1、3.3.3 3.3.3 点到直线的距离点到直线的距离 3.3.4 3.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 （1 1）. .掌握点到直线的距离公式的推导过程；掌握点到直线的距离公式的推导过程； （2 2）. .能用点到直线的距离公式进行计能用点到直线的距离公式进行计算；算； （3 3）. .能求有关平行线间的距离。能求有关平行线间的距离。 1.1.什么是点到直线的距离？什么是点到直线的距离？ 点点P P0 0到直线的距离是指到直线的距离是指: : 从点从点P0 (如图所示如图所示)到直线到直线l(如图所示如图所示)的垂线段的垂线段P0Q的长度，的长度， 其中其中Q为垂足为垂足. 0
2、 P Q o x y l 已知点已知点 ，直线，直线 ， 如何求点如何求点 到直线到直线 的距离？的距离？ 000 ,P xy:0l AxByC 0 P l 2.2.点到直线的距离点到直线的距离 0 P Q o x y l 及直线及直线 的斜率的斜率 l 由由 0 lPQ A B 得得 直线直线 的斜率为的斜率为 0 PQ B A 00 0 () AxByC B yyxx A 的方程为的方程为因此直线因此直线 0 PQ 00 () B yyxx A 2 00 22 2 00 22 B xAByAC x AB A yABxBC y AB 即即Q点的坐标为点的坐标为 22 0000 2222 (,
3、) B xAByAC A yABxBC ABAB 点点 之间的距离之间的距离 （ 到到 的距离）为的距离）为 0 PQ 0 PQ、 0 P l 22 22 0000 000 2222 ()() B xAByACA yABxBC PQxy ABAB 2 2 00 0 22 4222222332 000000 222 222 () B xAByAC x AB A xA B yA CA Bx yA CxA BCy AB 逐项整理逐项整理 2 2 00 0 22 4222222332 000000 222 () 222 () A yABxBC y AB B yA B xB CAB x yB CyAB
4、Cx AB 以上两式相加，只整理分子得以上两式相加，只整理分子得 4222422222223 0000 32332 0000 ()()()2 2(22)(22) AA BxBA ByA CB CA Bx y AB x yA BCB C yA CAB C x 2222222222 0000 2222222 00 ()()2() 2()2()() AABxBAByAB ABx y BC AByAC ABxCAB 2222222 000000 ()(222)ABA xB yABx yBCyACxC 222 00 ()()ABAxByC 222 00 0 222 ()() () ABAxByC PQ
5、AB 2 00 00 22 22 ()AxByCAxByC AB AB 所以所以 . | 22 00 BA CByAx d 00 (,)P xy :0l AxByC 1.1.此公式是在此公式是在A A、B B00的前提下推导的；的前提下推导的； 2.2.如果如果A A=0=0或或B B=0=0，此公式恰好也成立；，此公式恰好也成立； 注意注意 思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具， 能否用向量的方法求点到直线的距离？ nPMPQ nPMPQ nlyxM PQlP 投影向量， 上的在是量，则方向向量垂直的单位向 是与直线的上的任意一点，是直线（设 的模。的距离，就是向量到直线如图，
6、点 ), ?nll 向量的方向向量垂直的单位的方程得到与如何利用直线 向量。 单位的方向向量垂直的一个就是与直线垂直。向量 与向量（算可知，向量（由平面向量的数量积运 （两式相减，得 的方向向量。是直线则 上任意两点，是直线（设 lBA BA yyxxBA yyBxxACByAx CByAxlyyxxPP CByAxlyxPxxP ),( 1 ),), . 0)0 0),( 0:),),( 22 1212 121222 11121212 222211 22 00 00 22 22 1212 22 22 00 22 - 1 -0,( )( 1 ) 1 ),( 1 ), ),( 1 BA CByA
7、x nPMPQPQ CByAx BA nPM CByAxCByAxlyxM ByAxByAx BA yyBxxA BA BA BA yyxxnPM BA BA n 因此 ）（代入上式得 ，所以上，所以）在直线因为点 （ （ 从而我们取 1P1,2: 1 2xy100 ;2 3x2. 例求点到下列直线的距离 10 2 5. 5 解解: :（1 1）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得 22 |212 10| 21 d （2 2）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得 22 |312|5 3 30 d 25 1. 33 d 因为直线因为直线 平行于平行于 轴轴 ，
8、所以，所以320 x y 注意：当注意：当A=0或或B=0，也可直接利用图形性质求得距离。，也可直接利用图形性质求得距离。 的值。求 ，的距离为到直线变式训练：已知点 C CyxlP1034:)2 , 1( 1 5 564 0534 )2 , 1( 0534)2 , 1( dyx P yxP 的距离为 到直线可得点由点到直线的距离公式 ，直线点 例例2 2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积133110ABC，ABC 解：如图，设解：如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则ABh 1 . 2 ABC SAB h y 1 2 3 4 xO-1123 A B h 22 3 11 32 2 .AB
9、 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离ABhCAB 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：AB 31 1 33 1 yx ， 即：即：40 .xy 点点 到到 的距离的距离40 xy10C ， 22 1 045 . 2 11 h 因此，因此， 15 2 25. 22 ABC S y 1 2 3 4 xO-1123 A B C h 解：解：由题意，设所求直线方程为：由题意，设所求直线方程为： 练习：练习：求过点求过点M M( (2, 1)2, 1)，且与，且与A A( (1, 2)1, 2)，B B(3, 0)(3, 0)距距 离相等的直线方程离相等的直线方程. . 1(2).y
10、k x 即即210kxyk 由于所求直线与由于所求直线与A A( (1, 2)1, 2)，B B(3, 0)(3, 0)距离相等，则有距离相等，则有 解得解得 所求直线方程为所求直线方程为1,20.yxy或 2.2.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 （1 1）两条平行直线间的距离）两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线 段的长。段的长。 （2 2）探究：）探究： 能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？ 已知两条平行直线已知两条平行直线 11 2212
11、 :0, :0,. lAxByC lAxByCCC 002002 0,.AxByCAxByC 即 设设 是直线是直线 上的任意一点，则上的任意一点，则 00 (,)P xy 2 l 001 22 |AxByC d AB 22 21 BA CC | 1 l 2 l 就是直线就是直线和和的距离的距离 注意：注意：两条平行直线的方程必须化为一般式，即为两条平行直线的方程必须化为一般式，即为 11 22 :0, :0 . lAxByC lAxByC 例2、求下列两条平行线间的距离。 01832:; 0832:1 21 yxlyxl）（ 043:;1043:2 21 yxlyxl）（ 2 ; 32答案： 12 ,l l (4,0)A 变式变式. .已知直线已知直线 01216: 0872: 2 1 yxl yxl 是否平行？若平行，求是否平行？若平行，求 间的距离间的距离. . 12 ,l l 解：解：因为因为 12 ,l l斜率分别为斜率分别为 12 262 ,. 7217 kk 所以所以平行平行. . x先求先求 1 l与与 轴的交点轴的交点 A A的坐标，易得的坐标，易得 点点 A A到直线到直线 的距离为的距离为 2 l 22 6 421 0 12323 53 1593 53 621 d 间的距离为间的距离为 12 ,l l 23 53 159
