1、第七模块 不等式 推理与证明 (必修5：第三章 不等式；选修12： 第二章 推理与证明) 第三十一讲 不等关系与不等式 名师指导练基础 回归课本 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用 数学符号 0ab;a-b=0a=b;a-b0a0,则有 a b aa 1ab; =1a=b; 1ab,那么ba;如果bb. 性质2:传递性 如果ab,且bc,那么ac. 也可等价表示为: 如果cb,且ba,那么cb,那么a+cb+c. 推论1:移项法则 如果a+bc,那么ac-b. 推论2:同向可加性 如果ab,且cd,那么a+cb+d. 性质4:乘法法则 如果ab,且c0,那
2、么acbc; 如果ab,且c0,那么acb0,且cd0,那么acbd. 推论2:乘方法则 如果ab0,那么anbn(nN*,且n1). 推论3:开方法则 如果ab0,那么(nN*,且n1). b n a n 注意:运用上述性质解决问题时,必须注意性质成立的条件. 如:同向不等式相乘时,注意ab0,cd0. 考点陪练 1.已知ab,则可以推出( ) 1 1 A.B.ac2bc2 a b a b C.D.(ac)2(bc)2 22 c c 答案:B 2.“a2且b2”是“a+b4,且ab4”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 答案:A D.既不充分也不必要条件 3.若x
3、+y0,a0,则x-y的值为( ) A.大于0 C.小于0 答案:A B.等于0 D.符号不能确定 4.已知a,b,c满足cba,且acac C.cb2ab2 答案:A B.c(b-a)0 1 5.设a 0, b 0,已知m b,a 且m 0,则 的取值范围是( ) m 1 1 b a 1 1 a b A. ,B. , 1 b 1 a 1 1 b a C. , 0)D. , 解析:因 为0的倒数无意义,因此我们先将区间 b, a 分成两 1 1 b a 部分: b, 0 , 0, a 分别求倒数可得 , , , ,故选D. 答案:D 名师讲解练思维 类型一用不等式表示不等关系 解题准备:1.我
4、们用数学符号“”、“”、“”、 “”、“”连接两个数或代数式,以表示它们之间的 不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.ab的含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不 小于b”. 【典例1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计 划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元 90 万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆 ,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆 y辆,则 40 x 90y 1000 4x 9y 100 x5 x5 ,即. y6y6 x, y N *x, y N * 反思感悟 (1
5、)将实际的不等关系写成对应的不等式时, 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之 间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等 关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表: 文字语言 大于 数学符号文字语言 至多 数学符号 ”、“b0,cd0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑 关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题. 【典例2】 下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加 条件使命题成立? (1)若ac2bc2,则ab; (2)若ab,则-ac-bc; 1 1 (3)若ab,则 ; a b (4)若ab,cd,则acbd. 解 (1)命题成立 (2)“c0”
6、 (4)需添加“c0,b0”或“a0且d0”或“c0且b0”可 使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b0且 d0”也可使命题成立. 类型三比较大小 解题准备:作差法比较大小的步骤是: 作差变形判断差的符号下结论. 作商法比较大小的步骤是: 作商变形判断商与1的大小下结论. 其中变形是关键,变形方法主要是通分、因式分解和配方等, 变形要彻底,要有利于与0或1比较大小. a b 【典例3】设a、b是不相等的正数, A ,G ab, 2 2 2 1a b H ,Q ,试比较A G H Q的大小. 1 1 2 a b 2 解 为不相等的正数, 22ab a b G H ab ab 1 1 a
7、b (a b) ab 2ab ab(a 2 ab b) a ba b ab( a b)2 a b 0,即H G; a 2 ab b ( a b) 2 a b 由AG 即G A; ab 0, 222 2 2 2 2 a b a b 2(a b ) a b 由Q A 2242 2 a 2ab b a b 2 0,即A Q. 42 综上可知,当a、b是不相等的正数时,H G A Q. 类型四利用不等式的性质求范围 解题准备:1.在处理此类问题时,严格根据不等式的基本性质 和运算法则,是正确解答此类题目的保证. 2.此类问题中的参数不是相互独立的,而是相互制约的,故不 可分割开来.应先建立待求范围的整
8、体与已知范围的整体 的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得 待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径. 【典例4】 设f(x)=ax2+bx,1f(-1)2, 2f(1)4,求f(-2)的取值范围. 分析 利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表 达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件 确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解. 解解法一:设f 2 mf 1 nf 1 (m, n为待定系数), 则4a 2b m a b n a b , 即4a 2b m n a n m b, m n 4 m 3 于是得 ,解得 , n
9、m 2 n 1 f 2 3f 1 f 1 . 又 1 2, 2f 1 4, 53f 1 f 1 10, 故5f 2 10 . 1 a f (1) f (1) f (1) a b 解法二:由 2 1 ,得 , f (1) a b b f (1) f (1) 2 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 . 又 1 2, 2f 1 4, 53f 1 f 1 10,故5f 2 10. 1 a b 2 解法三:由 2a b4 确定的平面区域如图, 3 1 当f 2 4a 2b过点A , 时, 2 2 3 1 取得最小值4 2 5, 2 2 当f 2 4a 2b过点B 3,1 时, 取得最大值43 2110
10、 , 5f 2 10 . 反思感悟此题易有如下错误解法: 3 a3 1 a b 2 2 由,得到 2a b4 0b 3 2 再由不等式性质得: 6 4a 12 ,进而得34a 2b12 3 2b0 即3f 2 12 1 a b 2 2a b4 的点 a,b 的集合与满足 错误原因是满足 3 a3 2 的点 a,b 的集合不等价. 3 0b 2 名师纠错补漏洞 错源 链式不等式组认识不到位 【典例】若 ,则 2的取值范围是 _ . 22 错解 , 22 2 , , 22 33 2 . 22 剖析 因为条件中有 ,解题时往往忽略这个条件,致 使解错.在研究范围问题时,一定要看清变量间有无内在联系
11、,要确定准独立变量,以免产生错误. , , 2 2 正解 22 . 又 ,则 0, 0. 3 又 , 2 . 2222 3 答案 , 2 2 名师技法练智力 技法一平方作差法 两正数大小的比较,可用平方比较法去掉绝对值或根号. 【典例1】 设0 x0,a1,试比较|log (1-x)|与 a |log (1+x)|的大小. a 解题切入点 因为两式皆正,故可采用平方作差法,去除绝 对值符号. 22 a 解因为 log 1 x log 1 x a log 1 x log 1 x log 1 x log 1 x aaaa 1 x log 1 x 2 aa 1 x 1 x 1 lg 1 x 2 1
12、x lg a 2 又 0 x 1,0 x 1 0 1 x 1; 2 2 1 x 又0 1 x 1 x 0 1, 1 x 1 x1 所以 lg 1 x 0,lg 2 0, 0, 2 1 x lg a 22 a 可得 log 1 x log 1 x 0, a a 即 log 1 x log 1 x . a 方法与技巧注意对数换底公式及对数函数性质的应用. 一般地两根式间的大小比较可用平方作差比较法(如 (n 1)(n 5)与 (n 2)(n 3 )的大小比较). 技法二 化简比较法 作商法的要求是商式的分母必须为正.在q 0的前提下, pp p q 1, p q 1. qq 1 与2 n的大小 nN . 【典例2】比较 n 1 n 解题切入点 当n为正数时可用作商法,只需将商式 与1进行比较. 1 解当n 0时,显然 2 0; 0 1 0 当n N 时,2 n 0, 1n 1 n 11 1 11 则 2 n 1 1 1, n 1 n 2 n2n 2 22 1 所以 2 n. n 1 n 1 由可知,当n N时, 2 n. n 1 n 方法与技巧 作商法需要注意商式分母必须为正,一般 地,比较指数式的大小用作商法较简单(如a,b0时,比较 aabb与baab的大小).本题用作差法也比较简单,同学们不 妨一试.
