1、第三十六讲 直接证明与间接证明 回归课本 证明 1.证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法 分析 法等;间接证明主要是反证法. 2.综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义 定理 公理, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法. 3.分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件 定义 定理 公理等)为止.这种证 明方法叫做分析法. 4.反证法:一般地,由证明pq转向证明 qrt,t与 假设矛盾,或与某个真命题矛盾,从而判定q为假,推出q 为真的方法,叫反证法.
2、考点陪练 1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的 ( ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件 解析:根据分析法的要求,只要能找到一个条件使结论成立即 可,并不需要是等价条件(充要条件),只需要是充分条件即 可. 答案:A 2.用P表示已知,Q表示要证的结论,则综合法的推理形式为( ) A.PQ Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 3n B.PQ Q Q Q Q Q Q 1 1 2 2 3n C.QQ Q Q Q Q Q P 1 1 2 2 3n D.QQ Q Q Q Q Q P 1 1 2 2 3n 答案:A 3.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝
3、角”时, 假设正确的是( ) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 解析:此题实际是一个命题的否定问题,“至多有一个” “ 至少有两个”是对应的,此题极易错选为C或A. 答案:B 4.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以 是( ) 与已知矛盾;假设矛盾;与定义 公理 定理 法则矛盾; 与事实矛盾. A.B. C. 答案:D D. 5.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论 ,三边a b c应满足什么条件( ) A.a2b2+c2 B.a2=b2+c2 D.a2b2+c2 2 2 2 b c a 解
4、析:由余弦定理知,若A为钝角,则cosA 0 2bc 2 2 2 b c a 0 a b c . 2 2 2 答案:C 类型一 综合法 解题准备:1.用P表示已知条件、已有的定义、定理等,Q表示 所要证的结论,则综合法可用框图表示为: P Q Q Q Q Q Q Q 11223n 2.综合法是“由因到果”,即由已知条件出发,经过逐步的推 理,最后达到待证结论.综合法又叫做顺推证法或由因到果 法. 3.综合法格式:从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得 “推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论, 这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是 “,”或“”. a b 【典例1】若a、b、c是不
5、全相等的正数,求证 :lg b c c a 2 lg lg lga lgb lgc. 22 证明 a b (0,), b ca c ab 0, bc 0, ac 0. 222 又上述三个不等式中等号不能同时成立, a b b c c a bc成 立. 2 2 2 a b b c c a 2 2 2 上式两边同时取常用对数,得lggabc, a b b c c a lglglg lga lgb lgc. 222 反思感悟 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结 论,综合法的适用范围是: (1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证无 条件的等式或不等式等. (2)已知条件明确,并且容
6、易通过分析和应用条件能逐步逼近 结论的题型. 类型二 分析法 解题准备:1.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示 为 得到一个明显 Q P P P P P 11223 成立的条件 2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条 件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法. 3.分析法格式:与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发 ,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐靠近已知(已知条件 ,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证 明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推 的,它的常见书写表达式是“要证只需”或 “”. 4.综合法和分析法均属于直接证明的方法,经常要把
7、两种方 法结合起来用,也就是说“两头凑”,会使问题容易解决. sin 【典例2】已知 (0,),求证: 2sin2 1 cos . 证明统一为角,利用弦函数公式化简. sin 1 cos 要证明2sin2成立, sin 1 cos 只要证明4sincos ,sin 0. 1 只要证明4cos. 1 cos 1 上式可变形为4 4 1 cos . 1 cos 0, 11 1 cos 4(1 cos)2) 4, 1 cos 1 当且仅当cos ,即 时取等号. 23 1 4 4(1 cos)成立. sin 1 cos 不等式2sin2成 立. 1 cos 反思感悟在解决问题时,根据条件的结构特点去
8、转化结论,得 到中间结论Q,根据结论的特点转化得到中间结论P,归结为 证明P Q之间的关系,通常用分析法寻找思路,综合法完成 证明. 类型三 反证法 解题准备:1.反证法是间接证明的一种方法,在数学研究和考 试中有着重要的作用.一般地,假设原命题不成立,经过正 确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了 原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律:一个事物是A或 ,二者必居其一,反证法即证明结论的反面错误,从而结论 A 正确. 3.用反证法证明问题的步骤:(1)分清命题的条件和结论,假 设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立;(2)从这个 假
9、设出发,经过推理论证,得出矛盾;(3)从矛盾判断假设不 正确,从而肯定命题的结论正确. 4.适宜用反证法证明的数学命题:(1)结论本身是以否定形式 出现的命题;(2)关于唯一性、存在性命题;(3)结论以“至 多”、“至少”等形式出现的命题;(4)结论的反面比原结 论更具体、更容易研究的命题. 【典例3】已知a,b,c是互不相等的实数. 求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的 三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点. 证明假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个 不同的交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点 ), 由y=ax2+2
10、bx+c, y=bx2+2cx+a, y=cx2+2ax+b, 得 =(2b)2-4ac0, 1 =(2c)2-4ab0, 2 =(2a)2-4bc0. 3 同向不等式求和得, 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0, 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0, (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20, a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾, 因此假设不成立,从而命题得证. 反思感悟本题是“至少”型命题,直接证明比较困难,因此 可用反证法,即否定命题寻找矛盾命题得证. 错源 逻辑不严密 【典例】如图,设四面体P-ABC中,ABC=90,PA=PB=PC,D 是AC中
11、点,求证:PD平面ABC. 错解PA=PC,D是AC的中点, PDAC. 又BCAB, BCPD. 又ACBC=C, PD平面ABC. 剖析本题错误的原因在于证明PDBC时没有理论依据,完 全凭感觉,没有逻辑感. 正解连接BD,因为BD是 RtABC斜边上的中线, 所以DA=DC=DB. 又PA=PB=PC,而PD是公共边, PADPBDPCD, PDA=PDC=PDB=90, PDAC,PDBD, 又AC,BD为平面ABC内两相交的直线. PD平面ABC. a m a (a、b、mR 且a b )的多种证法 技法 不等式 b m b 及推广和应用 1.横向联系,多解求优 a m a ,只 b
12、 m b 证法一: (分析法) 、 、mR ,为了证明 需证明: a m b a b m ,即bm am,只需证明b a. a m a 成立, . b m b 证法二:(综合法)R ,ma mb, ab ma ab mb,a b m b a m . 、 、mR ,a m, b mR , a m a b m b . 1 1 证法三:(综合法)、bR , . a b m mm m a m b m 又 又 ,1 1 ,即. a babab a m a m 0, . b m b 证法四:(作商比较法) 、 、mR , a a m b b m 0, 0.又am bm, ab am ab bm, a a(
13、b m) ab ama a m 1, . b a m b(a m) ab bm b b mb m 证法五:(作差比较法)又 、 、 a m a (b a)m b m b b(b m) b mR , b a m 0,作差 0, a m a b m b . a x b x 证法六:(函数法)构造函数f (x) b a (x0),则 f (x) 1 (x0),易知f x 在其定义域上是单调递增 a a m b x 的,当m 0时,f 0 f m ,即 . b b m 证法七:(解不等式法) 、 R ,a b,关于x的不等式: a x a (b a)x b x b b(b x) 0,等价于x b x
14、0,x 0或x b. , 又 ,b R ,原不等式成立. a m b m 证法八:(求值域)令y a by ,将命题转化为函数的值域. m (y 1,若y 1,则a b不合题意). y 1 a by a 0,(y 1) y 0, y 1 b aa m a b m b y 1, . b a 证法九: (三角法)欲证的不等式为分式,可考虑令tan , b a m b m tan , tan tan,构造图形:在Rt中 AC b, BC a,且AC BC,分别延长CA CB到A 、B 使AA BB 1111 a BB m,如图所示.又过A 作A B /AB交CB 于B ,则 2 11 212 b A
15、A 1 a 1,BB AA m,即点B 在BB 之 间,而tan , tan 2121 b a m b m ,显然0 . 2 a m a b m b tan tan,即 . 证法十: (解析法) a m a (m) b m b (m) , a a 0 b b 0 ,可考虑斜率公式. a 建立直角坐标系:取点A b,a ,B m,m ,如 图,则k , OA b a m b m k .由0 a b,m 0,知射线OA倾斜角满足0 AB AOx ACx .由于正切函数在此区间内为增函数, 4 a m a tanACx tanAOx,k k , . ABOA b m b 证法十一: (几何法)如图所
16、示,设CF/AE, DF m, CD a, AB b, CF OC CD a m a , . AE OA AB b BE b m OD a 又 1,BE m, BE OB b a m a m a a m b BE b m b b m ,即 . 证法十二:(几何法) 、 R ,构造以 m、b为直角边 的ABC,如图所示, AC m, BC b, 则AB m b.0, 故在CB上可截取CD a,连接AD, 则AD m a, BAC DAC,sinBAC si baa m a . b m b ,即 b m a m 证法十三:(增量法) b m a t m 设b a t,则t 0, t b a tt
17、1, 1 . a m a aa m a m a t t b m b , , a m a a m a 、 、t R ,可知 a m a . 即 b m b 2.纵向深入,引申推广 a a m b b m 命 题1:若a、b、mR 且a b,则 1; a m a a m b m b b m 命题2:设a、b、mR 且m a b,则 ; a 2a m a m b 2b m b m 命题3:设a、b、mR 且a b,则 ; a c a a c c 命题4:设a、b、c、dR 且 ,则 ; b d b b d d a a a n bn 命题5:对任意正整数n,若 1 2 ,a、bi R, (i i b
18、b 12 a a a a a 1, 2,n),则; 112nn b b b b b 112nn a a a n b a k bk 命题6:设有限分数集S , ,其中 0(k 12 b b n 12 N*), a b aa a 则S 12n S “, ”当且仅当 1 2 min b b b max b b 12n12 a 时成立. n bn 3.巧用结论,妙法解题 【典例1】已知0 m b a,则下列各式正确的是( ) b m a m b bb m a m b m a m b m a m b A.cos cos cos a b m a m B.cos cos cos a b mb C.cos D
19、.cos cos cos a m b m a m a b m a m cos cos a b m b b a,由推广命题2有:0 解析 b m a m a 1 ,由余弦函数的单调性可知A正确. a m2 答案A 1 1 1 【典例2】对一切正整数n,证明: 1 1 1 3 5 2n 1 2n 1 . 2 a m a b m b b b m 4 5 6 a a m 3 4 5 证明 (a b)可变形为 ,有 , 72n 2n 1 , 6 2n 1 2n 2n 4 5 6 72n 2n 1 4 6 8 3 5 7 2n 1 3 4 5 6 2n 1 2n 2n 1 2n 1 , 34 4 6 3 5 2n 1 2n2n 1 , 2 1 2n 1 1 1 即 1 1 1 . 3 5 2n 12
