1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 8三角函数概念及诱导公式三角函数概念及诱导公式 玩前必备 1角的概念 (1)任意角： 角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始的 射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点； 角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条 射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角 (2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是 S|k360，kZ 注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差 360的整数倍. (3)象限角与
2、轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第 几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为 轴线角 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做 弧度制弧度的单位符号是“rad” ，读作“弧度” （用弧度制表示角时，rad 常常省略不写） 如果半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l，那么角的弧度数的绝对值是|l r.正角的弧度数是正数，负 角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 180 ra
3、d，1 rad 180 . (3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：S1 2lr 1 2|r 2. 3任意角的三角函数 （1）单位圆定义：任意角的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin y，cos x，tan y x(x0) （2）比值式定义：设 P(x，y)是角终边上任意一点，且|OP|r(r0)，则 sin y r，cos x r，tan y x.它 们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数. 注意：三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan y x，但若不是单位圆 时，设|OP|r，则 sin y r，cos x r，tan y x.
4、（3）三角函数值在各象限的符号： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 记忆口诀： “一全正，二正弦，三正切，四余弦” ，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值为 正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值. 4同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：sin cos tan . 5.诱导公式 角 函数 2k (kZ) 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 统
5、一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”， 对于角“k 2 ”(kZ)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时，正 弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变”“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当 为锐角时，原函数值的符号” 玩转典例 题型题型一一扇形面积公式与弧度制扇形面积公式与弧度制 例例 1已知一扇形的圆心角为60，所在圆的半径为 R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. 解析设弧长为 l，弓形面积为 S弓，则 60 3，R10，l 310 10 3 (cm)， S弓S扇S1 2 10 3 101 210 2sin 3 5
6、0 3 50 3 2 50 3 3 2(cm2) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 玩转跟踪 1. （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）九章算术 是我国古代数学名著， 其中有这样一个问题:“今 有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积 多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇 形的圆心角的弧度数是（） A 4 15 B 15 8 C 15 4 D120 【答案】C 【解析】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4， 再由扇形的弧长公
7、式，可得扇形的圆心角 3015 84 l r （弧度） ，故选 C. 2.（20202020 届山东省烟台市高三模拟）刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典 数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分 成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割 圆术的思想，得到sin2的近似值为（） A 90 B 180 C 270 D 360 【答案】A 【解析
8、】由割圆术可知当 n 变得很大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为 360 n ,所以每个等腰三角形的面积为 2 1360 sin 2 r n , 所以圆的面积为 22 1360 sin 2 rnr n ,即 3602 sin nn , 所以当180n 时,可得 3602 sinsin2 18018090 ,故选:A 题型二题型二三角函数的定义三角函数的定义 例例 2 (2020青岛模拟)已知角的终边与单位圆的交点为 P 1 2，y，则 sin tan 等于() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 A 3 3 B 3 3 C3 2 D3 2
9、 【答案】C 【解析】由 OP21 4y 21，得 y23 4，y 3 2 . 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，此时，sin tan 3 2. 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，此时，sin tan 3 2.所以 sin tan 3 2. 例例 3 (2020威海模拟)已知角的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 4 5，则 m 的值为( ) A1 2 B. 1 2 C 3 2 D. 3 2 【答案】B 【解析】r 64m29，cos 8m 64m29 4 5，m0， 4m2 64m29 1 25，即 m 1 2. 例例 4 (2020日照模拟)若
10、 sin tan 0，且cos tan 0，则角是( ) A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角 【答案】C 【解析】由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，从而角为第二或第三象限角 由cos tan 0，则() Asin 0Bcos 0Csin 20Dcos 20 答案C 解析排除法，取= 3 ，满足 tan 0，但 cos 20，否定 D； tan 0， k，k 2 (kZ)是第一、三象限角 sin ，cos 都可正、可负，排除 A，B. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 故选 C 题型题型三三同角三角函数关系应用同角三角函数关系应用 例例 5（2018全国）已知为
11、第二象限的角，且 3 tan 4 ，则sincos() A 7 5 B 3 4 C 1 5 D 1 5 【答案】C 【解析】 sin3 tan cos4 ， 22 sincos1， 又为第二象限的角，sin0，cos0， 联立，解得 3 sin 5 ， 4 cos 5 ，则 1 sincos 5 故选C 例例 6(1)已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2_. (2)已知 tan 2，则 sin cos . 答案(1)4 5 (2)2 5 解析(1)sin2sin cos 2cos2sin 2sin cos 2cos2 1 sin 2sin cos 2cos2 sin2cos
12、2 tan 2tan 2 tan21 422 41 4 5. (2)sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 2 221 2 5. 玩转跟踪 1(福建，6)若 sin 5 13，且为第四象限角，则 tan 的值等于() A.12 5 B12 5 C. 5 12 D 5 12 解析sin 5 13，且为第四象限角，cos 12 13， tansin cos 5 12，故选 D. 答案D 2.（2016新课标）若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin2() A 64 25 B 48 25 C1D 16 25 【答案】A 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】 3
13、 tan 4 ， 2 2 222 3 14 cos4sincos14tan64 4 cos2sin2 9 sincostan125 1 16 故选：A 3.（2019全国）已知tan2A ，则 2 sin2 ( 1cos2 Acos A A ) A 3 2 B 5 2 C3D5 【答案】B 【解析】tan2A ，则 22 2 sin22sincos2tan15 1cos2222 Acos AAAcos AA Acos A 题型题型四四三角函数诱导公式的应用三角函数诱导公式的应用 例例 7（2020桥东区校级模拟）已知角终边上一点 P(4,3)，则 cos 2sin cos 11 2 sin 9
14、 2 的值为_ 答案3 4 解析原式sin sin sin cos tan ，根据三角函数的定义得 tan 3 4. 例例 8(1) cos 52 3 _ (2) 已知 cos 6 3 3 ，求 cos 5 6 _ 答案(1)1 2 (2) 3 3 解析(1) cos 52 3cos52 3 cos(17 3)cos 3 1 2. (2) 6 5 6 ，5 6 6. cos 5 6 cos 6cos 6 3 3 ，即 cos 5 6 3 3 . 玩转跟踪 1已知( 2，)，tan 3 4，则 sin()( ) A. 3 5 B. 3 5 C. 4 5 D. 4 5 玩转数学培优题型篇安老师培优
15、课堂 答案B 解析由题意可知 sin cos 3 4 sin2cos21 ，由此解得 sin2 9 25，又( 2，)，因此有 sin 3 5，sin() sin3 5，故选 B. 2.化简：tan ()cos(2)sin 3 2 cos()sin() . 解析原式 tan cos cos cossin tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1. 玩转练习 1已知角( 2，0)，cos 2 3，则 tan( ) A. 5 3 B. 13 13 C. 5 13 D. 5 2 答案D 解析( 2，0)，cos 2 3，sin 1cos 2 5 3 ， tansin
16、 cos 5 2 ，故选 D. 2. 已知 cos tan 0，那么角是() A第一或第二象限角 B第二或第三象限角 C第三或第四象限角 D第一或第四象限角 答案C 解析易知 sin 0B. cos2900C. tan1700D. tan3000 答案C 解析170为第二象限角，tan 1700，选 C. 4(大纲全国，2)已知角的终边经过点(4，3)，则 cos() A.4 5 B.3 5 C3 5 D4 5 解析记 P(4，3)，则 x4，y3，r|OP| （4）2325，故 cosx r 4 5 4 5，故选 D. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 答案D 5(江西，14)已知角的顶点为
17、坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若 P(4，y)是角终边上一点，且 sin 2 5 5 ，则 y_ 解析由题意，在第四象限，于是由2 5 5 sin y 16y2，解得 y8. 答案8 6若 cos 3 2 ，且角的终边经过点 P(x，2)，则 P 点的横坐标 x 是() A2 3B2 3C2 2D2 3 答案D 解析r x222，由题意得 x x222 3 2 ，x2 3.故选 D. 7一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为() A. 3 B. 2 3 C.3D.2 答案C 解析由题意可知圆内接正三角形的边长为3R，则圆心角的弧度数为 3R R 3. 8(四川，13)
18、已知 sin2cos0，则 2sincoscos2的值是_ 解析sin2cos0，sin2cos，tan2， 又2sincoscos22sin coscos2x sin2cos2 2tan 1 tan21 ， 原式2（2）1 （2）21 1. 答案1 9.(2020佛山质检)已知 2，且 cos 5 13，则 tan 2 cos等于( ) A.12 13 B12 13 C.13 12 D13 12 答案C 解析 2，且 cos 5 13，sin 1cos 212 13， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 则tan 2 cos cos sin cos 1 sin 13 12. 10已知 tan
19、2，则sin 2sin cos 2cos2 的值为() A.1 2 B1C1 2 D1 答案B 解析tan 2，sin 2sin cos 2cos2 tan 2tan 2 42 2 1. 11(2020菏泽检测)已知 sin 23 5， 0， 2 ，则 sin()等于() A.3 5 B3 5 C.4 5 D4 5 答案D 解析由已知 sin 23 5，得 cos 3 5， 0， 2 ，sin 4 5， sin()sin 4 5. 12(2020湖南省岳阳一中模拟)已知 sin xcos x 31 2 ，x(0，)，则 tan x 等于() A 3 3 B. 3 3 C. 3D 3 答案D 解
20、析由题意可知 sin xcos x 31 2 ，x(0，)，则(sin xcos x)242 3 4 ，因为 sin2xcos2x1， 所以 2sin xcos x 3 2 ，即 2sin xcos x sin2xcos2x 2tan x tan2x1 3 2 ，得 tan x 3 3 或 tan x 3.当 tan x 3 3 时， sin xcos x0，不合题意，舍去，所以 tan x 3.故选 D. 13.（2020石家庄一模）已知 13 tan4( ,) tan2 ，则sincos() A 6 2 B 6 2 C 6 3 D 6 3 【解答】解： 1 tan4 tan ， 2 tan4tan10 ，解得tan23， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 又 3 ( ,) 2 ，tan23，sin0，cos0， 222 sincostan1 sincos 14sincostan ， 2 13 (sincos)12 42 ， 6 sincos 2 ，故选：B
