1、第四十二讲 抛物线 回归课本 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l(Fl)的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线. 2.抛物线的标准方程和几何意义 考点陪练 1.(2010湖南)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则 点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 C.8 B.6 D.12 p 4 2, 解析:由抛物线的方程得 ,可知所求距离为4+2=6,故选B. 答案:B 再根据抛物线的定义 2 2 2.( 2010 辽宁 设抛物线y 8x的焦点为F,准线为l, P为抛物 线上一点, PA l, A为垂足.如果直线AF的斜率为 3,那 么 PF ( ) A.4 3 C.8 3 B.8
2、 D.16 3得, 解析:如图,由直线的斜率为 AFH=60,FAH=30, PAF=60.又由抛物线的定义知|PA|=|PF|, PAF为等边三角形,由|HF|=4得|AF|=8, |PF|=8. 答案:B 3.(2010陕西)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x- 3)2+y2=16相切,则p的值为( ) 1 A. B.1 C.2 D.4 2 p 解析:由已知,可知抛物线的准线 x与圆(x-3)2+y2=16 2 相切.圆心为(3,0),半径为4,圆心到准线的距离 p 解得p=2.故选C. d 3 4, 2 答案:C 4.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,
3、则P 的轨迹方程为( ) A.y2=8x C.x2=8y B.y2=-8x D.x2=-8y 解析:由题意知,P到F(0,2)的距离比它到y+4=0的距离小2,因 此P到F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹 是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为 x2=8y. 答案:C 2 5.已知点P是抛物线y 2x上的一个动点,则点P到点 0, 2 的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 17D. 9 A.B.3C. 5 22 解析:据抛物线定义,点P到准线距离转化为到焦点 1 2 1 2 17 F ,0 的距离,故 0,2 和 ,0 的距离为 . 2
4、答案:A 类型一抛物线的定义 解题准备:利用抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦 点和准线的距离相互转化.例如若点P (x ,y )是抛物线 0 0 0 y2=2px(p0)上的任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离 p | PF | x (焦半径公式),这一公式的直接运用会为 0 2 我们求解有关到焦点或准线的距离的问题带来方便. 在求过焦点的一弦长时,经常将其转化为两端点到准线的距 离之和,再用根与系数关系求解,有时也把点到准线的距离 转化为点到焦点的距离进行求解. 【典例1】(1)在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+|MF|最小, 其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及此时
5、的最小值. 10 (2)已知抛物线y2=2x和定点 A 3, 抛, 物线上有动点P,P到 3 点A的距离为d ,P到抛物线准线的距离为d ,求d +d 的最小 121 2 值及此时P点的坐标. 解要求最小值问题,可考虑抛物线的定义,通过定义转化为 “两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边” 这一结论. (1)如图,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知 ,|MA|+|MF|=|MA|+|MH|,其中|MH|为M到抛物线的准线的距 离.过A作抛物线的准线的垂线交抛物线于M ,垂足为B,则 1 |MA|+|MF|=|MA|+|MH|AB|=4(当且仅当点M在M 的位置 1 时),
6、此时M点的坐标为(1,2). 10 3 (2)如图,点在抛物线y2=2x的外部,由抛物线的定 A 3, 25 义可知,(其中F为抛物线的 d d | PA| | PF | AF | 12 6 焦点).此时P点的坐标为(2,2). 反思感悟熟练掌握和灵活运用定义是解题的关键.利用 抛物线定义可将抛物线上的点到抛物线的焦点和准线的距 离相互转化.例如若点P (x ,y )是抛物线y2=2px(p0)上的 0 0 0 p 任一点,则该点到抛物线的焦点F的距离 | PF | x 0 2 (焦半径公式),这一公式的直接运用会为我们求解有关到 焦点或准线的距离的问题带来方便.在求过焦点的一弦长 时,经常将
7、其转化为两端点到准线的距离之和,再用韦达定 理求解,有时也把点到准线的距离转化为点到焦点的距离 进行求解. 类型二求抛物线的方程 解题准备:求抛物线的标准方程常用的方法是待定系数法.为 避免开口方向不确定而设成多种形式的麻烦,可以将焦点 在x轴上的抛物线的标准方程统一设为y2=ax(a0);焦点 在y轴上的抛物线的标准方程统一设为x2=ay(a0). 【典例2】求下列各抛物线的方程: (1)顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M(-2,-4); (2)顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上一点Q(m,-3)到 焦点的距离等于5. 解(1)设抛物线为y2=mx或x2=ny,则 (-4)2=m
8、(-2)m=-8或(-2)2=n(-4)n=-1. 所求的抛物线方程为y2=-8x或x2=-y. (2)依题意,抛物线开口向下,故设其方程为 x2=-2py. p ,又设焦点为F,则准线方程为 y 2 pp 则 | QF |y ,即 ( 3) 5 p 4. Q 22 故抛物线方程为x2=-8y. 反思感悟这里易犯的错误就是缺乏对开口方向的讨论,先 入为主,设定一种形式的标准方程后求解,以致失去另一解. 类型三抛物线的几何性质 解题准备:1.以抛物线的标准方程y2=2px(p0)为例,有如下 几何性质: 范围:抛物线y2=2px(p0)开口向右,且向右上方和右下方 无限延伸;抛物线只有一条对称轴
9、x轴,没有对称中心; 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,即坐标原 点.顶点是焦点向准线所作垂线段的中点;离心率:抛物 线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线 的离心率,e=1. 2.抛物线的每一条过焦点的弦被焦点分成两段焦半径,由 焦半径公式可推出抛物线的焦点弦长公式:设过抛物线 y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,设A(x ,y ),B(x ,y ),则弦 1 12 2 长|AB|=|AF |+|BF |=x +x +p.特别地,当弦AB与抛物线的 1 1 2 1 对称轴垂直时,这条弦称为通径,其长度为2p. 2 【典例3】已知AB是抛物线y 2px p 0 的焦
10、点弦, F为 抛物线焦点,A x , y 、B x , y ,求证: 1122 p2 (1)y 1 2212 4 2p sin2 (2) | AB | x x p (为直线AB与x轴的夹角); 12 p2 2sin 1 (3)S ; AOB 1 (4)为定值; | AF | | BF | 5 以AB为直径的圆与抛物线准线相切. 分析考查抛物线的过焦点的弦的性质. 将抛物线的焦点弦的方程设出,代入抛物线方程,利用韦达定 理等解决问题. p 2 证 明 1 2 x p 0 的焦点F ,0 , p 设直线方程为y k x (k 0). 2 p y k x 2 2 由 2 消去x得ky 2py kp
11、0 2 y 2px 22 (y 4p 2 y1 2 . 212 4 p 当k不存在时,直线方程为x , 2 p2 这时 y p, y p, y 则 2 1212 , x 1 2 4 p2 2 因此,总有y1成 立. 212 4 p 2 由抛物线定义 : AF 等于点A到准线x 的距离. 2 pp | AF | x ,同理 :| BF | x . 12 22 AB AF BF x x p. 12 p 2 1p 又 x x y . k2 1 x x (y y ) p 1212 k 2p 由方程知: y y . 12 k 2p x x p 12 k 2 将代入得 2p 1 1 2p | AB | 2
12、p 2p 1 2p 1 k 2 k 2 tan 2 sin 2 3 如 图, S S S AOBAOFBOF 11 2 | OF | 2 1 | | BF |) 2 1 2 1 p 2p 2 2 sin2 p 2 2sin . 1111 (4) pp | AF | | BF | x x 12 22 x x p , 12 pp 2 x x (x x ) 1 212 24 p2 又x x | AB | p,代入上式得 1212 4 11 2 c(c为常数). | AF | | BF | p 0 0 5 设AB的中点为M x , y 分别过A、M、B作准线的垂 线,垂足为C、N、D, 11 则| M
13、N | (| AC | | BD |) (| AF | | BF |) 22 1 | AB |. 2 以AB为直径的圆与准线相切. 类型四直线与抛物线的位置关系 解题准备:直线和抛物线的位置关系,可通过直线方程与抛物 线方程组成的方程组实数解的个数来确定,同时注意过焦 p2 , y y p ,弦长 2 点的弦的一些性质,如: x x 1 21 2 4 l=x +x +p. 1 2 【典例4】已知A 8, 0 , B C两点分别在y轴上和x轴上运动, 并且满足AB C CP. 1 求动点P的轨迹方程; 2 若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M N两点,QM 97,其中Q 1, 0 ,求直线l的方
14、程. 分析 1 设出B、C、P三点的坐标,利用条件AB和 BC CP建立方程组,即可求P点的轨迹方程. 2 分直线l的斜率存在和不存在两种情况. 解 1 设B 0, b ,C c,0 ,P x, y ,则 AB (8,b), BP (x, y b). BC (c,b),CP (x c, y). ABx b(y b) 0, x c, 由BC C P得 b y. b y 代入得 2 y 4x. 动点 的轨迹方程为P 2 y 4x. (2)当直线l的斜率不存在时,x=8与抛物线没有交点,不合题 意.当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则l:y=k(x- 8). 设M(x ,y ),N(x ,y
15、 ), 1 1 2 2 则QM (x 1, y ),QN (x 1, y ). 1122 由QM得(x 1)(x 1) y y 97, 121 2 即x x +x +x +1+k2(x -8)(x -8)=97, 1 2 1 212 (1+k2)x x +(1-8k2)(x +x )+1+64k2=97, 1 21 2 将y=k(x-8)代入y2=-4x得 k2x2+(4-16k2)x+64k2=0, 2 16k 4 x x , x x 64. 121 2 2 k 2 16k 4 代入式得:64(1+k2)+(1-8k2) 1 64k 97. 2 2 k 11 2 整理得 k, k. 42 1
16、 l的方程为: y(x 8), 2 即x-2y-8=0或x+2y-8=0. 反思感悟解决直线与抛物线相交问题,常采用下面方法 2 1 2 2 处理:设出A x , y ,B x , y ;利用y 2px , y 2px 112212 y y 2 1 2 2 求得y y 或x x 或y y 2p x x ,进而得k 12 1 21 212AB x x 12 2p y y 1 ,即用“点差法”求斜率. 2 错源一 对抛物线的定义理解不透而致错 【典例1】若动点M到定点F(1,0)的距离等于它到定直线l:x- 1=0距离,则动点M的轨迹是( ) A.抛物线 C. 圆 B.直线 D.椭圆 错解由抛物线
17、的定义知动点M的轨迹是抛物线,故选A. 剖析抛物线的定义中隐含一个条件“定点F不在定直线l 上”.若“定点F在定直线l上”,那么动点的轨迹就不再是 抛物线,而是过定点F且与定直线l垂直的直线. 正解因定点F(1,0)在定直线l:x-1=0上,故动点M的轨迹是 直线,应选B. 答案B 错源二 对抛物线的标准方程认识不清而致误 【典例 】抛物线 的焦点坐标是( )2 y 8x 2 A.(2, 0)B.(0, 2) 1 1 C. 0,D. ,0 32 32 p 错解由2p 8,得 2, 2 所以抛物线的焦点是 2,0 ,故选A. 剖析 y 8x 2 不是抛物线的标准方程,应该先把它化成标 1 准方程
18、x2y,再求解. 8 11 p 1 正解 把 y 8x 2化成标准方程x y, 2p , 2 则 得 8 2 32 , 8 1 又因y是一次的且其系数为正数,所以焦点坐标为 0, , 32 故应选C. 答案C 错源三对问题考虑不全面而致错 【典例3】过点M(1,-2)的抛物线的标准方程为_. 错解设抛物线方程为y2=2px,把点M(1,-2)的坐标代入得 2p=4,故抛物线的标准方程为y2=4x. 剖析上面的解法漏掉了抛物线的焦点还可以在y轴的负半 轴上的情形. 正解当抛物线的焦点在x轴上时,设方程为y2=mx(m0),把 点M(1,-2)的坐标代入得m=4,故抛物线的标准方程为 y2=4x;
19、 当抛物线的焦点在y轴上时,设方程为x2=ny(n0),把点 1 M(1,-2)的坐标代n入得 , 故抛物线的标准方程为 2 1 x 2 y, 2 1 2 x 2 y.故应填y2=4x和 1 2 2 答案 y 4x和xy 2 错源四对直线与抛物线只有一个公共点认识不清 【典例4】求过点(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直 线l的方程. 错解设所求直线l的方程为y kx 1. y kx 1, 2 2 消去y得: k x 2k 2 x 1 0. 由 2 y 2x, 因为抛物线与所求直线只有一个公共点, 2 2k 2 4k 0. 所以 2 1 解得k . 2 1 故所求直线l的方程为y
20、x 1. 2 剖析事实上,上述解法只考虑了直线l的斜率存在且不为0 时解的情形,而忽视了k不存在以及直线l平行于抛物线对 称轴这两种情形. 正解(1)当直线l的斜率为0时,则l:y=1,此时l平行于抛物 1 线的对称轴,且于抛物线只有一个公共点 (2)当直线l的斜率k0时,同错解. ,1 . 2 (3)当k不存在时,则l:x=0与抛物线y2=2x相切于点(0,0). 综上可知,所求直线l的方程为: 1 y x 1或y 1或x 0. 2 技法一 抛物线中过定点直线的性质 【典例1】已知抛物线y2=2px(p0),过(2p,0)作直线交抛物 线于两点,请写出你所能得出的不同结论. 分析设直线与抛物
21、线交于A B两点,有以下结论: 结论1:OAOB. 证 明设直线AB的方程为y k x 2p ,由 y k(x 2p), y 2k y k 得 2p ,所以y y 2pk 0, 2 2 y 2px,2p2p 2 所以ky 2py 4p k 0. 2 2 (y y ) 则 2 x x 所以 4p , 2 设A x , y ,B x , y , y y 4p , 1 2 11221 21 2 4p2 y y 因为x x y y 0,所以 即k k 1,所以OA O B. 12 1 21 2OA OB x x 12 当AB垂直于x轴时,显然得证. 结论2 :以弦AB为直径的圆经过坐标原点O. 结论3
22、:当AB x轴时,S 最 小. my x 2p,1 证 明设直线方程为my x 2p,其中m , 2 k y 2px, 2 y 所以my2p, y 2pmy 4p 0, 2 2 2p 设A x , y ,B x , y ,则 1122 | y y | (y y ) 4y y 2 4p m 16p 2p m 4. 22 2 2 12121 2 1 2 2p | y y | 2p m 4. 22 所以SAOB 12 当 即 轴时m 0, AB x ,S 4p . 2 min 结论4:过O点作OM AB,垂足为M,则M点必在某一圆周上. 证明设P(2p,0),当AB不垂直于x轴时,OPM为直角三角形
23、 ,M在以OP为直径的圆周上,方程为(x-p)2+y2=p2.当ABx轴 时,M点与P点重合,满足上述方程.所以,M点轨迹方程为(x- p)2+y2=p2(除(0,0)点外). 结论1和结论3所对应命题的逆命题也成立,不妨证明之. 思考若将定点(2p,0)改为(p,0)或(3p,0)等等,则又会有一 些什么样的结论呢? 技法二 焦点弦问题和焦半径 0 0 2 1 焦半径:抛物线y 2px p 0 上一点P x , y 到焦点 p p F ,0 的距离为:| PF | x . 2 0 2 p 2 2 通径:过焦点F ,0 且与x轴垂直的弦PQ叫通径, PQ 2p. p 2 3 焦点弦的性质:过F
24、 ,0 的弦AB所在直线的方程为 p y k x (k不存在时为通径). 2 2p sin2 弦长:| AB | x x p (为弦AB的倾斜角); 12 p2 2 x 1 212 4 11 2 ; | AF | | BF | p 以弦AB为直径的圆与准线相切. 【典例2】过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若 A,B在抛物线的准线上的射影是A ,B ,求A FB 的值. 1 11 1 解题切入点由题意先准确画出图形,利用抛物线定义可推 出AA F与BB F都是等腰三角形,再利用平面几何知识 11 即可得出A FB 的值. 1 1 解设抛物线方程为y2=2px(p0). 如图,由抛物线定义知|AF|=|AA |,|BF|=|BB |, 1 1 所以AA F=AFA ,BB F=BFB , 1 111 又AA x轴BB , 1 1 AA F=A FF ,BB F=B FF , 1 11 11 1 所以 AFA +A FF +F FB +B FB=2(A FF +F FB )=2A 11 11 111 11 1 FB =180. 1 1 即A FB =90. 1 1
