1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 9三角三角恒等变换恒等变换 玩前必备 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()sin cos cos sin (S() sin()sin cos cos sin (S() cos()cos cos sin sin (C() cos()cos cos sin sin (C() tan() tan tan 1tan tan (T() tan() tan tan 1tan tan (T() 2二倍角公式 sin 22sin cos (S2) c
2、os 2cos2sin22cos2112sin2 (C2) tan 2 2tan 1tan2 (T2) 3公式的变形和逆用 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等常见变形 如下： 降幂公式：cos21cos 2 2 ，sin21cos 2 2 ， 升幂公式：1cos 22 cos2，1cos 22sin2 1cos 2cos2 2，1cos 2sin 2 2. 正切和差公式变形： tan tan tan()(1tan tan )， tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1. 配方变形：1sin (sin 2cos 2) 2
3、， 1sin (sin 2cos 2) 2. 4辅助角公式 asin bcos a2b2sin()，其中 tan b a. 玩转典例 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 题型题型一一两角和与差公式两角和与差公式 例例 1（2017全国）cos20 cos25sin20 sin25( ) A 2 2 B 1 2 C0D 2 2 【答案】A 【解析】因为cos20 cos25sin20 sin25cos(2025 ) 2 2 故选：A 例例 2(2020青岛调研)已知 tan()2 5，tan
4、 4 1 4，那么 tan 4 等于() A. 13 18 B. 13 22 C. 3 22 D. 1 6 答案C 解析因为 4 4，所以 4() 4 ，所以 tan 4 tan 4 tantan 4 1tantan 4 3 22. 例例 3设，都是锐角，且 cos 5 5 ，sin()3 5，则 cos . 答案 2 5 25 解析依题意得 sin 1cos22 5 5 ，因为 sin()3 5， 所以 2，所以 cos()4 5.于是 cos cos() cos()cos sin()sin 4 5 5 5 3 5 2 5 5 2 5 25 . 玩转跟踪 1（2017 北京）在平面直角坐标系
5、 xOy 中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 1 sin 3 ，则cos( ) =_ 【解析】角与角的终边关于y轴对称，所以2k， 所以 1 sinsin(2)sin 3 k，coscos ； 222 cos()coscossinsincossin2sin1 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2 17 2 ( )1 39 2.已知 cos 1 3，cos() 1 3，且， 0， 2 ，则 cos()的值等于() A1 2 B. 1 2 C1 3 D. 23 27 答案
6、D 解析 0， 2 ，2(0，)cos 1 3，cos 22cos 217 9， sin 2 1cos224 2 9 ，而， 0， 2 ，(0，)， sin() 1cos22 2 3 ， cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin() 7 9 (1 3) 4 2 9 2 2 3 23 27. 3.（2020全国 3 卷）已知 2tantan(+ 4 )=7，则 tan=（） A. 2B. 1C. 1D. 2 【答案】D 【解析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案. 【详解】2tantan7 4 ， tan1 2tan7 1 tan ， 令tan ,1
7、tt，则 1 27 1 t t t ，整理得 2 440tt ，解得2t ，即tan2.故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. 题型题型二二二倍角公式二倍角公式 例例 4已知 sin 2 5 13， 4 2，求 sin 4，cos 4，tan 4的值. 解由 4 2，得 22.又因为 sin 2 5 13，cos 2 1sin 22 1 5 13 212 13. 于是 sin 42sin 2cos 22 5 13 12 13 120 169； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料
8、关注公众号玩转高中数学研讨 cos 412sin2212 5 13 2119 169；tan 4 sin 4 cos 4 120 169 119 169 120 119. 例例 5（2020全国 1 卷）已知()0,，且3cos28cos5，则sin（） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 【答案】A 【解析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角 间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos5，得 2 6cos8cos80 ， 即 2 3cos4cos40 ，解得 2 cos 3 或cos2（舍去）， 又 2
9、 5 (0, ),sin1cos 3 .故选：A. 例例 6（2020江苏卷）已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是_. 【答案】 1 3 【解析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 22 221 sin ()(cossin)(1 sin2 ) 4222 Q 121 (1 sin2 )sin2 233 ,故答案为： 1 3 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 玩转跟踪 1.（2019 全国）已知(0， 2 )，2sin 2=cos 2+1，则 sin = A 1 5 B 5 5 玩转数学培优题型篇安老师培优课
10、堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 C 3 3 D 2 5 5 解析：由2sin2cos21，得 2 4sincos2cos . 因为 0, 2 ，所以cos2sin.由 22 cos2sin sincos1 ，得 5 sin 5 .故选 B. 2.2.（2020浙江卷）.已知tan2，则cos2_； tan() 4 _ 【答案】(1). 3 5 - -(2). 1 3 【解析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2，根据两角差正切公式得tan() 4 【详解】 2222 22 2222 cossin1tan1 23
11、cos2cossin cossin1tan125 ， tan12 11 tan() 41tan123 ，故答案为： 3 1 , 5 3 题型题型三三化简公式综合应用化简公式综合应用 例例 6(2014 江苏)已知), 2 ( ， 5 5 sin (1)求) 4 sin( 的值； (2)求)2 6 5 cos( 的值 【解析】（1） 5 sin 25 ， ， 22 5 cos1sin 5 210 sinsincoscossin(cossin) 444210 ； （2） 2243 sin22sincoscos2cossin 55 ， 33143 34 cos2coscos2sinsin2 6662
12、52510 玩转跟踪 1.（2013 广东）已知函数( )2cos, 12 f xxxR (1) 求 3 f 的值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2) 若 33 cos,2 52 ，求 6 f 【解析】（1）()2cos1. 3124 f （2） 3 3 cos, 52 由于2， 所以 2 94 sin1cos1 255 ，因此()2cos() 6612 f = 2cos()2coscos2sinsin) 444 32421 22() 52525 玩转练习 1.（2020五华区校
13、级模拟）若(,) 4 2 ， 4 2 sin2 9 ，则cos() A 1 3 B 2 3 C 2 2 3 D 8 9 【解答】解：由(,) 4 2 ， 4 2 sin2 9 ，得2( 2 ，)， 可得 2 7 cos212 9 sin ，所以 1cos21 cos 23 故选：A 2（2020番禺区模拟）已知(0,),2sin21cos2 2 ，则cos() A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【解答】解：(0,),2sin21cos2 2 ， 2 4sincos12cos1 ，可得 2 2sincoscos，cos0， 可得 1 sincos 2 ， 22222 15 si
14、ncos( cos)coscos1 24 ， 解得： 2 5 cos 5 故选：D 3（2020武汉模拟）已知tan()7 4 ，且 3 2 ，则sin() A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 【解答】解： 713 tantan() 4417 14 ，即 sin3 cos4 ， 3 2 ， 3 sin 5 故选：B 4.（2020湖南模拟）已知角，(0, )， 1 tan() 2 ， 7 2 cos 10 ，则角2() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A 9 4 B 3 4
15、 C 5 4 D 4 【解答】解： 7 2 cos 10 ， 2 7 22 sin1() 1010 ，则 1 tan 7 ， 则 11 tan()tan1 27 tantan() 11 1tan()tan3 1 27 ， 则 11 tan()tan325 23 tan(2)tan()1 11 1tan()tan615 1 23 ， 0tan()1，0tan1，0 4 ，0 4 ，则02 2 ， 则2 4 ，故选：D 5.（2020漳州一模）若 3 tan2 4 ，则 2 2 sin2cos ( 12sin ) A 1 4 或 1 4 B 3 4 或 1 4 C 3 4 D 1 4 【解答】解：
16、 2 2tan3 tan2 1tan4 ，解得tan3或 1 tan 3 故： 22 2222 sin2cos2sincoscos2tan1 12sin3sincos3tan1 当tan3时，原式得 1 4 当 1 tan 3 时，原式得 1 4 故选：D 6（2020岳阳一模）已知 5 cos 5 ， 10 sin() 10 ，均为锐角，则sin() A 3 2 B 1 2 C 3 5 D 2 2 【解答】解：，均为锐角，所以(,) 2 2 ， 10 sin()0 10 ，所以(,0) 2 ，所以 3 10 cos() 10 ， 2 5 sin 5 ， 故 1053 10 2 52 sins
17、in(sin()coscos()sin 1051052 ， 故选：D 7（2020宜宾模拟）已知(0,) 2 ，且 22 3sin5cossin20，则sin2cos2() A1B 23 17 C 23 17 或 1D1 【解答】解：由 22 3sin5cossin20，得 22 22 352sincos 0 sincos sincos ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2 2 32tan5 0 1 tan tan ，即 2 3tan2tan50，解得tan1或 5 tan 3 (0
18、,) 2 ，tan1，即 4 sin2cos2sincos1 22 故选：A 8.(2018 全国卷)若 1 sin 3 ，则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【解析】 22 17 cos21 2cos1 2 ( ) 39 故选 B 9.（2017 江苏）若 1 tan() 46 ，则tan= 【解析】 tan()tan 7 44 tantan() 445 1tan()tan 44 10.(2018 全国卷)已知sincos1，cossin0，则sin()_ 【解析】sincos1，cossin0， 22 sincos2sincos1， 22 cossin2cossin
19、0，两式相加可得 2222 sincossincos2(sincoscossin)1， 1 sin() 2 11.(2015广东，16)已知 tan2. (1)求 tan 4 的值； (2)求 sin 2 sin2sincoscos 21的值 解(1)tan 4 tantan 4 1tantan 4 tan 1 1tan 21 123； (2) sin 2 sin2sincoscos 21 2sincos sin2sincos（2cos21）1 2sincos sin2sincos2cos2 2tan tan2tan2 22 22221. 12.（2018 江苏）已知, 为锐角， 4 tan
20、3 ， 5 cos() 5 (1)求cos2的值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)求tan()的值 【解析】(1)因为 4 tan 3 ， sin tan cos ，所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1，所以 2 9 cos 25 ，因此， 2 7 cos22cos1 25 (2)因为, 为锐角，所以(0,) 又因为 5 cos() 5 ，所以 2 2 5 sin()1cos () 5 ， 因此tan()2 因为 4 tan 3 ，所以 2 2tan24 ta
21、n2 1tan7 ， 因此， tan2tan()2 tan()tan2() 1+tan2tan()11 13.（2018 浙江）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 34 (,) 55 P (1)求sin()的值； (2)若角满足 5 sin() 13 ，求cos的值 【解析】(1)由角的终边过点 34 (,) 55 P 得 4 sin 5 ， 所以 4 sin()sin 5 (2)由角的终边过点 34 (,) 55 P 得 3 cos 5 ，由 5 sin() 13 得 12 cos() 13 由()得coscos()cossin()sin， 所以 56 cos 65 或 16 cos 65
