1、第二十讲：用导数研究函数的极值和最值（共 2 课时） 【学习目标】 1. 掌握函数极值、极值点、最值、最值点的定义； 2. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用 导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函 数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系； 3. 能用导数研究函数的极值和最值相关的不等式、恒成立、函数零点等问题。 【重点、难点】 重点：求极值和最值的基本思想和基本过程； 难点：在解决极值和最值等问题时，函数导数的灵活分析和应用。 【知识梳理】 1 1、函数的极值、函数的极值 （1）函数极值的定义.设函数( )f
2、 x在点 0 x附近有定义，如果对 0 x附近的所有点， 都有_， 我们就说 0 ()f x是函数( )f x的一个极大值， 记作 0 ()yf x 极大值 ； 如果对 0 x附近的所有点，都有_，我们就说 0 ()f x是函数( )f x的一个极 小值，记作 0 ()yf x= 极小值 .极大值与极小值统称为_. （2）判断极值的方法.判断可导函数( )f x的极值的方法是：如果在 0 x附近的 左侧( )0fx ，右侧( )0fx ，那么 0 ()f x是极_值；如果在 0 x附近的左侧 ( )0fx ，右侧( )0fx ，那么 0 ()f x是极_值；因此：函数在在 0 x处取的极 值的
3、一个常用必要条件是_;充分条件是_. （3）极值点、最值点、零点，极值、最值、图像交点。它们的区别是什么？它们的区别是什么？ 2 2、函数的最值、函数的最值 （1）一般地，如果在区间, a b上函数( )yf x的图象是一条连续不断的曲线， 那么它必有最大值和最小值. （2）一般地，求函数( )f x在, a b上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数( )f x在, a b内的_； 将( )f x的_和_比较，其中最大的一个为_；最小的一 个为_. 3 3、导数与不等式、恒成立问题、存在性问题、零点问题等、导数与不等式、恒成立问题、存在性问题、零点问题等 , Ix( )( )f xg x恒成立
4、( )( )( ) 0F xf xg x恒成立 min ( )0F x. , Ix( )( )f xg x成立, Ix( )( )( ) 0F xf xg x成立0)( max xF. 4 4、求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法。求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法。 【典题分析】 题型一：求函数的极值题型一：求函数的极值 例 1：求函数 x exxf 2 )(的极值. 【方法规律】【方法规律】求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法求极值的策略步骤：列表法、草图法、不等式法. 【题组练习】 1.函数( )f x的定义域为开区间, a b，可导函数( )fx在, a b内的图象
5、如果所示， 则函数( )f x在开区间, a b内有极小值点（） A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 2.函数( )lnf xaxx在1x 处取得极值，则a=（） A. 1 2 B. -1C. 0D. 1 2 3.画出函数 3 2 ) 12( x x y的草图，并指出极值点情况。 4.已知函数 32 ( )f xxaxbxc在 2 3 x 与1x 时都取得极值. （1）求, a b的值； （2）求函数( )f x的单调区间. 5、求函数, 0sin22sin)(xxxxf，的极值和极值点. 题型二：求函数的最值题型二：求函数的最值 例 2：求 32 ( )32f xxx在区间1,1上的最
6、大值。 例 3： （2017 北京）已知函数( )cos x f xexx （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程； （）求函数( )f x在区间0, 2 上的最大值和最小值 【方法规律】【方法规律】求( )f x在, a b上的最值可按如下思路进行： （1） 求( )f x在, a b内的极值，将( )f x的各极值与( ),( )f af b比较，确定( )f x的 最大值和最小值； （2） 求出所有导数为零的点对应的函数值，直接与端点的函数值比较即可获得； （3）求极值或最值，必要时，多次构造函数或求导. 【题组练习】 1.函数2 , 0,2 23 xxxxy的值域为_.
7、 2.函数lnyxx在定义域内有（） A. 最大值为 1 e B. 最小值为 1 e C. 最大值为eD. 最小值为e 3 （2015 新课标 2 文 21）已知函数( )ln(1)f xxax （）讨论( )f x的单调性； （）当( )f x有最大值，且最大值大于22a时，求a的取值范围 题型三：利用导数研究综合问题题型三：利用导数研究综合问题 例 4:（2020 全国文 20）已知函数 e2 x f xa x （1）当 1a 时，讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求a的范围 例 5:（2020 全国 2 文 21）已知函数( )2ln1f xx （1）若( )2f
8、xxc，求c的取值范围; *（2）设0a ，讨论函数 ( )( ) ( ) f xf a g x xa 的单调性 【方法规律】【方法规律】 用导数研究不等式、恒成立、函数零点、存在性问题等问题，本质是研究函数 的极值、最值，要突出转化思想的运用；这类题目往往作为压轴题，要求较高 的综合能力，覆盖数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想的综合应用. 【题组练习】 1、设函数 3 ( )31f xaxx对于任意1,1x 都有( )0f x 成立，则实数a的值 为_. 2、设( )( )f xg x、是 R 上的可导函数，( ),( )fx g x分别是( ), ( )f x g x的导函数，且 (
9、 ) ( )( ) ( )0fx g xf x g x，则当axb时，有（） A.( ) ( )( ) ( )f x g bf b g xB.( ) ( )( ) ( )f x g af a g x C.( ) ( )( ) ( )f x g xf b g bD.( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 3.若0,0ab，则函数 32 ( )42f xxaxbx2在1x 处有极值，则ab的最大 值等于（） A.2B. 3C. 6D. 9 4. 已知两个函数 2 ( )728f xxxc， 32 ( )2440g xxxx.若 1 3,3 ,x 2 3,3x ，都有 12 ()()f xg x成立，求实数c的取值范围. 5、（2020 全国 2 理） 已知函数 2 sinsin2f xxx （1）讨论 fx在区间0,的单调性； （2）证明： 3 3 8 f x ； （3）设 * nN，证明： 2222 3 sinsin 2 sin 4sin 2 4 n n n xxxx 【课堂小结】本节课你收获什么？
