1、第三十四讲：复数代数形式的四则运算 【学习目标】 1.会进行复数代数形式的四则运算. 2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【知识梳理】 1、运算法则 设 12 ,( , , ,).zabi zcdi a b c dR 运算运算法则 加减法 12 ()()zzabicdi 乘法 12 ()()_z zabi cdi 除法 1 2 _ zabi zcdi 2、复数加、减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义 若复数 12 zz对应向量 12 ,OZ OZ 不共线， 则复数 12 zz是以为 12 ,OZ OZ 两邻边的平行四边形的 对角线OZ 所对应的复数. （2）复数减法的几何意义 复
2、数 12 zz是以连接 12 ,OZ OZ 的_，并指向_所 对应的复数. （3）复平面内的两点间的距离公式d _. 其中 12 ,z z是复平面内的两点 1 Z和 2 Z所对应的复数，d为点 1 Z与 2 Z的距离. 3、常见复数的代数形式运算 （1）i的周期性： 4142 _;_; nn ii 434 _;_. nn ii （其中nZ） （2） 2 11 (1)2 ;. 11 ii iiii ii 【典题分析】 题型 1：复数的运算 例 1.（1）设i是虚数单位，则复数 5 6i i （） A.65iB.65iC.65i D.65i （3）i是虚数单位，复数 1 3 1 i i （） A.
3、2iB.2iC.1 2i D.1 2i 方法：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算；复数除法运算的关键是分子、分 母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算，注意要把i的幂化成最简形式. 【题组训练】 1. 2 12 (1) i i （） A. 1 1 2 i B. 1 1 2 i C. 1 1 2 iD. 1 1 2 i 2.设i是虚数单位，则复数 34i i =（） A.43i B.43i C.43iD.43i 3.复数1zi ，z为z的共轭复数，则1zzz （） A.2iB.iC.iD.2i 7.设 11 7 , 12 i a bR abi i （i是虚数单位） ，则ab的值为_
4、. 4123iii（） A10iB10i C10D10 5 34i34i 12i12i （） A4B4 C4iD4i 6复数 2020 511zii （其中i为虚数单位） ，则z （） A13B5 5C 157 D2 34 7若 2 10zz ，则 2017201820202021 zzzz 的值为（） A2B2C 13 22 i D 13 22 i 8已知i为虚数单位，复数z满足1 2z ii ，则z的共轭复数为（） A2 i B1 2i C 2i D 2i 9设复数 1 32iz ， 2 1 iz ，则 1 2 2 z z （） A4B5 C2D3 10已知i是虚数单位，则 2020 11
5、 1 i ii _ 11复数 z 满足 2021 1i2iz （i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数为（） A22iB2 2iC3iD1 i 12设z为复数，则“1z ”是“ 1 zR z ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 13有下面四个命题： 若复数z满足 1 R z ，则zR； 若复数z满足 2 z R，则zR ； 若复数 12 ,z z满足 1 2 z zR，则 12 zz； 若复数zR，则zR 其中的真命题为_. 14设复数 2 1 i x i （i是虚数单位） ，则 11223320202020 2020202020202020 CxCx
6、CxCx_ 题型 2：复数的加、减法的几何意义 例 2.若i是虚数单位，下图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 1 z i 的点是（） A.EB.F C.GD.H 方法：要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应 关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征. 【题组训练】 1已知平行四边形OABC的三个顶点, ,O A C对应的复数分别为0,32 , 24ii ，如图 则： （1）AO 表示的复数为_； （2）CA 表示的复数为_； (3)B点对应的复数为_. 2.已知 1212 34 ,52 ,zi zi z z 对应的点分别为 12 ,P P，则 12
7、PP 对应的复数为（） A.86i B.86iC.86iD.22i 3.已知复数z满足(1)3i zi（i是虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 4.设 2 (2)zi（i是虚数单位） ，则复数z的模为_. 5设复数z满足341zi ，则z的最大值是_. 6在复平面内，复数,zabi aR bR对应向量OZ （ O为坐标原点） ，设OZr ，以射线Ox为 始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则cossinzri，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理： 1111 cossinzri， 2222 cossinzri，则 121 21212 cossinz zrri ，由棣 莫弗定理导出了复数乘方公式：cossincossin n nn zrirnin ，则 10 13i （） A1024 1024 3i B1024 1024 3i C512 512 3i D512 512 3i
