1 x x 1 判断函数f x 的奇偶性. 解解法一:对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行 判断外,还可以考虑用f(-x)=f(x)变形式:f(-x)f(x)=0进 行判断,应注意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先 探求是用f(-x)+f(x)=0还是用f(-x)-f(x)=0来进行判断. 2 1 x x 1 函数f x 的定义域为R,不妨令x 1, 2 1 x x 1 1111 1111 则f 1 f 1 1111 1111 2 ( 2) 4
18、 2 2 2 2 0, 22 2 2( 2 2) 所以f x f x 1 ( x) x 1 1 x x 1 2 2 2 2 1 ( x) x 1 1 x x 1 2 2 2 2 2 2 ( 1 x ) (x 1) ( 1 x ) (x 1) ( 1 x 1) x 2 2 2 2x 2x 0. 2 2( 1 x 1) 所以f x f x 0, 即f x f x ,f x 在R上为奇函数. 方法与技巧本题是用验证法判断函数的奇偶性.关系式f(- x)f(x)=0实质是函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)的一个变 形式,使用这个变形式进行判断时,降低了对函数奇偶性判 断的难度,将问题转化为代数式的化
19、简过程,它比用定义法 判断更简洁. 解法二:对于比较复杂的解析式,在判断f x 与f x f (x) f (x) 的关系时,可考虑作商比较法,即判断 与1的关系. 2 1 x x 1 f (x) f (x) 1 x x 1 2 当x 0时,有 2 1 ( x) x 1 1 ( x) x 1 2 2 ( 1 x x 1) ( 1 x x 1) 2 2 2 ( 1 x x 1)( 1 x x 1) 2x 2x 1,f x f x . 当x 0时,有f 0 0 f 0 , f x 在R上为奇函数. 方法与技巧在用作商比较法进行判断时,容易出现以下错误 :忽略对x=0这一情况的判断;按x0与x=0进行了讨论, 当x=0时有f(-0)=0=-f(0)=f(0),就认为函数f(x)既是奇函数又 是偶函数,事实上函数的奇偶性是函数的整体性质,因此不 能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性.
