1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 知识网络 第十七章导数及其应用 导数的有关概念 基本概念 导数的概念 导数的几何意义 导数的应用 导数及其应用 常见初等函数的导数公式 导数的运算导数的运算法则 复合函数的导数 函数的单调性 函数的极值和最值 生活中的优化问题 定积分 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 概述： 导数是微积分的初步知识， 是研究函数、 解决实际问题的有力工具.学习本章要认 真理解平均变化率、 瞬时速度的概念.进一步理解导数的概念和导函数的定义， 掌握导数 的几何意义， 掌握基本
2、初等函数的导数公式和导数的四则运算法则， 认识导数的工具性及 其与实际问题的联系. 认真领会掌握依据定义求导数的方法、 求定积分的方法.深刻体会 “以直代曲”、 “以 不变代变” 和 “无限逼近” 的微积分的基本思想方法. 导数概念的核心是变化率.学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义， 对很多运 动变化问题的研究最后都会归纳为研究各式各样的函数， 导数是研究函数的有力工具. 定积分是一种特定形式的和式的极限.许多实际问题都可归结为求这种特定形式的和 式的极限.微积分基本定理揭示了导数与定积分的内在联系， 也是求定积分的有效方法. 136 第十七章导数及其应用 17.1导数的概念及其几何
3、意义 一、 知识图表 基 本 概 念 平均 变化率 一般地， 已知函数y=f（x），x0、x1是其定义域内不同的两点， 记x= x1-x0，y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+x）-f（x0）.则 当x0时 ， 商 f（x0+x）-f（x0） x = y x 称作函数y=f（x）在区间 x0，x0+x（或 x0+ x，x0） 的平均变化率. 瞬时 速度 如果物体的运动方程是s=s（t）， 物体在t0到t0+t这段时间内， 当t 0 时， s t 趋近于一个常数， 那么我们把这个常数称为t0时刻的瞬时速 度. 瞬时 变化率 设函数y=f（x ）在 x0及其附近有定义， 当自变量在x
4、=x0附近的改变 量为x时， 函数值相应地改变y=f（x0+x）-f（x0）.如果当x趋近于 0时， 平均变化率 y x = f（x0+x）-f（x0） x 趋近于一个常数l， 那么常数l 称 为 函 数f（x）在 点x0的 瞬 时 变 化 率.记 作 ：当x 0时 ， f（x0+x）-f（x0） x l.上述过程， 通常记作lim x0 f（x0+x）-f（x0） x =l. 导 数 的 概 念 导数 一般地， 函数y=f（x ）在 x=x0处的瞬时变化率是lim x0 f（x0+x）-f（x0） x =lim x0 y x ， 我们称它为函数y=f（x ）在 x=x0处的导数， 记作f（x
5、0 ）或 y ? x=x0. 导函数 的概念 如果f（x）在开区间 （a，b） 内每一点x都是可导的， 则称f（x）在区间 （a，b） 上可导.这样， 对开区间 （a，b） 内每个值x， 都对应一个确 定的导数f（x）.于是， 在区间 （a，b） 内，f（x）构成一个新的函数， 我们把这个函数称为函数y=f（x）的导函数， 记作f（x ）或 y（yx）， 简 称为导数. 导 数 的 几 何 意 义 曲线的 切线 导数的 几何 意义 切线 方程 一般地， 过曲线上一点P（x0，y0） 作 曲线的割线PQ， 当Q点沿着曲线无限 趋近于P时， 若割线PQ趋近于某一确 定的位置， 则称这一确定位置的直
6、线为 曲线y=f（x）在点P处的切线. 函数y=f（x）在点x0处的导数f（x）的几何意义是： 曲线y=f（x）上过点x0 的切线的斜率. 曲线y=f（x）上过点 （x0，f（x0） 的切线方程是：y-f（x0）=f（x） （x-x0） （1）当x0为 定 值 时， x取不同数值， 函 数平均变化率不同； 当 x取定值，x0取不同值 时， 该函数的平均变化 率也不一样. （2） 这里x，y可 为 正 值 ， 也 可 为 负 值 ， 但x0，y可以为0. （3） 在变化过程中， 时间间隔t越来越短， 能越过任意小的时间间 隔， 但始终不为0. （4） 注意区分平均 变化率与瞬时变化率的 概念，
7、瞬时变化率是在 x0到x0+x一 段 内 的 平 均变化率， 而瞬时变化 率是平均变化率的极限. （5） 导函数f（x ）与 f（x）有相同的定义域 （a， b）. （6） 并不是所有的 函数都有它的导数. （7） 在 点x =x0处 的导数的定义可变形为： f（x0）=lim x0 f（x0-x）-f（x0） -x 或f（x0）=lim xx0 f（x）-f（x0） x-x0 . （8） 要依据割线PQ 是否存在极限位置来判 定与求解.如果存在， 则 在此点有切线 （即割线 的极限位置是切线）； 如 果不存在， 则在此点处 无切线. （9）f（x0）0， 切线 的倾斜角为锐角；f（x0） 0
8、且a1）， 则f（x）=axlna. 特例： 当a=e 时， f（x）=ex， 则f（x）=ex. 对数函数 若f（x）=logax（a0且a1）， 则f（x）= 1 xlna . 特例： 当a=e 时， f（x）=lnx， 则f（x）= 1 x . 三角函数 若f（x）=sinx， 则f（x）=cosx. 若f（x）=cosx， 则f（x）=-sinx. 导数 的运 算法 则 函数和（或 差） 的求导 法则 f（x）g（x）=f（x）g（x） 两个函数的和 （或差） 的导数， 等于这两个函数的导数和 （或 差） . 积的导数 f（x） g（x）=f（x）g（x）+f（x）g（x） 两个函数的
9、积的导数， 等于第一个函数的导数乘上第二个函数 加上第一个函数乘上第二个函数的导数. 商的导数 f（x） g（x） ）? =f（x）g（x）-f（x）g（x） g（x）2 g（x）0 复合 函数 的导 数 复合函数 一般地， 由几个函数复合而成的函数， 称为复合函数.由y= f（u ）与 u=g（x）得复合函数y=fg（x）. 复合函数的 求导法则 一般地， 复合函数y=fg（x）对自变量x的导数yx， 等于已知 函数对中间变量u=渍（x）的导数yu， 乘以中间变量u对自变量x 的导数ux， 即yx=yuux. （1）lna=logea， 称 为a的自然对数， 其底 为e，e是 一 个 和仔一
10、 样重要的无理数. e=2.7182818284 （2） 若f（x）是奇函 数， 则f（x）是偶函数； 若f（x） 是 偶 函 数 ， 则 f（x）是奇函数. （3）这 里f（x ） 和 g（x）都是可导函数. （4） Cf（x）=Cf（x） （5） f（ax+b）= af（ax+b）. 要点提示: 复合函数的求导方法与步骤： 求复合函数的导数， 一般是运用复合函数的求导法则， 将问题转化为基本函数的导数解决. 分析清楚复合函数的复合关系， 即复合函数是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间 变量； 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导， 而其中特别要注意的是中间变量的系数； 根据基本函
11、数的导数公式及导数的运算法则， 求出各函数的导数， 并把中间变量转换成自变 量x的函数. 二、 重要概念剖析 139 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 例求下列函数的导数. （1）y=（3x-2）2；（）y=ln（6x+4）； （3）y=e2x+1；（）y=x2-1 姨. 思路引导： 解： （1）y=u2，u=3x-2， yx=yuux=2u3=6u=6（3x-2）=18x-12. （2）y=lnu，u=6x+4， yx=（lnu）uux= 1 u 6= 6 6x+4 = 3 3x+2 . （3）y=e2
12、x+1（2x+1）=2e2x+1. （4）y= 1 2x2-1姨 （x2-1）= 2x 2x2-1姨 = x x2-1姨 . 三、 学习方法引导 四、 高考回眸 （2009 辽宁） 曲线y= x x-2 在点 （1，-1） 处的切线方程为 （ ） A. y=x-2B. y=-3x+2 C. y=2x-3D. y=-2x+1 答案：D 17.3导数的应用 一、 知识图表 名师经验谈：（1） 分 析清楚复合函数的复合 关系是关键. （2） 中间变量的系 数变化是易错点. 高考命题趋势：导数的 四则运算及导数的几何 意义是高考的热点.对 该类问题的易错点要保 持警觉. （1） 如果在 （a，b） 内
13、恒有f （x）=0， 那 么 f（x）在 （a，b） 内是常数. （2） 若在某区间 上 有有限个点使f（x）=0， 在其余的点恒有f（x）0， 则f（x）仍为增函数 （减函 数的情况完全类似）. 要点提示:利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 利用导数判 断函数单调 性的法则 1.如果在 （a，b） 内，f（x）0， 则f（x）在此区间是增函数，（a，b） 为f（x）的单调增区间； 2.如果在 （a，b） 内，f（x）0是f（x）在此 区间上为增函数的充分 不必要条件. （3） 按 定 义 ， 极 值 点x0是 （a，b） 内部的 点， 不会是端点. （4） 极 值 是 一 个 局
14、 部性概念， 只要在一个 小领域内成立即可. （5） 若f（x）在 （a，b） 内有极值， 那么f（x ）在 （a，b） 内绝不是单调函 数， 即在区间上单调的 函数没有极值. （6） 若函数f（x ）在 （a，b） 上 有 极 值 且 连 续， 则它的极值点在分 布上是有规律的， 极大 值和极小值是交替出现的. （7） 函 数 的 最 大 值 和最小值是一个整体性 概念， 是比较整个定义 域 内 的 函 数 值 得 出 的 ， 函数的极大值和极小值 是比较极值点附近的函 数值得出的. （8） 函 数 的 极 值 可 以有多个， 但最值只能 有一个； 极值只能在区 间内取得， 最值则可以 在端
15、点取得； 有极值的 未必有最值， 有最值的 未必有极值； 极值有可 能为最值， 最值能在极 值点或端点取得. （9） 闭 区 间 上 的 连 续函数一定有最值， 开 区间内的可导函数不一 定有最值. 函 数 的 极 值 函数极值 已知函数y=f（x）， 设x0是定义域 （a，b） 内任一点， 如果对x0附近 的所有点x， 都有f（x）f（x0）， 则称函数f（x）在点x0处取极小值， 记作y极小=f（x0）， 并把x0称为函数f（x）的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 极大值点与极小值点统称为极值点. 求可导函数 f（x）极值的 步骤 （1） 求导数f（x）； （2） 求f（x）=0
16、的所有实数根； （3） 检查f （x）在方程根左右的值的符号.如果左正右负， 那么 f（x）在这个根处取得极大值； 如果左负右正， 那么f（x）在这个根 处取得极小值. 如果左右同号， 那么f（x）在这个根处的函数值不是极值. 特别注意：f（x）无意义的点也要讨论. 函数的最大 值与最小值 一般地， 在闭区间 a，b 上的连续函数f（x）必有最大值与最小 值.在开区间 （a，b） 内的连续函数f（x）不一定有最大值与最小值. 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 求函数最值 的步骤 设函数f（x）在 a，b 上连续， 在 （a，b） 内可导， 求f（x ）在 a，b 上最大值和最小值的步骤：
17、 （1） 求f（x）在 （a，b） 内的极值； （2） 将f（x）的各极值与f（a），f（b） 比较， 其中最大的一个是最 大值， 最小的一个是最小值. 生 活 中 的 优 化 问 题 常见的优化 问题 生活中经常遇到求利润最大、 用料最省、 效率最高等问题， 这些 问题通常称为优化问题. 解决优化问 题的步骤 （1） 分析实际问题中各量之间的关系， 列出实际问题的数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）； （2） 求函数的导数f（x）， 解方程f（x）=0； （3） 比较函数在区间端点和使f（x）=0的点的数值的大小， 最大 （小） 者为最大 （小） 值. 步骤图解 如何把实
18、际问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式是解实际 问题的难点. 续表 实际优化问题用函数表示的数学问题 优化问题的答案用导数解决数学问题 141 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 例1求下列函数的单调区间： （1）f（x）=x-lnx；（）f（x）=x+ 1 x . 思路引导： 解： （1） 由已知，f（x）的定义域是 （0，+）， f（x）=x-lnx， f（x）=1- 1 x = x-1 x . 由f（x）0， 得x1. f（x）的增区间为 （1，+）. 由f（x）0， 得0 x0， 得x1. f（x
19、）的增区间是 （-，-1），（1，+）. 由f（x）0， 得-1x0 时， xln（1+x）. 思路引导：证明： 设f（x）=x-ln（1+x）. 当x0 时， f（x）=1- 1 1+x = x 1+x 0， 三、 学习方法引导 名师经验谈：（1） 求 函数的单调性， 要确定 函数的定义域. （2） 在对函数划分 单调区间时， 除了确定 使导数为零的点外， 还 要注意在定义域内不连 续和不可导点. （3） 若函数f（x ）在 （x1，x2），（x3，x4） 内有 相同的单调性， 则f（x） 在 （x1，x2）（x3，x4 ） 上 不一定是单调函数. 因此， 对于可导函数， 导数为0是点为极值
20、点的必要而不充分条件. （2） 函数的导数不存在的点也可能是极值点. 如函数f（x）=x， 在x=0处取得极小值， 但f（0）不存在. 3.导数的应用常见题型. （1） 证明不等式： 要证明不等式f（x）g（x），x（a，b）， 可以转化为证明f（x）-g（x）0， 进而构造函数F（x）=f（x）- g（x）， 证明F（x）min0， 即 f（x）g（x）圳f（x）-g（x）0圳f（x）-g（x）min0. （2） 求参数的范围 （或参数的值）： 求函数y=f（x）的单调增区间、 减区间分别是解不等式f（x）0，f（x）0 时， f（x）f（0）=0. x-ln（1+x）0， 即xln（1+x
21、）. 例3已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t）， 若函数f（x）=ab在区间 （-1，1） 上是增函数， 求t的取值范围. 思路引导：解： 解法一： f（x）=ab=-x3+x2+tx+t， f（x）=-3x2+2x+t. 函数f（x ）在 x（-1，1） 上恒成立， 即t3x2-2x， 在 （-1，1） 上恒成立. 令g（x）=3x2-2x，x（-1，1），g（x） - 1 3 ，5? ? . 故要使t3x2-2x在区间 （-1，1） 上恒成立， 只需t5， 即所求t的取值范围为：t5. 解法二： 同上 f（x）在区间 （-1，1） 上是增函数， f（x）0在 （-1，1） 上恒
22、成立. f（x）的图象是开口向下的抛物线， 当且仅当f（1）=t-10且f（-1）=t-50 时， 即t5 时， f（x）在区间 （-1，1） 上满足f（x）0， 故t的取值范围是t5. 例4在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起， 做成一个无盖的方底箱子， 箱底的边长是 多少时， 箱子的容积最大？ 最大容积是多少？ 思路引导：解： 设箱高为x cm， 则箱底边长为 （60-2x）cm， 则得 箱子容积V是x的函数， V（x）=（60-2x）2x（0 x30） =4x3-240 x2+3600 x， V（x）=12x2-480 x+3600， 令V（x）
23、=0， 得x=10或x=30（舍去）， 当0 x0， 当10 x30 时， V（x）g（x ）的 步骤： （1） 构造函数F（x） = f（x）-g（x）； （2） 求 函 数F（x） 的最值； （3） 证明结论. 名师经验谈：求参数取 值范围常用方法有： （1） 参变分离法转 化为函数的最值问题. 常见两种恒成立： af（x）恒成立圳 af（x）max； af（x）恒成立圳 af（x）有解圳a f（x）min； af（x）有解圳a0在 （a，b） 上 恒 成 立圳 f（a）0 f（b） 0 . 名师经验谈：（1） 一 定要考虑实际问题的意 义， 不符合实际意义的 值应舍去. （2） 若函数在
24、区间 内是单峰函数 （只有一 个极值）， 则不用与端 点比较， 也可以知道这 就是最大值. 高考命题趋势：导数作 为新教材增加的内容， 高考强调导数与函数、 不 等 式 、 数 列 以 及 向 量、 圆锥曲线等主干知 识点的整合. 143 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 17.4定积分与微积分基本定理 一、 知识图表 定 积 分 概 念 定积分 的概念 设函数f（x）在区间 a，b 上连续， 在区间上用分点：a=x0 x1x2 xixn=b， 把 a，b 分成n个小区间， 其长度依次为xi=xi+1-x
25、i，i= 0，1，2， ，n-1， 记姿为这些小区间长度的最大者， 当姿趋近于0 时， 所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点孜i， 记和 式In= n-1 i=0 移f（孜i）xi， 当姿0时， 如果和式的极限存在， 我们把和式In的极限叫做函数 f（x）在区间 a，b 上的定积分. 记作 b a 乙f（x）dx. 即 b a 乙f（x）dx=lim 姿0 n-1 i=0 移f（孜i）xi， 其中f（x）叫做被积函数，a叫做积分下 限， b叫积分上限，f（x）dx叫做被积式， 此时称函数f（x）在区间 a， b 上可积. 定积分 的几何 意义 定积分 的性质 定积分 b a 乙f
26、（x）dx 在几何上表示由曲线y=f（x）（f（x）0） 与直线x=a， x=b及x轴所围平面曲边梯形的面积. （1） b a 乙kf（x）dx=k b a 乙f（x）dx （k为常数） （2） b a 乙 f（x）f2（x）dx= b a 乙f1（x）dx b a 乙f2（x）dx （3） b a 乙f（x）dx= c a 乙f（x）dx+ b c 乙f（x）dx （其中acb） 微 积 分 基 本 定 理 微积分 基本定 理 如果F（x）=f（x）， 且f（x）在 a，b 上可积， 则 b a 乙f（x）dx=F（b）-F（a）=F（x） b a 其中F（x）叫做f（x）的一个原函数. 定
27、 积 分 的 应 用 求几何 图形的 面积 一般地， 若平面区域是x-区域， 由上曲线y=f（x）， 下曲线y=g（x）， 左 直线x=a， 右直线x=b所围成， 则其面积公式为： S= b a 乙f（x）-g（x）dx 若平面区域是y-区域， 由左曲线x=g（y）， 右曲线x=f（y）， 上直线y= b， 下直线y=a所围成， 则其面积公式为： S= b a 乙f（y）-g（y）dy （1） 关 于 区 间 a， b 的分法是任意的， 不 一定等分， 只要保证每 一个小区间的长度都趋 近于0就可以， 采用等 分的方式是为了便于求和. （2） 关于孜i的取法也 是任意的， 实际用定积分 定义计
28、算积分时为了方 便， 常把孜i都取为每个小 区间的右 （或左） 端点. （3） 图中阴影部分类 似于一个梯形， 但有一边 是曲线y=f（x）的一段， 我们 把由直线x=a，x=b（a b），y=0和曲线y= f（x ）所 围成的图形称为曲边梯形. （4） 若f（x）在 a，b 上变号， 则 b a 乙f（x）dx 表 示曲线y=f（x）与直线x= a，x=b及x轴所围平面 图形面积的代数和， 即x 轴上方的图形减去x轴 下方的图形面积就是定 积分 b a 乙f（x）dx 的值. b a 乙f（x）dx=S1-S2+S3. （5） 定积分 b a 乙f（x）dx 是一个常数. 要点提示: y x
29、 O ab y=f(x) + -a b S1 S2 S3 c d y x O ab y=g(x) y=f(x) x-区域y-区域 y x O x=f(y) x=g(y) 144 第十七章导数及其应用 变速 运动 如果变速运动的物体的速度v关于时间t的函数是V=v（t） v（t）0， 那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为 s= b a 乙v（t）dt. 变力 做功 物体在变力F（x）的作用下， 沿与力F（x）相同方向从x=a到x=b所做的 功为 W= b a 乙F（x）dx. 1.用定义求定积分的步骤： 分割： 等分区间 a，b；近似代替： 取点孜ixi-1，xi；求和： n i=1 移f
30、（孜i） b-a n ；取极 限： b a 乙f（x）dx=lim x0 n i=1 移f（孜i） b-a n . 2.利用微积分基本公式求定积分的步骤： 求f（x）的一个原函数F（x）； 若F（x ）是 f（x）的一个原函数， 则F（x）+C也是f（x）的原函数 （C为常数）. 计算F（b）-F（a）. 3.求平面图形面积的一般步骤： 画出图形， 将其适当分割成若干个曲边梯形； 对每个曲边梯形确定被积函数被积变量与积分上下限， 用定积分表示其面积； 计算各个定积分， 求出所求的面积. 关键环节：认定曲边梯形， 选定积分变量； 确定被积函数与积分上、 下限. 二、 重要概念剖析 例1试用定积分
31、的几何意义计算 2 0 乙 4-x2姨dx的值. 思路引导：解： 由定积分的几何意义可知： 2 0 乙 4-x2姨dx的值就是y=4-x2 姨 在 0，2 上的图象与x轴围成图 形的面积. 所以 2 0 乙 4-x2姨dx=仔. 例2求曲线xy=1及直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积. 思路引导：解： 由 xy=1 y= = x 得交点A（1，1）， 同理B（3，3），C 1 3 ， ，? 3 . 方法一： 以x为积分变量， 三、 学习方法引导 （6） 关于函数可积性： 设f（x）在 a，b 上连续或f（x）在 a，b 上有定义且有界或只有 有限个间断点， 则f（x） 在a，b上 定 积
32、 分 b a 乙f （x）dx存在. 名师经验谈：当利用定 积分的定义或微积分基 本定理来求某一定积分 不易进行时， 可以根据 几 何 意 义 来 计 算 定 积 分， 其关键是将被积函 数的图象在坐标系中画 出来. 名师经验谈：求两曲线 围成的平面图形的面积 的一般步骤： （1）作 出 示 意 图 （弄清相对位置关系）； 续表 145 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 四、 高考回眸 （2008 宁夏、 海南） 由曲线x= 1 2 ，x=2， 曲线y= 1 x 及x轴所围图 形的面积为. A. 15 4
33、 B. 17 4 C. 1 2 ln2D. 2ln2 答案：D 则S= 1 1 3 乙 3- 1 x x?dx+ 3 1 乙（3-x）dx =（3x-lnx） 1 1 3 + 3x- 1 2 x xx 2 3 1 =4-ln3. 方法二： 以y为积分变量 则S= 3 1 乙 y- 1 y yxdy= 1 2 y2-ln xx y 3 1 =4-ln3. A B C y x O y=x xy=1 y=33 1 1 高考命题趋势：定积分 的几何意义是高考考查 的热点， 求曲边三角形 的面积是考查的重点. （2） 求交点坐标： （确定积分的上限下限）； （3） 确定被积分变 量及被积函数； （4） 列式求积分. 146
