1、1.4.11.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系用空间向量研究直线、平面的位置关系 牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺 观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、 砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般 较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线 与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢? 思考1：如何用向量表示空间中的一点？ 的位置向量。称为点我们把向量来表示可以用向量 就任意一点作为基点，那么空间中点在空间中，我们取一定 POPOP PO . 1.点的位置向量 思考2:我们知道，空间中给
2、定一个点A和一个方 向就能唯一确定直线 ,如何用向量表示直线？ 2、空间直线的向量表示式 l 的方向向量。线平行的非零向量称为直方向向量：把与向量la 直线的向量的表达式。式和式都称为空间 代入上式，得将 ，使得存在实数 的充要条件是在直线，可以得到点任意一点如图，取定空间中的 即，使得 数上的充要条件是存在实在直线条件可知，点意一点，由向量共线的 上的任是直线设，上取的方向向量，在直线是直线如图， ABtOAOPaAB n tOAOPt lPO ABtAPa tAPt lP lPaABlla , , 3、空间平面的向量表达式 思考3：一定点和两个定方向能否确定一个定平面？一个定点和 一个定方
3、向能否确定一个定平面？ 问题1：由前面所学，如何确定一个平面？ ，可以确定平面与向量这样点 ，使得实数对（ 在唯一的有序量的基本定理可知，存内任意一点，由平面向 为平面，它们的方向向量为点解：设两条直线相交于 baO byaxOPyx PbaO , ), , 能 思考4：如何用向量表示这个平面？ 的向量表达式。空间平面 我们把此式称为，使充要条件是存在实数 内的位于平面，可以得到，空间一点取定空间内任意一点 ABC ACyABxOAOPyx ABCPO , 注：注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一 确定。 4、平面的法向量 法向量。 的为平面，我们称向量的方向向量取直线法向量：直线
4、aall , 0 APaP aAaA 示为集合平面完全确定，可以表 为法向量的，且以向量，那么过点和一个向量注：给定一个点 有什么关系？和 上任取向量在直线：如果另有一条直线问题 ab bmm,2 共线 因此，平面的法向量有无数条。 自主检测 的一个法向量；）是平面（，）在空间直角坐标系中（ 的方向向量；也是直线的方向向量，则是直线）若（ 向量；的方向向量和平面的法）零向量不能作为直线（ 确。、判断下列命题是否正 Oxyj lRvlv 1 , 0 , 03 )(2 1 1 （1） （2） （3） 212121 2121 , , 使 的方向向量，则分别是直线，设 Rll ll 思考 1：如何由方
5、向向量表示直线的平行？ 所以也平行平行，那么这两条直线果两条直线的方向向量 行；反过来，如它们的方向向量一定平果两条直线平行，那么 ，如由方向向量的定义可知的方向向量分别是直线，设 . ., 2121 ll 思考2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的 方向向量、平面的法向量有什么关系？ 0 nunul lnlu 则 的法向量，是平面的方向向量，是直线设 思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的 法向量有什么关系？ 21 2121 , , nnR nnnn 使 的法向量，则，分别是平面设 自我检测 (1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线 与平面平行.() (2)
6、直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平 面垂直.() (3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的 法向量垂直,则这两个平面垂直.() 答案:(1)(2)(3) 答案:C 例1;已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中 点,求证: (1)FC1平面ADE; (2)平面ADE平面B1C1F. 证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 反思感悟 证明线面、面面平行问题的方法 (1)用
7、向量法证明线面平行:证明直线的方向向量与平面内的某 一向量是共线向量且直线不在平面内;证明直线的方向向量可以 用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;证明直线的方 向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如(1)中,FC1平面 ADE一定不能漏掉. (2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. 当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=n2这一形式. 变式训练 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为 45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC= AD=1,问 在棱PD上是否存在一点E,使CE平面PAB?若存在,求出E点
8、的位 置;若不存在,请说明理由. 解:存在点E使CE平面PAB. 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系Axyz, P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0), 例2；如图所示,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为矩 形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点. 求证:MN平面PAD; 证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴 建立空间直角坐标系A-xyz. 设PA=AD=a,AB=b, 则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0). M,N分别为AB,PC的中点, 位置关系向量表示 线线平行 线面平行 面面平行 212121 2121 , , 使 的方向向量，则分别是直线，设 Rll ll 0 nunul lnlu 则 的法向量，是平面的方向向量，是直线设 21 2121 , , nnR nnnn 使 的法向量，则，分别是平面设
