1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 函数y=Asin（wx+） 的图象 图象作法、 图象变换、 性质、 由函数图象确定解析式 性质 三角函数的 图象与性质 正弦、 余弦、 正切函数的图象 图象 定义域、 值域、 奇偶性、 周期性、 单调性、 对 称轴和对称中心 三角函数图象的画法 知识网络 第八章三 角 函 数 三 角 函 数 单位圆 定义 三角函数的定义 三角函数的定义域 三角函数值在各象限的符号 三角函数线 诱导公式 同角三角函数 的基本关系式 平方关系、 商数关系、 倒数关系 任意角的概 念与弧度制
2、弧度制 弧度制 角度与弧度互化 弧长公式及扇形面积公式 角的概念 及推广 角的分类、 象限角、 终边相同的角 任意角的三 角函数 62 第八章三 角 函 数 概述： 三角函数是基本初等函数之一， 是数学中重要的数学模型之一， 主要的学习内容 是三角函数的概念、 图象与性质， 以及三角函数模型的简单应用； 主要运用代数变形和 图象分析的方法进行研究， 既是学习后继内容的基础， 又是解决生产实际问题的数学工 具， 它在物理学、 天文学、 测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用. （1） 角的概念经过 推广后， 可以形成任意 大小的角.正确理解正 角、 负角、 零角的概念， 关键是抓住角的终
3、边的 旋转方向是逆时针、 顺 时针还是没有转动. （2） 终边在坐标轴 上的角， 不属于任何象 限. （3） 弧度制表示角 时， 常常把弧度数写成 多少的形式， 不必把 写 成 小 数 ， 单 位rad 通常省略不写. （4） 由弧长公式和 扇形面积公式可知， 由 、r、l、s中的两个量 可以求出另外的两个量， 即 “知二求二”. 要点提示: 8.1任意角的概念与弧度制 一、 知识图表 角角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 角的分类 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转形成的 角叫做负角； 当一条射线没有做任何旋转时称它形成了一个零 角. 象限角 使角的顶点与
4、坐标原点重合， 角的始边与x轴正半轴重合.这时， 角的终边在第几象限， 就把这个角叫做第几象限角. 终边相同的 角 具有共同始边与终边的角叫做终边相同的角， 设表示任意角， 所有与终边相同的角， 包括本身构成一个集合， 这个集合可 记为S=+k360，kZ. 弧 度 制 弧度制 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角， 弧度 记作rad， 读作弧度. 弧度数 在半径为r的圆中， 圆心角所对的弧长为l， 则角的弧度的 绝对值是= l r . 角度与弧度 之间的互化 360=2rad；180=rad； 1= 180 rad0.01745rad； 1rad= 180 ? 57.30=57
5、18. 弧度制下角 的表示 角的集合与实数集R之间建立了一种一一对应的关系. 弧长公式l=r. 扇形面积公 式 S=1 2 lr=1 2 r2. 角 的 概 念 的 推 广 63 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 二、 重要概念剖析 1.理解有关角的概念， 只要紧紧抓住角的三要素： 终边、 旋转方向和旋转量， 明确三者缺一 不可， 正角、 负角是以射线绕端点的旋转方向定义的， 零角是射线没有做任何旋转； 一个角是第 几象限角， 关键是看这个角的终边落在第几象限.此外还应明确有关角的范围：“小于90的角”、
6、 “锐角”、“第一象限的角” 的根本区别在于其范围的不同， 它们的范围分别是：“90”、“0 90”、“k3600， 则r=17a. sin= 8 17 ，cos=- 15 17 ，tan=- 8 15 . 二、 重要概念剖析 三、 学习方法引导 名师经验谈：当 角 终边上的点的坐标以参 数形式给出时， 要根据 解题的需要进行分类讨 论. 66 第八章三 角 函 数 （2） 若a0， 则r=-17a. sin=- 8 17 ，cos= 15 17 ，tan=- 8 15 . 例2已知cos=-15 17 ， 求sin，tan的值. 思路引导：已知某一个三角函数值， 应由已知的三角函数值的符号
7、确定角的终边所在象限， 再对它所在的象限进行分类讨论. 解： cos=- 15 17 0，tan0. sin=1-cos2姨= 8 17 ，tan= sin cos =- 8 15 . （2） 若是第三象限角， 则sin0. sin=-1-cos2姨=- 8 17 ，tan= sin cos = 8 15 . （2011全国） 已知角的顶点与原点重合， 始边与x轴的正半 轴重合， 终边在直线y=2x上， 则cos2=（） A. - 4 5 B. - 3 5 C. 3 5 D. 4 5 答案：B 名师经验谈：已知角 的某种三角函数值， 求 角的其余三角函数值 时， 要注意公式的合理 选择， 若角
8、所在象限已 经确定， 求另外两个三 角函数值时， 只有一组 结果； 若角所在象限不 确定， 则应分类讨论， 有两组结果. 四、 高考回眸 高考命题趋势：由于课 时减少、 公式减少， 估 计高考对这部分的要求 可能会降低， 题型仍以 选择题和填空题为主， 多数情况下是容易题， 也有可能与三角函数、 解三角形相结合解决简 单的综合问题. 67 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 8.3三角函数的图象与性质 一、 知识图表 （1） 利 用 正 弦 线 、 正切线可以画出比较精 确的正弦函数、 正切函 数的图象，
9、通常是先作 出它们在一个周期内的 图象， 然后向左、 右进 行周期平移， 就可得到 整体图象， 余弦函数图 象可以通过将正弦函数 的图象向左平移 2 个单 位长度得到， 在精确度 要求不高时， 经常采用 “五点法” 作函数图象的 简图. （2） 三角函数的周 期， 一般指的是三角函 数的最小正周期. （3） 三角函数图象 的对称轴是经过其图象 的 “峰 点 ” 或 “谷 点 ” 且平行于y轴的无穷多 条直线， 即对称轴通过 其最值点， 正 （余） 弦 函数的对称中心是其图 象与x轴的交点， 但正 切函数的对称中心除了 图象与x轴的交点， 还 有非定义点. 特别提示: 函数 正弦函数 y=sin
10、x 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 三 角 函 数 的图象 三 角 函 数 的 性 质 定 义 域 RR xx 2 +k， kZ 值 域 -1，1-1，1R 最 值 x=2k+ 2 时 ymax=1（kZ）； x=2k- 2 时， ymin=-1（kZ）. x=2k时 ymax=1（kZ）； x=2k+ 时， ymin=-1（kZ）. 函数无最大值与 最小值 周 期 性 周期为2周期为2周期为 奇 偶 性 sin（-x）=-sinx 奇函数 cos（-x）=cosx 偶函数 tan（-x）=-tanx 奇函数 单 调 性 2k- 2 ，2k+ 2 2? 上 递增； 2k+ 2
11、，2k+3 2 2? 上 递减 （kZ）. 2k，2k+ 上递减； 2k-，2k 上递增 （kZ）. k- 2 ，k+ 2 2? 上递增 （kZ）. y x O 2 1 -1 y x O 2 1 -1 y x O 2 - 2 68 第八章三 角 函 数 函数 正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 对 称 轴 x=k+ 2 （kZ） x=k（kZ）无对称轴 对 称 点 （k，0）（kZ） k+ 2 ， ，? 0 （kZ） k 2 ， ， 0 （kZ） （1）“五点法” 作 函数y=Asin（wx+）的图 象 ，先 确 定 周 期 T = 2 w ， 在一个周期内
12、作 出图象， 再把所得的简 图向左右分别扩展， 从 而得到y=Asin（wx+ ）的 简图. （2） 要 特 别 注 意 ， 若 由y=sinwx的 图 象 得 到y=sin（wx+）的图象， 则 向 左 或 向 右 应 平 移 w 个单位. （3） 若y=Asin（wx+ ）中的w0） 或向右 （0） 平移个单位长度 圯y=sin（x+） 横坐标伸长 （0w1） 到原来的1 w 倍， 纵坐标不变 圯y=sin（wx+） 纵坐标伸长 （A1） 或缩短 （0A0） 或向右 （1） 或缩短 （0A0，w0） 的单调增区间可由2k- 2 wx+ 2k+ 2 解得； 单调减区间可由2k+ 2 wx+2
13、k+ 3 2 解得 （kZ）. 对称中心横坐标由wx+=k解得， 纵坐标为0（kZ）. 对称轴 由wx+=k+ 2 解得 （kZ）. 69 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 例1方程lgx=sinx的根的个数是 （） A. 1B. 2C. 3D. 4 思路引导：对于这种形式的方程， 若 通过求解来确定根的个数， 则很难求 解， 而用图象法求解就把一个看似要 解方程的问题化为求函数图象公共点 个数的问题， 令f（x）=lgx，g（x）=sinx， 在同一坐标系中分别画 出f（x）、g（x）的简图， 两个函数
14、图象的交点个数即为原方程根的个 数， 共3个.故选C. 答案：C 例关于函数f（x）=sin 2x- 4 4? 有下列命题： 其表达式可写成f（x）=cos 2x+ 4 4?；直线x=- 8 是函数f（x ）的 图象的一条对称轴；函数f（x）的图象可由函数g（x）=sin2x的图象 向右平移 4 个单位得到；存在（0，）， 使得f（x+）=f（x+3） 恒成立.其中正确的命题是 （） A. B. C. D. 思路引导：对于f（x）=sin 2x- 4 4?， 有f（0）=- 2姨 2 ， 而对于 三、 学习方法引导 1.三角函数图象的画法一般有两种：（1） 几何法；（2） 五点法.几何法即利用
15、三角函数线来 作出正弦函数和余弦函数在 0，2 内的图象， 再通过平移得到y=sinx和y=cosx的图象.在作正 弦曲线和余弦曲线时可以发现， 有五个点在确定图象形状时起着关键的作用， 因为只要这五个点描 出后， 图象的形状就基本确定了.对正弦曲线来说， 五个关键点分别是 （0，0）， 2 ， 4? 1，（， 0）， 3 2 ，- 4? 1，（2，0）； 对余弦曲线来说， 五个关键点分别是 （0，1）， 2 ， 4? 0，（， -1）， 3 2 ， 4? 0，（2，1）.关键点分别是图象的最低点、 最高点和与x轴的交点， 在精确度要 求不太高时， 我们常常先描出这五点， 然后用光滑曲线将它们
16、连接起来， 就得到在相应区间内的正 弦函数、 余弦函数的简图， 这种方法叫做五点法. 2.由给出函数y=Asin（wx+） 图象的一段曲线及某些关键点的坐标， 求函数y=Asin（wx+） （A0，w0） 的解析式， 就是确定其中参数A、w、的值， 这类问题主要用 “五点法” 来确定其中 的系数：（1）A： 一般由图象上的最值确定； （2）w： 因为T= 2 w ， 所以往往通过周期T来确定 w.周期可通过观察特殊点求得， 如相邻两个最大值、 最小值相差半个周期；（3）： 从寻找 “五 点法” 中的第一零点- w ， 4? 0作为突破口， 要从图象的升降情况找准第一零点的位置. 二、 重要概念
17、剖析 名师经验谈：数形结合 思想是解决方程f（x）= g（x）的实数解的个数问 题的有效方法， 也就是 构造两个函数y=f（x ）及 y=g（x）， 并作其图象， 则 原方程的解即为两个函 数图象交点的横坐标. y x O 2 1 4 1 10 名师经验谈：本题全面 地考查了三角函数的有 关 性 质 ， 知 识 覆 盖 面 广， 解题时， 对每个命 题需逐一细心判断， 研 究函数y=Asin（wx+ ）的 图象和性质， 应灵活运 用所学知识和方法， 如 对 称 轴 、 对 称 中 心 知 识， 可将选项中的值代 入检验. 70 第八章三 角 函 数 f（x）=cos2x+ 4 ?， 则有f（0
18、）= 2姨 2 ， 所以错； 因为f- 8 ? =-1， 所以正确； 由f（x）=sin 2x- 4 ?=sin 2 x- 8 ?8? 可知， 函数f（x） 的图象是由函数g（x）=sin2x的图象向右平移 8 个单位得到的， 所以 错； 因为是函数f（x）的最小正周期， 可取= 2 ， 所以正确.故 选D. 答案：D 1.（2016年北京） 将函数y=sin 2x- 3 ? 的图象上的点P 4 ， ? t 向左平移s（s0） 个单位长度得到点P， 若P位于函数y=sin2x的 图象上， 则 （） A. t= 1 2 ，s的最小值为 6 B. t= 3姨 2 ，s的最小值为 6 C. t= 1
19、 2 ，s的最小值为 D. t= 3姨 2 ，s的最小值为 3 答案：A 2.（2013年山东卷 5） 将函数y=sin（2x+渍）的图象沿x轴向左平移 8 个单位后， 得到一个偶函数的图象， 则渍的一个可能取值为 （） A 3 4 B 4 C 0D - 4 答案：B 3（2013年全国大纲版卷 12） 已知函数f（x）=cosxsin2x， 下列结 论中错误的是 （） A y=f（x）的图象关于 （，0） 中心对称 B y=f（x）的图象关于x= 2 对称 C f（x）的最大值为 3姨 2 D f（x）既是奇函数， 又是周期函数 答案：C 4（2013年四川卷 5） 函数f（x）=2sin（棕x+ 渍）， 棕0，- 2 渍 2 ? 的部分图象如图所示， 则棕，渍的值分别是 （） A 2，- 3 B 2，- 6 C 4，- 6 D 4， 3 答案：A 高考命题趋势：高考试 题中三角函数的内容重 点考查三角函数的图象 与性质， 题型多以选择 题和填空题为主， 在解 题中有时与三角恒等变 换、 解三角形等知识综 合考查， 题目一般为中 低 档 难 度 ， 属 于 容 易 题. 四、 高考回眸 y Ox 2 -2 5 12 - 3 71
