1、第一章集合 知识网络 第一章集合 元素与集合的关系 属于 不属于 集合与集合的关系 集合的运算 集合的关系 集合元素的特征 确定性 集合的表示 集合的有关概念 对集合的描述 集合的分类 常用数集的符号 集合 概述： 集合概念及其基本理论称为集合论.是德国数学家康托尔在19世纪末创立的， 它是 近代数学的基础.一方面， 许多重要的数学分支， 如数理逻辑、 近世代数、 实变函数、 泛 函分析、 概率统计、 拓扑等， 都建立在集合论的基础上； 另一方面， 集合论及其反映的 数学思想， 在越来越广泛的领域中得到应用.集合语言是现代数学的基本语言， 通过学 习、 使用集合语言， 有利于学生简洁、 准确地
2、表达数学内容.学生将学会使用最基本的集 合语言表示有关数学对象， 发展运用数学语言进行交流的能力. 无序性 互异性 有限集 无限集 空集 列举法 描述法 图示法 子集 真子集 相等 交集 并集 补集 1 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO （1） 点、 线、 面是几 何中原始的、 不加定义的 概念， 集合则是集合论中 原始的不加定义的概念， 只能作描述性的说明. （2） 在理解元素与 集合的从属关系时， 要 注意集合是什么元素构 成的集合， 集合又包含 什么样的元素. （3） 判断一组对象 能否构成集合，
3、关键是 看对象是否满足集合中 元素的三个特征， 特别 是 看 是 否 满 足“ 确 定 性” .在表示一个 集 合 时 ， 要 特 别 注 意 它 的 “互异性”、“无序性”. （4） 如xx2+1=0， xR这一集合不包含 任何元素， 是一个空集. 注意集合0与芰的区别. （5） 如果一个集合 是有限集， 元素又不太 多时， 常用列 举 法.有 时集合元素较多， 但元 素呈现一定规律， 在不 致于发生误解的情况下， 也可用列举法， 其中部 分元素省略.如 ： 不 大 于100的自然数的全体 构成的集合， 可表示为 0，1，2，3， ，100. 有时， 无限集也用上述 列举法表示， 如自然数
4、集N可 表 示 为0，1， 2，3， ，n， ， 其 中n表示任一个自然数. 要点提示: 1.1集合与集合的表示方法 一、 知识图表 集 合 的 概 念 集合与元素 一般地， 把一些能够确定的不同对象看成一个整体， 就说这个 整体是由这些对象的全体构成的集合， 简称集.集合中的每一个 对象叫做这个集合的元素. 字母表示 通常用英语大写字母A、B、C表示集合， 英语小写字母a、 b、c表示元素. 元素与集合 的关系 集 合 元 素 的 特 征 确定性作为一个集合的元素， 必须是确定的. 无序性集合中的元素可以任意排列顺序. 互异性 对于一个给定的集合， 集合中的元素一定是不同的 （或说是互 异的
5、）. 有限集含有有限个元素的集合. 无限集含有无限个元素的集合. 属 于 如果a是集合A的元素， 就说a属于A， 记作aA， 读作 “a属于A”. 不 属 于 如果a不是集合A的元素， 就说a不属于A， 记作 “a埸 A”， 读作 “a不属于A”. 集 合 的 分 类 空集不含任何元素的集合， 记作芰. 集 合 的 表 示 方 法 列举法把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法. 特征性质 描述法 用集合所含元素的共有特征性质来描述， 这一表示方法叫做特 征性质描述法. 图示法 我们常用平面上封闭曲线的内部表示一个集合， 这种图形通常叫做 Venn（维恩） 图； 还常用数轴来表
6、示数集. 常 用 数 集 的 符 号 自然数集非负整数的全体构成的集合， 记作N. 正整数集在自然数集排除0的集合， 记作N鄢或N+. 整数集整数全体构成的集合， 记作Z. 有理数集有理数全体构成的集合， 记作Q. 实数集实数全体构成的集合， 记作R. 2 第一章集合 1.集合元素的确定性是指对于一个给定的集合， 它包含的元素就是确定的， 即任意给出一个 元素和一个集合， 它们之间或者是元素属于集合， 或者是元素不属于集合， 二者必居其一. 如： “高个子人的全体” 就不能形成集合.因为 “高个子” 标准不确定， 无法确定某个人是或 不是这个集合的元素. 2.集合元素的互异性是指对于一个给定的
7、集合， 它的任何两个元素都是不同的， 即集合中的 元素不重复， 两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素， 用列举法表示时也只能写一个.如 方程x2-2x+1=0的解组成的集合A， 必须写成A=1， 而不是A=1，1 . 3.用特征性质描述法表示集合的具体做法是： 在大括号内先写上表示该集合元素的一般符号 及其取值范围， 再画一条竖线 （或一个冒号或分号）， 再写出这一集合中的元素所具有的特征性质. 如： “小于2的正实数的全体” 组成的集合， 用特征性质描述法表示为： x0 x2圯x1， 有 xx2 哿 xx1 . 要点提示: AB=xxA且x B . 要点提示: （1） 规定： 空集是
8、任何一个集合的子集. 要点提示: （2）A不是B的子 集； 记作A芫B. （3）“与哿” 的区 别： 表示元素与集合之 间的从属关系，哿表示集 合与集合之间的包含关系. AB=xxA或x B . 要点提示: 4 第一章集合 运算 名称 定义记作读作Venn图性质 补 集 在研究集合与集合之间的 关系时， 如果所要研究的 集合都是某一给定集合的 子集， 那么称这个给定的 集 合 为 全 集 ， 通 常 用U 表示. 如果给定集合A是全集U 的一个 子集 ， 由U中 不 属 于A的所 有元 素 构 成 的集合， 叫做A在U中 的补集. UA A在 U中的 补集 AUA=U； AUA=芰； U（UA
9、）=A； U芰=U， UU=芰； U（AB）=UAUB； U（AB）=UAUB. UA =x x U， 且 x埸A . 要点提示: A U 续表 1. A哿B数学语言表达为： 任意xA， 则xB.这一数学语言常用来证明子集的关系. 2. A芴B的数学语言表达为： 任意xA， 则xB， 且存在x0B， 但x0埸A. 3.如图， 若集合A哿B， 则有可能A芴B， 也有可能A=B. 4.集合相等， 就是集合中的元素完全相同.对于两个有限集来说， 集合相等， 只要元素完全相 同即可， 不需要考虑元素的顺序； 而对于一个无限集来讲， 元素个数是无限个， 那就要用定义 （相 互包含关系） 来说明 （证明、
10、 判定）. 5.如图， 集合AB由AUB，BUA，AB三部分组成. 6.若AB=芰， 则存在三种可能： （1） 集合A、B均为空集；（2） 集合A、B有一个是空集；（3） 集合A，B均为非空集合， 但无相同元素. 7.全集可由我们根据研究的需要自由规定， 因此一个集合的全集 可以不止一个.若A哿B， 相对于A来说B就可以看做一个全集. 二、 重要概念剖析 B AA，B A U B A BAUBBUA 例1已知集合A=x-2x5，B=xm+1x2m-1， 若B哿A， 求实数m的取值范围. 思路引导：哿A， 需要考虑以下两种情况：（1）B=芰 时， B哿A 恒成立； （2）B芰时， 利用数轴及解集
11、中的覆盖关系来求B哿A成立的条 件. 解： 由已知A=x-2x5，B=xm+1x2m-1，B哿A分类讨论 如下： （1） 若B=芰， 则m+12m-1， 即m2， 此时B哿A. （2） 若B芰， 如图所示， 三、 学习方法引导 名师经验谈：本题集合 A是 一 个 非 空 的 数 集 合， 又B哿A， 则B有 可能是空集的情形一定 要考虑到.且记， 空集 是任何集合的子集，B哿 A时， 也不要忽视B=A 的情形， 任何集合是它 本身的子集.数集合的 子集关系及交集、 并集 运算常借助数轴直观形 象地表示出运算结果. 5 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGS
12、HI DINGLI DINGLU TUBIAO 则 m+12m-1 m+1-2 2m-1 ? ? ? ? ? ? ? ?5 ，2m3. 综上可知实数m的取值范围是mm3 . 例2已知全集U=实数对 （x，y），A=（x，y） y-2 x-1 =3 3? ，B=（x，y） y=3x-1， 则BUA为 （） A. （x，y）y=3x-1B. U C. 芰D. （1，2） 思路引导：所给集合为点集， 可借助平面直角坐标系中的图形来思 考. 解： A=（x，y） y-2 x-1 =3 3?=（x，y）y=3x-1且x1， 它表示直线 y=3x-1上除去点 （1，2） 的点的集合. UA表示点 （1，2
13、） 及直线y=3x-1外的所有点构成的集合， 而B 表示直线y=3x-1上的点的集合， BUA=（x，y）x=1，y=2=（1，2） . 选项D正确. 名师经验谈： y-2 x-1 =3 与y=3x-1是 不 同 的. 前者x1， 而后者x R.如对二者不加区分， 就错选选项C. 把握好补集概念， 在处理点集问题时， 一 定 要 注 意 数 与 形 的 结 合， 画一画图来分析. 四、 高考回眸 高考命题趋势：在高中 数学中， 集合的初步知 识， 与其他内容有着密 切联系， 它们是学习、 掌握和使用数学语言的 基础， 在每年的高考试 题中均有 一 定 的体 现. 在学习中首先应深刻理 解 和 把 握 本 章 的 知 识 点、 基本的思维方法， 学 会利用Venn图及数轴等 解题， 以真正掌握数形 结合的重要数学思想. 1.（2016年北京） 已知集合A=xx2，B=-1，0，1，2，3， 则 AB=（） A 0，1B 0，1，2 C -1，0，1D -1，0，1，2 答案：C 2.（2016年全国） 设集合A=xx2-4x+30， 则 AB=（） A-3，- 3 2 2? B-3， 3 2 22 C1， 3 2 22 D 3 2 ， 22 3 答案：D 6
