1、专题专题 6.7 解三角形大题（取值范围问题解三角形大题（取值范围问题 1） 1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且22 cosbaCc （1）求A； （2）若ABC为锐角三角形，2c ，求b的取值范围 解： （1）因为22 cosbaCc， 由正弦定理得，2sin2sincossinBACC， 因为sinsin()sincossincosBACACCA， 所以2sincos2sincos2sincossinACCAACC， 因为sin0C ， 所以 1 cos 2 A ， 由A为三角形内角得， 3 A ； （2）由ABC为锐角三角形，得 0 2 2 0 32 C C ，解得
2、 62 C ， 所以 3 tan 3 C ， 3 03 tanC ， 由正弦定理得， sinsinsin abc ABC ， 所以 2 2sin() sinsin3cos3 3 1(1,4) sinsinsintan C cBCC b CCCC 故b的范围(1,4) 2ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知()cos3 sincosbcAbAaC （）求角A； （）若ABC为锐角三角形，求 b c 的取值范围 解： （）由正弦定理的(sinsin)cos3sinsinsincosBCABAAC， 所以sincossincoscossin3sinsinBACACABA， 即sinco
3、ssin()3sinsinBAACBA， 因为sin()sinACB， 所以sincossin3sinsinBABBA， 因为sin0B ，所以cos13sinAA ， 所以 1 sin() 62 A ， 因为( 66 A ， 5 ) 6 ， 所以 66 A ，所以 3 A （） 13 sincos sinsin()13 22 sinsinsin22tan CC bBAC cCCCC ， 因为ABC为锐角三角形，所以0 2 C ， 2 32 BC ， 所以 62 C ，所以 3 tan 3 C ， 所以 113 2 222tanC ，即 b c 的取值范围是 1 ( 2 ，2) 3在锐角ABC
4、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 coscoscosaAbCcB （）求角A的大小； （）若2a ，求bc的取值范围 解： （）因为2 coscoscosaAbCcB， 所以由正弦定理可得2sincossincossincosAABCCB，即 2sincossincossincossin()sinAABCCBBCA， 又因为sin0A ， 所以 1 cos 2 A ， 因为A为锐角， 所以 3 A （）(sinsin) sin a bcBC A 22 sinsin() 33 2 BB 4 331 (sincossin) 322 BBB 4 3 33 ( sincos) 322 BB
5、 4sin() 6 B ， 因为(,) 6 2 B ，可得 2 (,) 633 B ， 所以 3 sin()( 62 B ，1，即4sin()(2 3 6 bcB ，4 4 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，34sincos4sincos0aBCCB， 且2c （1）求C的大小； （2）求ab的最大值 解： （1）因为34sincos4sincos0aBCCB， 所以34sin()4sinaBCA， 由正弦定理得 44 3 sinsin33 ac AC ， 因为2c ， 所以 3 sin 2 C ， 因为C为锐角， 所以 3 C ， （2） 4 34 32 (sinsi
6、n)sinsin() 333 abABAA ， 4 331 (sincossin) 322 AAA， 2cos2 3sinAA， 4sin() 6 A ， 因为 0 2 2 0 32 A A ， 所以 62 A ， 2 363 A ， 所以 3 sin() 1 26 A ， 故ab的最大值 4 5已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 cos2sin cossin bBC aAA ，点M是BC 的中点 （1）求角A的大小； （2）求 sin sin ABM BAM 的最大值 解： （1）因为 cos2sin cossin bBC aAA ， 由正弦定理得， sincos2si
7、n sincossin BBC AAA ， 整理得，sincossincos2sincosBAABCA， 即sin()2sincossinABCAC， 因为sin0C ， 所以 1 cos 2 A ， 由A为三角形内角得， 3 A ， （2）因为点M是BC的中点， 所以 1 () 2 AMABAC ， 11 () 22 BMBCACAB ， 因为 22 2cbbc，当且仅当bc时取等号， 由正弦定理得， 22 22 22 sin22 113 sin2 ABMAMbcbcbcbc BAMBMbcbcbcbc bcbc ， 当且仅当Bc时取等号， 故 sin sin ABM BAM 的最大值3 6
8、 如图， 平面四边形的对角线相交于四边形内部，3AB ，1BC ，ACCD， 6 ADC （1）若 5 6 ABC ，求sinBCD的值； （2）记ABC，当变化时，求BD长度的最大值 解： （1）在ABC中， 5 6 ABC ，3AB ，1BC ， 由余弦定理 222 2cos7ACABBCAB BCABC， 可得7AC ， 由正弦定理 sinsin ABAC ACBABC ，可得 21 sin 14 ACB， 所以 5 7 cos 14 ACB， 故 5 7 sinsin(90)cos 14 BCDACBACB （2）在ABC中，有 222 2cosACABBCAB BCABC， 即42 3cosAC， 由 sinsin ACAB ABCACB ，即 3sin sinACB AC ， 在ACD中， 6 ADC ，ACCD，故3CDAC， 在BCD中，由余弦定理可得 222 2cosBDBCCDBC CDBCD， 即 2 13(42 3cos )2 1cos() 2 BDCDACB 136 3cos2sinCDACB 3sin 136 3cos2CD AC 6sin6 3cos13 12sin()13 3 ， 因为0BD ，故 2 BD最大时，BD也最大， 当sin()1 3 ，即 5 6 时，BD最大， 2 ()25 max BD， 故5 max BD
