1、第三十五讲 合情推理与演绎推理 回归课本 1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理;或者由个别事 实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简言之,归纳推 理是由部分到整体,由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些和其中一类对象的某些类 似特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比 推理,简言之,类比推理是由已知特征到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察,分析,比较,联想,再进行归纳,类比,然后提出猜 想的推理,我们把它们统称为合情推理. 注意:(1)合情推理所获得的
2、结论,仅仅是一种猜想,未必可 靠.例如费马猜想就被欧拉推翻了.(2)在进行类比推理时 要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则只抓住 一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错 误. 2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性原理出发,推出某个特殊情况下的结 论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由 一般到特殊的推理. (2)三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知 的一般原理; 小前提所研究的特殊情况; 结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 考点陪练 1.下面几种推理是合情推理的是( ) 由圆的性质类比出球的有关性质; 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角
3、和是180, 归纳出所有三角形的内角和都是180; 教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了; 三角形内角和是180,四边形内角和是360,五边形内角 和是540,由此得凸n边形内角和是(n-2)180. A.B. D.C. 解析:前提为真时,结论可能为真的推理称为合情推理,由此 可得出是合情推理,而不是合情推理,因为所有三 角形不只包括直角三角形 等腰三角形 等边三角形,故选 B. 答案:B 评析:前提为真,必须是要研究对象的前提,比如由椅子坏了, 推出椅子坏了是可以的,由椅子坏了,推出桌子也坏了是不 对的,的推理属于前提不对. 2.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇数(S
4、)是9的倍数 (M),故该奇数(S)是3的倍数(P)”.上述推理是( ) A.小前提错误 C.结论错误 B.大前提错误 D.正确的 解析:由于“9的倍数是3的倍数”为真,若“某数是9的倍数” 也为真,则“某数为3的倍数”为真.即大前提与小前提都 正确,则结论必然正确,故选D. 答案:D 评析:本题是一个演绎推理的题目,根据演绎推理的理论,只 要大前提与小前提都正确,结论就正确,此题中的大前提与 小前提是正确的,因此结论是正确的.这就说明,在判断推理 的正确性时,要利用理论进行判断,即要熟练掌握各种理论 原理 结论. 1 8 3.利用归纳推理推断,当n是自然数时, 1)n的值( ) (n2-1)
5、1-(- A.一定是零 B.不一定是整数 C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数 解析:当n=1时,值为0;当n=2时,值为0;当n=3时,值为2;当n=4 时,值为0;当n=5时,值为6. 答案:C 4.在等差数列a 中,若m+n=r+s,则a +a =a +a (m、n、r、 m n r s n sN ).类比得到等比数列具有性质:_. + 解析:a a =a qm-1a qn-1=a2 qm+n-2, m n 111 a a =a qr-1a qs-1=a2 qr+s-2, r s 111 又m+n=r+s,a a =a a . m n s r 答案:在等比数列a 中,若m+n=r+s
6、,则 n a a =a a (m,n,r,sN ) m n r s+ 5.(2010山东)观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(cosx)=- sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(- x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( ) A.f(x) C.g(x) B.-f(x) D.-g(x) 解析:观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数,所以 g(-x)=-g(x),故选D. 答案:D 类型一 归纳推理 解题准备:归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发 现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般性命题(猜想
7、). 2a n 2 an 【典例1】在数列 a 中,a 1,a ,n N*,猜想这 n1n1 个数列的通项公式. 分析根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然 后总结归纳其中的规律,写出其通项公式. 2a 2 解 a 中,a 1,a , 1 n12 2 a 3 1 2a 1 2 ,a 2a 2 a , 23 3 4 2 a 2 42 a 5 23 2 n 1 猜想 a 的通项公式为a . nn 探究1设f(n)=n2+n+41,nN*,计算 :f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)都是质数的值,同时作出 归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确. 解f(1)=12+1+41=4
8、3, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, 归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数. n=40时, f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141, f(40)是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
9、 评析由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于 一般项,若验证其正确,需进行具体计算或严格证明. 归纳分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论 虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认 识功能,对科学的发现是十分有用的.观察 实验,对有限的 资料作归纳整理,提出带规律性的说法是科学研究的最基 本的方法之一. 类型二 类比推理 解题准备:1.类比推理和归纳推理都属于合情推理,利用归纳 和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型,多以填空 题的形式出现. 2.由两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中 一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫 做类比推理
10、,它是一种由特殊到特殊的推理. 3.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似(或一 致)性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得 出一个明确的命题(猜想). 【典例2】(2010潍坊)请用类比推理完成下表: 平面空间 三棱锥任意三个面的面积之 和大于第四个面的面积 三角形两边之和大于第三边 三角形的面积等于任意一边 三棱锥的体积等于任意一个 的长度与这边上高的乘积的 底面的面积与该底面上的高 一半的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆 半径与三角形周长的乘积的 一半 解本题由已知前两组类比可得到如下信息:平面中的 三角形与空间中的三棱锥是类比对象;三角形各边的边 长与三
11、棱锥的各面的面积是类比对象;三角形边上的高 与三棱锥面上的高是类比对象;三角形的面积与三棱锥 的体积是类比对象;三角形的面积公式中的“二分之一” 与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 由以上分析可知: 故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱 锥表面积的乘积的三分之一. 本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥 去证明,此处从略. 反思感悟类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几 何中的一些定理 公式 结论等,可以类比到空间立体几何 中,得到类似结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些 元素的类比列表如下: 平面 点 空间 线 线面 圆球 三角形 角 三棱锥
12、 二面角 体积 表面积 面积 周长 类型三 演绎推理 解题准备:1.“三段论”是演绎推理的一般模式,形如“若 bc,ab,则ac”,这种推理规则叫做三段论推理.它是 由大前提、小前提和结论三部分构成的. 2.三段论推理的一般步骤是:(1)bc;(2)ab;(3)得出结论 ac. 3.三段论推理常用的表示形式: MP(M是P) SM(S是M) SP(S是P) 【典例3】在锐角三角形ABC中,ADBC,BEAC,D E是垂足. 求证:AB的中点M到D E的距离相等. 分析解答本题需要利用直角三角形斜边上中线的性质作为 大前提. 证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形, 大前提 在ABD
13、中,ADBC,即ADB=90,小前提 所以ABD是直角三角形.结论 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大 前提 而M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提 所以 同理 .结论 1 DM AB ,所以DM=EM. 2 1 EM AB 2 反思感悟演绎推理主要是由大前提 小前提推出结论的 三段论式推理.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断 称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前 提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了 一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断 结论.演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与 结论之间有蕴涵关系.
14、因此,只要前提是真实的,推理的形 式是正确的,那么结论必定是真实的,但错误的前提可能导 致错误的结论. a 探究2已知函数 f (x) bx ,其中 x a0,b0,x(0,+),确定f(x)的单调区间,并证明在每个 单调区间上的增减性. 分析利用演绎推理证明. 证 明设0 x x ,则 12 aa f (x ) f (x ) bx bx 1212 x 1 x2 a (x x )b . 21 x x 1 2 aa a 当0 x x 时,则x x 0, 0 x x , b, 12211 2 bb x x 1 2 f x f x 0,即f x f x , 1212 a b f x 在 0, 上是减
15、函数. a 当x x 时, 21 b a a 则x x 0, x x , b, 211 2 b x x 1 2 1 2 f x f x 0,即f x f x , 12 a f x 在 ,上是增函数. b 评析这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提, 第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义,第二个三 段论所依据的大前提是增函数的定义.小前提分别是f(x) aa 在上满足减函数定义和f(x)在上满足增 , ) (0, bb 函数定义,这是证明该例题的关键. 错源一“先天不足,急于武断” 【典例1】已知数列a 满足a =1, 1 n 1 a =- a +1,试归纳出这个数列的通项公式. n+
16、1 n 2 错解经过计算可知: 135 a 1,a ,a ,a ,除第一个外,后三个很有规律, 1234 248 1, (n 1). , (n2,n N*) 11 于是猜想an 2n 3 2 n1 2n 3 剖析容易验证,当n 5时,a ,就不适合a 5n n 1 162 (n2,n N*),原因是由归纳推理所得的结论未必是可 靠 的.一般地,考查的个体越多,归纳的可靠性越大. 正解正确的猜想如下: 0 1 1 2 a , 1 3 2 3 1 1 1 2 a , 2 3 2 3 2 1 1 2 a , 3 3 2 3 3 1 1 2 a , 4 3 2 3 n1 1 1 2 猜想a (n N*
17、). 3 2 3 n 错源二 类比不当致误 【典例2】在平面上,设h ,h ,h 是三角形ABC三条边上的 abc 高,P为三角形内任一点, P到相应三边的距离分别为P , a P P P P ,P ,我们可以得到结论: a b c 1 .把它类比到空 bc h h h abc 间,写出三棱锥中的类似结论_ . 剖析从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角 形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,类 比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上 高的比值之和等于1.本题如果不考虑比值的特点,就可能 误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的 类比结论. 正解设h ,
18、h ,h ,h 分别是三棱锥A BCD四个面上的高, abcd P为三棱锥A BCD内任一点,P到相应四个面的距离分别 P P P P 为P ,P ,P ,P ,于是我们可以得到结论: a b c d 1. abcd h h h h abcd P P P P 答案 a b c d 1 h h h h abcd 评析类比推理是一种由此及彼的合情推理,“合乎情理” 是这种推理的特征,一般的解答思路是进行对应的类比,如 平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体),平面上的面 积对应于空间的体积等.类比推理得到的结论不一定正确, 故这类题目在得到类比的结论后,还要用类比方法对类比 结论的正确性作出证明,
19、例如本题中在三角形中的结论是 采用等面积法得到的,在三棱锥中就可以根据等体积法得 到,这样不但写出来类比的结论,并且这个结论还是一个正 确的结论. 技法一 特殊化思想 【典例1】凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形有f(n+1)条对 角线,则f(n+1)与f(n)的关系为( ) A.f(n+1)=f(n)+n-1 B.f(n+1)=f(n)-n+5 C.f(n+1)=f(n)+n+1 D.f(n+1)=f(n)+2n-4 解析从三角形与四边形入手,由于三角形的对角线条数为 0,即f(3)=0,而f(4)=2,那么f(4)=f(3)+2,经验证C不正确, 于是先排除C;再看五边形,由于f(5
20、)=5,得f(5)=f(4)+3,此 时B D.都不满足.故选A. 答案A 方法与技巧面对归纳推理的问题,特别是选择题,最易从 特殊值入手进行求解.本题如果仅从n边形与n+1边形进行 探索的话难度很大,若从特殊情况出发,则较容易得出结论 . 技法二 数形结合思想 【典例2】如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从 原点运动到(0,1),然后它接着在x轴、y轴的平行方向按照 图所示来回运动,且每秒移动一个单位长度,求2007秒时, 这个粒子所处的位置. 解题切入点本题借助图形,一层一层的分析下去,规律慢慢 的“浮出水面”,当然,问题也就迎刃而解了. 解第一层有(0,1),(1,1),(1,0
21、)三个整点(除原点),共用 3秒;第二层有五个整点(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2), 共用5秒;第三层有七个整点 (0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用7秒 ,第n层共有2n+1个整点,共用2n+1秒;假设第2007秒时 粒子运动在第n+1层. 3 (2n 1)n 2007 ,由此得n的最大值 那么前n层共用秒数 为43,且当n=43时, 2 3 (2n 1)n .于是,第2007秒时 1935 2 ,粒子在第44层,且在第72个出现,根据规律我们知道第44 层将从点(44,0)开始,那么 (44,0),(44,1),(44,43),(44,44),(43,44),(42,44), ,(18,44),(17,44),共72个. 因此,第2007秒时,这个粒子所处的位置为(17,44).
