1、大一轮复习讲义 第二章函数概念与基本初等函数 2.3幂函数与二次函数 考试要求 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数yx，yx2，yx3，y ，y 的图象，了解它们的 变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、 不等式之间的关系解决简单问题. 1 2 x 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.幂函数幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比
2、较 知识梳理 yx 函数yxyx2yx3yyx1 图象 1 2 x 性 质 定义域RRR_ 值域R_R_ 奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数 单调性 在R上单 调递增 在_ 上单调递减； 在_ 上单调递增 在R上 单调 递增 在_ 上单调递增 在_ 和_ 上 单调递减 公共点_ x|x0 x|x0 y|y0y|y0y|y0 奇偶奇非奇非偶奇 (，0 (0，) (， 0)(0， ) (1,1) 0，) 2.二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，y0，故幂函数的图象一定经过 第一象限，一定不过第四象限. 2.二次函数的解析式有哪
3、些常用形式？ 提示(1)一般式：yax2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xm)2n(a0)； (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0). 微思考 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y 是幂函数.() (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.() (3)二次函数yax2bxc(a0)，xm，n的最值一定是 . () (4)二次函数yx2mx1在1，)上单调递增的充要条件是m2. () 基础自测 1 3 3x 题组二题组二教材教材改编改编 3.如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的 大小关系为
4、 A.cba B.abc C.bca D.acb 4.函数g(x)x22x(x0,3)的值域为_. 解析由g(x)x22x(x1)21，x0,3， 得g(x)在0,1上是减函数，在1,3上是增函数， 所以g(x)ming(1)1， 因为g(0)0，g(3)3， 所以g(x)在x0,3上的值域为1,3. 1,3 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.幂函数f(x) (aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减 函数，则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6 解析因为a210a23(a5)22， f(x) (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220时，yx在(0，)上单调
5、递增， 且01时，图象上凸，0m1. 当0时，yx在(0，)上单调递减. 不妨令x2，由图象得212n，则1n0. 综上可知，1n0m1. 4.若 ，则实数a的取值范围是_. 1 3 1a 1 3 32a 解析不等式 32a0或32aa10或 a1032a， 1 3 1a 1 3 32a (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六 个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0,01的取 值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助 其单调性进行比较. 思维升华 例1(1)函数f(x)满足下列性质：定义域为R，
6、值域为1，)；图 象关于x2对称；对任意x1，x2(，0)，且x1x2，都有 4ac；c0；ac0；b0；abc0，故正确； 又由题图知f(1)0，即abc0，故正确. 命题点2二次函数的单调性 例3函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上单调递减，则实数 a的取值范围是 A.3,0) B.(，3 C.2,0 D.3,0 解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意. 解得3a0. 综上，a的取值范围为3,0. 引申探究 若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，则a _.3 解析由题意知f(x)必为二次函数且a0， 命题点3二次函数的值域、最值 例4已知函数f(
7、x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值. 解f(x)a(x1)21a. (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； (3)当a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc 的图象开口向上，故可排除A； 若a0，b0，从而 0，而二次函数的对称轴 在y轴的右侧，故应排除B，选C. 解析由已知可得二次函数f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x1， (3)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值. 解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对 称轴为直线x1. 当t11，即t0时，函数图象如图(
8、1)所示，函数f(x)在区间t，t1 上为减函数， 所以最小值为f(t1)t21； 当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得 最小值，最小值为f(1)1； 当t1时，函数图象如图(3)所示， 函数f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为f(t)t22t2. 综上可知，当t0时，f(x)mint21， 当0t1时，f(x)min1，当t1时，f(x)mint22t2. 例5(1)已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1,1上恒小于零， 则实数a的取值范围是_. 题型四二次函数的恒成立问题核心素养 解析由题意知2ax22x30在1,1上恒成立. 当x0时，3
9、1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则实数 a的最大值为_.2 所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8成立， 所以有a23a28，解得5a2， 又a1，所以1f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是 _. 解析由题意知f(x)在R上是增函数， 结合f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立， 知4t2mmt2对任意实数t恒成立， KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.函数y 的图象是 解析由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除
10、A，D； 1 3 x 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.若幂函数f(x)(m24m4) 在(0，)上为增函数，则m 的值为 A.1或3 B.1 C.3 D.2 解析由题意得m24m41，m26m80， 解得m1. 2 68mm x 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则 A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.af(1)，f(4)f(1)， f(x)先减后增，于是a0，故选A. 5.(多选)(2020河南省实验中学质检)已知函数f(x)3x22(m3)xm 3的
11、值域为0，)，则实数m的取值范围为 A.0 B.3,0 C.3 D.3 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析依题意，得4(m3)243(m3)0， 则m0或m3. 实数m的取值范围是0，3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)若二次函数ykx24x2在区间1,2上是单调递增函数，则实 数k的取值可以是 A.0 B.1 C.2 D.3 12345678910 11 12 13 14 15 16 则函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求. 综上可得实数k的取值范围是2，). 当k0时，要使函数ykx24x2在区间1,2
12、上是增函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 幂函数f(x)x为奇函数，且在(0，)上单调递减， 是奇数，且0，1. 1 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知函数f(x)4x2kx8在1,2上不单调，则实数k的取值范围是 _. (16,8) 9.已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)， 则函数f(x)在1,3上的值域为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点， 所以f(0)0
13、，所以b0. 因为f(x)f(1x)， 10.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0时，均有(a1)x1 (x2ax1)0，求实数a的所有可能值.几位同学提供了自己的想法. 甲：解含参不等式，其解集包含正实数集； 乙：研究函数y(a1)x1(x2ax1)； 丙：分别研究两个函数y1(a1)x1与y2x2ax1； 丁：尝试能否参变量分离研究最值问题. 你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正 确答案为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析选丙.画出y2x2ax1的草图，y2x2ax1过定点C(0，1). y2x2ax1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧， 又y1(a1)x1也过定点C(0，1)， 故直线y1(a1)x1只有过点A，C才满足题意， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1 时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由. 解f(x)(xa)2aa2， 当2a1时，f(x)在1,1上为增函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上可得，存在实数a满足条件，且a1. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
