1、函数压轴小题之双层最值问题 双层最值问题，就是以最值的最值形式出现，考查对应函数性质，主要考查方向为函 数图象、函数单调性、基本不等式应用、数学思想方法以及函数解析式，题型背景较新，综 合要求较高. 类型一类型一二次函数双层最值问题二次函数双层最值问题 典例 1 函数)(xf满足 22 )2(2)(axaxxf，8)2(2)( 22 axaxxg.设 )(),(max)( 1 xgxfxH，)(),(min)( 2 xgxfxH（),max(qp表示qp,中的较大值， ),min(qp表示qp,中的较小值） ，记)( 1 xH的最小值 为A，)( 2 xH的最大值为B，则 BA_ 【解析】 令
2、 h（x）=f（x）-g（x）=x 2 -2（a+2）x+a 2 -x 2 +2（a-2）x-a 2 +8=2x 2 -4ax+2a 2 -8=2（x-a） 2 -8 由 2（x-a） 2 -8=0，解得 x=a2，此时 f（x）=g（x） ； 由 h（x）0，解得 xa+2，或 xa-2，此时 f（x）g（x） ； 由 h（x）0，解得 a-2xa+2，此时 f（x）g（x） 综上可知： （1）当 xa-2 时，则 H1（x）=max f（x） ，g（x）=f（x）=x-（a+2） 2 -4a-2， H 2（x）=minf（x） ，g（x）=g（x）=-x-（a-2） 2 -4a+12， （
3、2）当 a-2xa+2 时，H1（x）=maxf（x） ，g（x）=g（x） ，H2（x）=minf（x） ，g （x）=f（x） ；高中资料分享 QQ 群：608396916 （3）当 xa+2 时，则 H 1（x）=maxf（x） ，g（x）=f（x） ， H 2（x）=minf（x） ，g（x）=g（x） ， 故 A=g（a+2）=-（a+2）-（a-2） 2 -4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12， A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16 【点睛】实际考查函数图象 类型二类型二分式函数双层最值问题分式函数双层最值问题 典例 2 设函数 2 ( )sin(,) 3
4、sin f xxm xR mR x 最大值为( )g m,则( )g m的最小值为 _. 【解析】 因为 223 sinsin33 , 3sin3sin2 xmxmm m xx ， 所以 33 |,| |, 3 24 ( )max|,| 33332 |,| |, 2224 mmmm m g mmm mmmmm ， 因此( )g m的最小值为 3 4 高中资料分享 QQ 群：608396916 【点睛】实际考查函数单调性或基本不等式应用 类型三类型三实际应用函数双层最值问题实际应用函数双层最值问题 典 例 3已 知ABC面 积 为1,D E分 别 在 边,AC BC上 ,DEAB连BD, 设 ,
5、DCEDBEDBA的面积分别为 123 ,S SS, 123 max(,)yS SS,则 min y_. 【解析】 123 1SSS，由题意得 32 SS，所以当 13 SS时， min y， 根据相似得 22 1111 1 121 35 ()() 1112 SSSS S SSS ，即 min y 35 2 【点睛】实际考查函数关系高中资料分享 QQ 群：608396916 类型四类型四多元变量函数双层最值问题多元变量函数双层最值问题 典例 4. 设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于 1，且x1x2x3x4x5=729，则 maxx1x2，x2x3， x3x4，x4x5的最小值是_ 【解
6、析】 由 12 34 45 hx x hx x hx x ，所以 32 123454 729729hx x x x xx 当1, 9 42531 xxxxx时等号成立，所以最小值为9 【点睛】实际考查思想方法高中资料分享 QQ 群：608396916 典型练习：典型练习： 1. 设0,0ab， 22 min , b ha ab ，其中min , x y表示, x y两数中最小的一个数， 则h的最大值为. 【解析】 因为 22 min , b ha ab ，所以 2 2222 12 0,0 22 bb hahhah abab . 2已知yx,是正数，且 1 , 1 ,min)(y xy xxF，
7、则函数)(xF的最大值为_. 【解析】 由题意得 11111 0( ),0( ),0( ), ( )( ) F xxF xF xyy yxxF xF x ， 2 11 ( )( )2,( )2,( )2 ( )( ) max F xFxF xF x F xF x 3已知yx,是正数，且, 1 , 1 max)( 22 yx yx xF，则函数)(xF的最小值为_. 【解析】 由题意得 22 11 0( ),0( ),0( )F xF xxyF x xy ，所以 22 3( ) xy Fx xy ， 因为 22 2 xy xy ，所以 333 min ( )2,( )2,( )2.FxF xF
8、x 4. 已知yx,是区间1 , 0内的两个实数， 把 1 2 ,2 ,2 yyxx 的最小值记为),(yxF， 则),(yxF 的最大值为_. 【解析】 因为 1 2 ,2 ,2 yyxx 的最小值记为),(yxF， 所以 1 2( , )0,2( , )0,2( , )0 xx yy F x yF x yF x y 1313 3 1 2 22( , )0,2( , )0,( , ) 2 xx yy Fx yFx yF x y 5. 对任意实数ba,，不等式Cbbaba2016,max恒成立，则C的最大值为 _. 【解析】 设max, 2016ababbm，所以, 2016abm abmbm
9、， 因为 11 2016|2016| 2016 2222 abab ababbb ， 所以 11 2016,1008. 22 mmmm从而C的最大值为 1008. 6.,maxcba为cba,中的最大值，令2,21,21maxbbabaM，则对任 意实数Mba,的最小值为_. 【解析】 因为2,21,21maxbbabaM，所以 12 ,12 ,2Mab Mab Mb， 因为 4 612124 212(12 )4(2)8 3 MababbababbM ， 从而M的最小值为 3 4 高中资料分享 QQ 群：608396916 7. 已知abc， ，均为正实数，记 11 max a Mbbcc a
10、cab ，则M的最小值为 _. 【解析】 1111 max, aa MbbccbMbcMcM acabacab ， 2 111 ()()2242 a MbcabcM acbabc ,等于号可以在1abc时取 得，M 的最小值为 2高中资料分享 QQ 群：608396916 8.设 实 数x1，x2，x3，x4，x5均 不 小 于 0 ， 且x1+x2+x3+x4+x5=1 ， 则 ,max 54433221 xxxxxxxx的最小值是_ 【解析】 设 12233445 max,xx xx xx xxm，则 12233445 ,xxm xxm xxm xxm， 1234454 1 3013 , 3 xxxxxxmxm m ，即 ,max 54433221 xxxxxxxx的最小值是 3 1 高中资料分享 QQ 群：608396916
