1、第二十讲三角函数的图象 回归课本 1.作y=Asin(x+)的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图. 用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换, 3 设z=x+,由z取0,2来求出 22 相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象 ,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 方法一:先平移后伸缩 ( 0 ) ( 0 )向左或向右 y=sinxy=sin(x+) 平移|个单位 1 横坐标变为原来的 倍 y=sin(x+) 纵坐标不变 A纵坐标变为原来的 倍 y=Asin(
2、x+). 横坐标不变 方法二:先伸缩后平移 1 y=sinxy=sinx横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 ( 0 ) (0 )向左或向右 y=sin(x+)平移 个单位 A纵坐标变为原来的 倍 y=Asin(x+). 横坐标不变 2.y=Asin(x+)(A0,0),x0,+)表示一个振动量时,A 1 2 叫做振幅,T= 叫做周期, f 叫做频率,x+ T 2 叫做相位,x=0时的相位称为初相. 3.对称问题 y=sinx图象的对称中心是(k,0),(kZ). 对称轴方程是x=+k,(kZ). 2 k,0 ,y=cosx图象的对称中心是 对称轴方程是x=k,(kZ). (kZ). 2 考点陪练
3、 1.如图所示,函数y sin 2x 在区间 , 的简图 3 2 是( ) 33 解析: x 时, y ,排除B D; x 时, y , 2262 排除C. 答案:A 2.若f(x)=sin(x+)的图象(部分)如图所示,则和的取值是 ( ) A. 1, B. 1, 33 1 1 C . , D . , 2626 T 2 4 3 3 2 解析: ,T 4,又T , 1 1 2 6 .y sin x .0 sin , 2 k.由图知k 0, . 66 答案:C 3.将函数y sin 2x 的图象按向量a平移后所得的图 3 象关于点 ,0 中心对称,则向量a的坐标可能为( ) 12 A. ,0B.
4、 ,0 12 6 C. ,0D. ,0 6 12 解析: 2x 的一个对称中心为 ,0 ,按向 3 6 量a平移后得相应的对称中心 ,0 , 12 . 12 6 12 a ,0 . 12 答案:C 4.(2010四川)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移 动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 10 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) A.y sin 2x B.y sin 2x 10 1 2 10 5 1 C.y sin x D.y sin x 2 20 解析:将函数y sinx的图象向右平移 个单位长度得到 10 函数y sin x 的图象,然后将所得各点的横
5、坐标伸 10 1 长到原来的2倍(纵坐标不变)得y sin x 的图象,选C. 2 10 答案:C 5.( 2010 江西 四位同学在同一个坐标系中分别选定了一 个适当的区间,各自作出三个函数y sin2x, 3 y sin x , y sin x 的图象如下,结果发现恰有 6 一位同学作出的图象有错误,那么有错误的图象是( ) 解析:当x 2k(k Z)时, y sin2x sin2(2k) 0, 1 y sin x sin 2k 0, y sin x 6 6 2 3 3 sin 2k 0,显然周期最小的函数为 3 2 y sin2x,过函数y sin2x的图象上的点(2k, 0)(k Z)
6、 作一直线x 2k(k Z),则此直线与另外两条曲线的 1 3 两个交点的纵坐标分别为 , ,结合各选项可知有 2 2 错误的图象为C. 答案:C 类型一“五点法”作图 解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点 最低 点及与x轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个 函数的图象.其一般步骤是: 3 (1)令x+分别等于0, , ,2,求出对应的x 2 2 值和y值,即求出对应的五点; (2)在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接,得 函数y=Asin(x+)在一个周期内的函数图象; (3)将所得图象向两边扩展,得y=Asin(x+)在R上的图象. xx y sin 3co
7、s 【典例1】作出函数 内的图象. 的一个周期 22 分析考查:“五点法”作图. 解先选点再列表,最后描点连线. x xx2 1 由y sin 3cos ,得y 2sin ,其周期T 22 2 3 2 x 3 4,振幅A 2,令 0, , ,2.列表: 2 3 2 2 x 2 3 2 10 3 3 描点连线,可得函数y 2sin 在一个周期 , 内的图象如图. 反思感悟用“五点法”作正 余弦函数的图象要注意以下 几点:先将解析式化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+) 2 的形式;周期;振幅AT( A0);列出一个周期的 | | 五个特殊点;描点 用平滑曲线连线. 类型二三角函数的图象变
8、换 解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具 体有以下三种变换: (1)相位变换:y=sinx的图象向左(0)或向右(0)平移|个 单位得到y=sin(x+)的图象. (2)周期变换:y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长(01)到原来的 的图象. 倍(纵坐标不变),得到y=sinx (3)振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩 短(0A0)个单位,当 向左平移则把x换成x+a,当向右平移则把x换成x-a,其他任 何数值和符号不变,若将图上各点的横坐标伸长到原来的 1 倍(1),则只需将x换成 ,若x 将图象上各点的横坐标缩 1 短到原来的(1),则只需将x换
9、成x即可. 类型三三角函数y=Asin(x+)的解析式 解题准备:给出图象求解析式y=Asin(x+)+B的难点在于 的确定,本质为待定系数法.基本方法是:“五点法”,运 用“五点”中的一点确定.图象变换法,即已知图象是由 哪个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值 ,0 点确定,有时从找“五点法”中的第一零值点 作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置. 【典例3】下图为y=Asin(x+)的图象的一段,求其解析式. 分析确定A.若以N为五点法作图中的第一零点,由于此时曲 线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象)所以A0.而= ,可由相位来确定. T 5 解解法一:以
10、N为第一个零点,则A 3,T 2 , 6 3 2,此时解析式为y 3sin 2x . 点,0 在图象上, 2 0 . 6 63 所求解析式为y 3sin 2x . 3 2 解法二:以点M ,0 为第一个零点,则A 3, 2, 3 T 解析式为y 3sin 2x ,将点M ,0 代入得: 3 22 2 0 ,所求解析式为y 3sin 2x . 33 3 反思感悟 1 本例中与这两个解析式是一致的,由 可得. 2 y 3sin 2x 3sin 2x 3 3 2 3sin 2x .同样由也可得. 3 (2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时,“第一零点” 的确定是很重要的,尽量使A取正值,由 f
11、(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图象,求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数和,常用如下两 种方法: 如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标,那么由 2 =即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧 T 图象上升(或下降)的零点横坐标x ,则令x +=0(或 00 x +=)即可求出. 0 代入点的坐标.利用一些已知点(最高点 最低点或零点)坐 标代入解析式,再结合图形解出和,若对A,的符号或对 的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. (3)利用图象特征确定函数解析式y=Asin(+)+k或根据代 数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法: 1 振幅A
12、=(y -y ). max min 2 相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长 T 度为由此推出的值. , 2 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定. 类型四三角函数图象的对称性 解题准备:函数y=Asin(x+)的图象的对称问题 (1)函数y=Asin(x+)的图象关于直线x=x (其中 k x +=k+ ,kZ)成轴对称图形,也就是说波峰或波 k 2 谷处且与x轴垂直的直线为其对称轴. (2)函数y=Asin(x+)的图象关于点(x ,0)(其中 j x +=k,kZ)成中心对称图形,也就是说函数图象与x j 轴的交点(平衡位置点)是其对称中心. 【典例4】求函数y 2s
13、in 3x 的对称轴和对称中心. 4 分析观察y sinx的图象,x k kZ 是其对称轴, 2 k,0 kZ是其对称中心(即:对称轴过最值点且垂直于 x轴,对称中心是图象与x轴的交点). 解由3x k (k Z), 3x k k Z . 424 k k 3 12 知x (k Z)为对称轴, ,0 k Z 为 3 12 对称中心. 类型五三角函数模型的常见应用 解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际 问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期 性,那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常 见类型有: (1)航海类问题.涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向 线
14、顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正 余弦定 理. (2)与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题 正是此类应用题. (3)引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理,解决最 优化问题,即求最值. (4)三角函数在物理学中的应用. 【典例5】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24, 单位:小时)的函数,记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据 : t(时) 03691215 1 182124 y(米) 1.51.00.51.01.50.50.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b 的图象. (1)根据以上数据,求出函数
15、y=Acost+b的最小正周期T 振 幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论,判断一天内的8：00到20：00之间,有多 少时间可供冲浪者进行运动? 解(1)由表中数据,知周期T=12. 2 2 .= T 12 6 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5. 由t=3,y=1.0,得b=1. 1 2 , 由得A=0.5,b=1,振幅为 1 y cos t 1. 2 6 (2)由题知,当y1时才可对冲浪者开放, 1 cos t 11,cos t 0. 2 66 t 2k 2 6 2k-(kZ), 2 即12k-3t12k+3(kZ). 0
16、t24,故可令中k分别为0 1 2,得 0t3或9t15或21t24. 在规定时间8：00至20：00之间,有6个小时的时间可供冲 浪者运动,即9:00至15：00. 错源一未抓住平移对象而致误 【典例1】将函数的图象沿x轴向左平移 y sin 2x 3 个单位,求所得图象的解析式. 3 错解由条件知平移后解析式为y sin 2x ,即为 3 3 2 y sin 2x 的图象. 3 剖析此题出错率极高,主要原因是未抓住函数图象平移是针 对自变量x而言的. 正解所得函数图象的解析式应是y sin 2 x , 3 3 即y sin 2x sin2x. 错源二伸缩变换中记忆不准而致错 【典例2】将y
17、 sin x 的纵坐标不变,横坐标缩小到原 3 1 来的 ,求所得图象的解析式. 2 1 错解一: y sin x . 2 3 1 错解二: y sin x . 2 6 剖析“错解一”错在变换公式记忆错误;“错解二”错误 较多,不仅变换公式记忆错误,还不清楚变换是针对自变量x 的. 正解y sin 2x 3 错源三抓不住对称变换中针对对象而致错 【典例3】将函数y sin x 图象关于y轴对称,求所得 3 图象的解析式. 错解因为函数y sin x 图象关于y轴对称,所以所得 3 函数的解析式为y sin x . 3 剖析错在 前也加了负号,将函数图象关于y轴对称,只是 3 在自变量x前加负号
18、,其他处都不变. 6 正解y sin x ,即y sin x 或y cos x . 3 3 评析若将函数y=sin(x+)的图象关于y轴对称,所得图 象的解析式为y=sin(-x+);若将函数y=sin(x+)的图 象关于x轴对称,所得图象的解析式为y=-sin(x+). 技法 “四看”解决图象平移问题 一看:平移要求 拿到这类问题,首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪 个函数图象,这是判断移动方向的关键点.一般题目会有下 面两种常见的叙述. 【典例1】1 要得到函数y sin 2x 的图象,只须将函数 3 y sin2x的图象( ) A.向左平移B.向右平移 33 C.向左平移D.向右平移
19、 66 2 函数y sin 2x 的图象经过下面哪个变化,可以得 3 到函数y sin2x的图象( ) A .向左平移B.向右平移 33 C .向左平移D.向右平移 66 解析上面两题是平移问题两种典型的叙述方法,粗看两题好 像差不多,其实两题的要求是不同的.第(1)题是要把函数 y=sin2x移到而第(2)题是要把函数 移到y=sin2x,两题平移的要求不同.第 y sin 2x , 3 y sin 2x 3 (1)题是基本形式,应该选D,而第(2)题是它的反形式,故选C. 答案(1)D(2)C 二看:函数形式 我们在解决这类问题时,一定要依赖y=Asin(x+)的形式,如 果题目给定的函数
20、不是这样的形式,就要化为 y=Asin(x+)的形式,再考虑平移. 【典例2】为了得到函数y sin 2x 的图象,可以将函 6 数y cos2x的图象( ) A.向右平移B.向右平移 63 C .向左平移D.向左平移 63 解析此题主要是函数形式的变化,我们所研究的两个函数必 须都是形如y=Asin(x+)的形式.当实际题目中的两个函 数不都是这样的形式时,要先利用函数公式进行转化.所以 我们可以改变 y sin 2x 的形式为: y sin 2x cos 2x 6 6 2 6 2 3 2 3 ,因此将y cos2x向右移动 cos 2x cos 2x 3 可得到,故选B. 答案B 三看:移
21、动方向 在学习中,移动的方向一般我们会简记为“左加右减”,其实, 这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看 y=Asin(x+)中的正负,而是和它的平移要求有关.正确 的理解应该是:平移变换中,将x变换为x+,这时才是“左 加右减”. 【典例3】要得到函数y sin x 的图象,可以将函数 4 y sin x 的图象( ) 4 A .向左平移B.向右平移 44 C.向左平移 D.向右平移 22 4 解析由y sin x 变到y sin x ,我们可以看成 4 原来的x替换为x 得 到.因此选D.还可以通过函数y sinx 2 的过渡.y sin x 先向右移 得到y sinx,再向右移
22、 4 44 得到y sin x ,因此y sin x 变到y sin x 4 4 4 是向右移 .故选D. 2 答案D 四看:移动单位 在函数图象左右平移中,平移的单位是相对x而言,而在函 数y Asin (x )中,相对的是x ,由x 提出得 x ,因此,相对x的是 ,所 以,由函数y sinx得到函 数y Asin (x )时,平移的单位不是| |而是 ,这点很 容易出错. 【典例4】要得到函数y 2sin 2x 的图象,可以将函 4 数y 2sin2x的图象( ) A.向左平移B.向右平移 44 C.向左平移D.向右平移 88 8 解析y 2sin 2x 2sin 2 x ,因此,平移的 4 单位为 ,选C. 8 答案C
