1、10.5离散型随机变量及其概率分布、均值与方差离散型随机变量及其概率分布、均值与方差 考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其概率分布的概念，认识概率分布刻画随 机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的概率分布.2.了解超几何分布，并 能进行简单应用.3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念会求简单离散型 随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题 1离散型随机变量的概率分布 (1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量所有取值可以一一列出的随机变量称为离 散型随机变量 (2)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1
2、，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则称表 Xx1x2xixn Pp1p2pipn 为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的概率分布，具有如下性质： pi0，i1,2，n； p1p2pn1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2两点分布 如果随机变量 X 的概率分布为 X01 P1pp 其中 0p1，则称离散型随机变量 X 服从两点分布 其中 pP(X1)，称为成功概率 3离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为 Xx1x2xn Pp1p2pn (1)均值 称 E(X)x
3、1p1x2p2xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型 随机变量取值的平均水平 (2)方差 称 V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根 VX为随机变量 X 的标准差 4均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)V(aXb)a2V(X).(a，b 为常数) 5超几何分布 一般地，设有 N 件产品，其中有 M(MN)件次品从中任取 n(nN)件产品，用 X 表示取出 的 n 件产品中次品的件数，那么 P(Xr)C r MCn r NM CnN (r0,1,
4、2，l) 即 X01l P C0MCn 0 NM CnN C1MCn 1 NM CnN ClMCn l NM CnN 其中 lmin(M，n)，且 nN，MN，n，M，NN*. 如果一个随机变量 X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布 微思考 1某电子元件的使用寿命 x1，掷一枚骰子，正面向上的点数 x2，思考 x1，x2可作为离散型随 机变量吗？ 提示x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量 2均值和算术平均数有何区别？ 提示均值刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或
5、“”) (1)离散型随机变量的概率分布描述了由这个随机变量所刻画的随机现象() (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 小，则偏离均值的平均程度越小() (3)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X 服从超几何分布() (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的() 题组二教材改编 2设随机变量 X 的概率分布如下： X12345 P 1 12 1 6 1 3 1 6 p 则 p 为() A.1 6 B.1 3 C.1 4 D. 1 12 答案C 解析由分布列的性质知， 1 12 1 6 1 3 1 6p1，
6、 p13 4 1 4. 3已知 X 的概率分布为 X101 P 1 2 1 3 1 6 设 Y2X3，则 E(Y)的值为() A.7 3 B4C1D1 答案A 解析E(X)1 2 1 6 1 3， E(Y)E(2X3)2E(X)32 33 7 3. 4若随机变量 X 满足 P(Xc)1，其中 c 为常数，则 V(X)的值为_ 答案0 解析P(Xc)1，E(X)c1c， V(X)(cc)210. 题组三易错自纠 5袋中有 3 个白球、5 个黑球，从中任取 2 个，可以作为随机变量的是() A至少取到 1 个白球 B至多取到 1 个白球 C取到白球的个数 D取到的球的个数 答案C 解析选项 A，B
7、 表述的都是随机事件；选项 D 是确定的值 2，并不随机；选项 C 是随机变 量，可能取值为 0,1,2. 6若随机变量 X 的概率分布为 X210123 P0.10.20.20.30.10.1 则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是() A(，2B1,2 C(1,2D(1,2) 答案C 解析由随机变量 X 的概率分布知，P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2) 0.8，则当 P(Xa)0.8 时，实数 a 的取值范围是(1,2 题型一 概率分布的求法 例 1 一个盒子里装有 7 张卡片，其中有红色卡片 4 张，编号分别为 1,2,3,4；白色卡片 3 张，
8、 编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同) (1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率； (2)在取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值设为 X，求随机变量 X 的概率分布 解(1)设取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片为事件 A，则 P(A)C 1 2C35C22C25 C47 6 7. 所以，取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率为6 7. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4， P(X1)C 3 3 C47 1 35，P(X2) C34 C47 4 35， P(X3)C 3 5 C47 2
9、 7，P(X4) C36 C47 4 7， X 的概率分布为 X1234 P 1 35 4 35 2 7 4 7 思维升华 离散型随机变量概率分布的求解步骤 跟踪训练 1 有编号为 1,2,3，n 的 n 个学生，入座编号为 1,2,3，n 的 n 个座位，每个 学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X，已知 X2 时，共有 6 种坐法 (1)求 n 的值； (2)求随机变量 X 的概率分布 解(1)因为当 X2 时，有 C 2 n种方法， 所以 C2n6，即nn1 2 6，也即 n2n120， 解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4. (2)因为学生所坐的座位
10、号与该生的编号不同的学生人数为 X， 由题意可知 X 的可能取值是 0,2,3,4， 所以 P(X0) 1 A44 1 24，P(X2) C241 A44 1 4， P(X3)C 3 42 A44 1 3，P(X4)1 1 24 1 4 1 3 3 8， 所以 X 的概率分布为 X0234 P 1 24 1 4 1 3 3 8 题型二 均值与方差 例 2 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的 收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场
11、运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为1 4， 1 6；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 1 2， 2 3；两人滑雪时 间都不会超过 3 小时 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的概率分布与均值 E()，方差 V() 解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元， 甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为 11 4 1 2 1 4，1 1 6 2 3 1 6. 两人都付 0 元的概率为 P11 4 1 6 1 24， 两人都付 40 元的概率为 P21 2 2 3 1 3， 两
12、人都付 80 元的概率为 P31 4 1 6 1 24， 则两人所付费用相同的概率为 PP1P2P3 1 24 1 3 1 24 5 12. (2)的所有可能取值为 0,40,80,120,160，则 P(0)1 4 1 6 1 24， P(40)1 4 2 3 1 2 1 6 1 4， P(80)1 4 1 6 1 2 2 3 1 4 1 6 5 12， P(120)1 2 1 6 1 4 2 3 1 4， P(160)1 4 1 6 1 24. 所以的概率分布为 04080120160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E()0 1 2440 1 480 5 12120 1
13、 4160 1 2480. V()(080)2 1 24(4080) 21 4(8080) 25 12(12080) 21 4(16080) 21 24 4 000 3 . 思维升华 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 (1)理解的意义，写出可能的全部值 (2)求取每个值的概率 (3)写出的概率分布 (4)由均值的定义求 E() (5)由方差的定义求 V() 跟踪训练 2 现有 A，B，C 3 个项目，已知某投资公司投资 A 项目的概率为2 3，投资 B，C 项 目的概率均为 p，且投资这 3 个项目是相互独立的，记 X 是该投资公司投资项目的个数，若 P(X0) 1 12，则随机变量 X 的
14、均值 E(X)_. 答案 5 3 解析由题意可知，X 的所有可能取值为 0,1,2,3，由于 P(X0) 1 12，故 1 3(1p) 21 12，p 1 2.P(X1) 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 4 12 1 3，P(X2) 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 5 12，P(X3) 2 3 1 2 1 2 1 6，E(X)0 1 121 1 32 5 123 1 6 5 3. 题型三 超几何分布 例 3 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲 协会的运动员 3 名，其中种子选
15、手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求 事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的概率分布，并求 E(X) 解(1)由已知，有 P(A)C 2 2C23C23C23 C48 6 35. 所以事件 A 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(Xr)C r 5C4 r 3 C48 (r1,2,3,4) P(X1)C 1 5C33 C48 1 1
16、4，P(X2) C25C23 C48 3 7， P(X3)C 3 5C13 C48 3 7，P(X4) C45C03 C48 1 14. 所以随机变量 X 的概率分布为 X1234 P 1 14 3 7 3 7 1 14 所以 E(X)1 1 142 3 73 3 74 1 14 5 2. 思维升华 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超 几何分布的特征是： 考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的 概率分布 (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 跟踪训练 3 某单位共有员工 45
17、 人，其中男员工 27 人，女员工 18 人上级部门为了对该单 位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取 5 名员工进行考核 (1)求抽取的 5 人中男、女员工的人数分别是多少； (2)考核前，评估小组从抽取的 5 名员工中，随机选出 3 人进行访谈设选出的 3 人中女员工 人数为 X，求随机变量 X 的概率分布和均值 解(1)抽取的 5 人中男员工的人数为 5 45273， 女员工的人数为 5 45182. (2)由(1)可知，抽取的 5 名员工中，有男员工 3 人，女员工 2 人 所以，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2. 根据题意，P(X0)C 3 3C02 C35
18、 1 10， P(X1)C 2 3C12 C35 3 5， P(X2)C 1 3C22 C35 3 10. 随机变量 X 的概率分布是 X012 P 1 10 3 5 3 10 均值 E(X)013 52 3 10 6 5. 课时精练课时精练 1抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则 “5”表示的试验结果是() A第一枚 6 点，第二枚 2 点 B第一枚 5 点，第二枚 1 点 C第一枚 1 点，第二枚 6 点 D第一枚 6 点，第二枚 1 点 答案D 解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于 5，即只能等于 5. 2设随机变量 X 的分布列为 P(Xi) i
19、2a(i1,2,3)，则 P(X2)等于( ) A.1 9 B.1 6 C.1 3 D.1 4 答案C 解析由分布列的性质，得123 2a 1，解得 a3，所以 P(X2) 2 23 1 3. 3(2021沈阳模拟)设离散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3,4，P(Xk)akb，若 X 的均值 为 E(X)3，则 ab 等于() A. 1 10 B0C 1 10 D.1 5 答案A 解析由题意知(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即 10a4b1，又 X 的均值 E(X) 3，则(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即 30a10b3，a 1 10，b0，ab 1 10.
20、 4已知随机变量的概率分布如下，且 E()6.3，则 a 的值为() 4a9 P0.50.1b A.5B6C7D8 答案C 解析由概率分布的性质，知 0.50.1b1，所以 b0.4，所以 E()40.5a0.1 90.46.3，所以 a7. 5(多选)(2021泰安模拟)设离散型随机变量 X 的概率分布为 X01234 Pq0.40.10.20.2 若离散型随机变量 Y 满足 Y2X1，则下列结果正确的是() Aq0.1BE(X)2，V(X)1.4 CE(X)2，V(X)1.8DE(Y)5，V(Y)7.2 答案ACD 解析因为 q0.40.10.20.21，所以 q0.1，故 A 正确；又
21、E(X)00.110.4 20.130.240.22，V(X)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2 (42)20.21.8，故 C 正确，B 不正确；因为 Y2X1，所以 E(Y)2E(X)15，V(Y) 4V(X)7.2，故 D 正确 6(多选)已知随机变量的概率分布如下： 012 Pbaba 则当 a 在 0，1 2 内增大时() AE()增大BE()减小 CV()先增大后减小DV()先减小后增大 答案AC 解析由随机变量的概率分布得 0ba1， 0b1， 0a1， baba1， 解得 b0.5,0a0.5， E()0.52a,0a0.5. 故 a 在 0，1
22、2 内增大时，E()增大 V()(2a0.5)2(0.5a)(0.52a)20.5(1.52a)2a4a22a1 44 a1 4 21 2， 所以当 a 0，1 4 时，V()单调递增，当 a 1 4， 1 2 时，V()单调递减，故选 AC. 7某射击选手射击环数的概率分布为 X78910 P0.30.3ab 若射击不小于 9 环为优秀，其射击一次的优秀率为_ 答案40% 解析由概率分布的性质得 ab10.30.30.4，故射击一次的优秀率为 40%. 8随机变量 X 的概率分布如下： X101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|X|1)_，公差 d 的取值范围是_ 答案 2
23、 3 1 3， 1 3 解析a，b，c 成等差数列，2bac. 又 abc1，b1 3， P(|X|1)ac2 3. 又 a1 3d，c 1 3d， 根据概率分布的性质，得 01 3d 2 3，0 1 3d 2 3， 1 3d 1 3. 9已知随机变量的概率分布为 123 P0.5xy 若 E()15 8 ，则 V()_. 答案 55 64 解析由概率分布性质，得 xy0.5. 又 E()15 8 ，得 2x3y11 8 ，可得 x1 8， y3 8. V() 115 8 21 2 215 8 21 8 315 8 23 8 55 64. 10已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，
24、乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑 球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球设为取出的 4 个球中红球的个数，则 P(2) _. 答案 3 10 解析由题意可知，P(2)C 1 3C12C14C23C22 C24C26 3 10. 11(2020武威模拟)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答 对其中的 6 题， 乙能答对其中的 8 题， 规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试， 至少答对 2 题才算合格 (1)设甲、乙两人在考试中答对的题数分别为 X，Y，写出随机变量 X，Y 的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率 解(1)随
25、机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， P(X0) C34 C310 4 120 1 30，P(X1) C16C24 C310 36 120 3 10， P(X2)C 2 6C14 C310 60 120 1 2，P(X3) C36 C310 20 120 1 6， 所以随机变量 X 的概率分布为 X0123 P 1 30 3 10 1 2 1 6 随机变量 Y 的所有可能取值为 1,2,3， P(Y1)C 1 8C22 C310 8 120 1 15， P(Y2)C 2 8C12 C310 56 120 7 15， P(Y3) C38 C310 56 120 7 15， 所以随机变量
26、 Y 的概率分布为 Y123 P 1 15 7 15 7 15 (2)由(1)知甲合格的概率为 P(A)1 2 1 6 2 3， 乙合格的概率为 P(B) 7 15 7 15 14 15， 因为事件 A，B 相互独立，所以甲、乙两人均不合格的概率为 P( A B )P( A )P( B )1P(A)1P(B) 12 3 114 15 1 3 1 15 1 45， 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 1 1 45 44 45. 12某投资公司在 2021 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选 择： 项目一： 新能源汽车 据市场调研， 投资到该项目上， 到年底
27、可能获利 30%， 也可能亏损 15%， 且这两种情况发生的概率分别为7 9和 2 9； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为3 5， 1 3和 1 15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，X1的所有可能取值为 300，150.则 X1的概率 分布为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)3007 9(150) 2 9200(万元) 若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，X2的所有可能取值为 500，300,0.则 X2的概率分 布为 X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)5003 5(300) 1 30 1 15200(万元) V(X1)(300200)27 9(150200) 22 935 000， V(X2)(500200)23 5(300200) 21 3(0200) 21 15140 000. E(X1)E(X2)，V(X1)0， 当 X(400,600时，f(X)g(X)(1 8004X)(2 1004X)300g(Y)， 故 X(400,600时，f(X)3 720 元， 故小王应选择做饿了么外卖配送员
