1、 一、知识回顾一、知识回顾 1.1.基本事实基本事实4 4( (平行线的传递性平行线的传递性) )： 2.2.定理定理： 平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行. . 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，如果空间中两个角的两条边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. . 在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系. .它它 不仅应用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础不仅应用广泛，而且是学习平面与平面平行的基础. . 怎样判定直线与平面平行呢怎样判定直线与平面平行呢? ?根据定义，判定直线
2、与平面是否根据定义，判定直线与平面是否 平行，只需判定直线与平面有没有公共点平行，只需判定直线与平面有没有公共点. .但是，直线是无限延伸但是，直线是无限延伸 的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢? ? 二、二、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 A A B B A A B B 如下左图，门扇的两边是平行的如下左图，门扇的两边是平行的. .当门扇绕着一边转动时，另当门扇绕着一边转动时，另 一边与墙面有公共点吗一边与墙面有公共点吗? ?此时门扇转动的一边与墙面平行吗此时门扇转动的一边与墙面平行吗? ? A A B B C
3、C D D 如下右图，将一块矩形硬纸板如下右图，将一块矩形硬纸板ABCABCC C平放在桌面上，把这块纸平放在桌面上，把这块纸 板绕边板绕边DCDC转动，在转动的过程中转动，在转动的过程中(AB(AB离开桌面离开桌面) )，DCDC的对边的对边ABAB与桌与桌 面有公共点吗面有公共点吗? ?边边ABAB与桌面平行吗与桌面平行吗? ? 二、二、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 A A B B A A B B A A B B C C D D 可以发现，无论门扇转动到什么位置可以发现，无论门扇转动到什么位置, ,因为转动的一边与固定因为转动的一边与固定 的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的
4、；硬纸板的边的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边ABAB与与DCDC 平行平行, ,只要边只要边DCDC紧贴着桌面紧贴着桌面, ,边边ABAB转动时就不可能与桌面有公共点，转动时就不可能与桌面有公共点， 所以它与桌面平行，所以它与桌面平行， 这样，我们就得到下面定理：这样，我们就得到下面定理： 二、二、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 二、二、直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直 线与此平面平行线与此平面平行. . a a b b 直线与平面平行的判定定理直线与平
5、面平行的判定定理: : 线线平行线线平行线面平行线面平行 这一定理在现实生活中有许多应用，例如，安装矩形镜子这一定理在现实生活中有许多应用，例如，安装矩形镜子 时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与 天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理. . 你还能你还能 举出其他一些应用实例吗举出其他一些应用实例吗? ? 定理告诉我们，可以通定理告诉我们，可以通 过直线间的平行，得到直线过直线间的平行，得到直线 与平面平行与平面平行. .这是处理空间位这是处理空间位 置关系的一种常用
6、方法，即置关系的一种常用方法，即 将将直线与平面的平行关系直线与平面的平行关系( (空空 间问题间问题) )转化为直线间的平行转化为直线间的平行 关系关系( (平面问题平面问题) ). . 它可以用它可以用符号表示符号表示: : a a ，b b ，且，且a/ba/ba/a/ 刚才，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了刚才，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了 判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平 面平行的充分条件面平行的充分条件. .反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推反过来，如果一条直线与一
7、个平面平行，能推 出哪些结论呢出哪些结论呢? ?这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究 直线与平面平行的必要条件直线与平面平行的必要条件. . 下面我们研究在直线下面我们研究在直线a a平行于平面平行于平面a a的条件下，直线的条件下，直线a a与平面与平面 内的直线的位置关系内的直线的位置关系. . 如右图，由定义，如果直线如右图，由定义，如果直线a/a/平面平面，那，那 么么a a与与无公共点，即无公共点，即a a与与内的任何直线都无公内的任何直线都无公 共点共点. .这样，平面这样，平面内的直线与平面内的直线与平面外的直线外的直线a a
8、只能是异面或者平行的关系只能是异面或者平行的关系. .那么，在什么条件下，平面那么，在什么条件下，平面内的直内的直 线与直线线与直线a a平行呢平行呢? ?下面我们来分析一下下面我们来分析一下: : a a 假设假设a a与与内的直线内的直线b b平行，那么由基本事实的推论平行，那么由基本事实的推论3,3,过直线过直线a a、 b b有唯一的平面有唯一的平面. . 这样，我们可以把直线这样，我们可以把直线b b看成是过直线看成是过直线a a的平面的平面 与平面与平面的交线的交线. .于是可得如下结论：于是可得如下结论： 过直线过直线a a的平面的平面与平面与平面相交于相交于b b，则，则a/b
9、.a/b. 三、三、直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 a/b.a/b. 下面，我们来证明这一结论下面，我们来证明这一结论. . 求证：求证：a/b.a/b. a a b b 已知：已知：如右图，如右图，a/a/，a a ，=b.=b. 证明：证明：=b=b， 又又a/a/，aa与与b b无公共点无公共点. . b b . . 又又a a ，b b ， 一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行, ,如果过该直线的平面与此平面相交如果过该直线的平面与此平面相交, , 那么该直线与交线平行那么该直线与交线平行. . 直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理: : 直线与平面平行的
10、性质定理揭示了直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与平面平行中蕴含着 直线与直线平行直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法，这也给出了一种作平行线的方法. . 线面平行线面平行线线平行线线平行 三、三、直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 a/a/，a a ，=b=ba/b.a/b.它可以用它可以用符号表示符号表示: : 例例1 1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边 的平面的平面. . 四、四、典型例题典型例题 今后要证明一条今后要证明一条 直线与一个平面平行，直线与一个平面平行， 只要在这个
11、平面内找只要在这个平面内找 出一条与此直线平行出一条与此直线平行 的直线就可以了的直线就可以了. . EF/EF/平面平面BCDBCD E E F F 已知：已知：如右图，空间四边形如右图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是 AB AB、A AD D的中点的中点. . 求证：求证：EF/EF/平面平面BCDBCD 证明：证明： A A B B C C D D 连接连接BD.BD. AE=EBAE=EB，AF=FDAF=FD EF/BDEF/BD 又又EF EF 平面平面BCDBCD，BD BD 平面平面BCDBCD 分析：分析： 要经过面要经过面ACAC内的一点内的一
12、点P P和棱和棱BCBC将木将木 料锯开料锯开, ,实际上是经过实际上是经过BCBC及及BCBC外一点外一点P P作截面，也就需要找作截面，也就需要找 出所作的截面与相关平面的交线出所作的截面与相关平面的交线. . 我们可以依据直线与平我们可以依据直线与平 面平行的性质定理、基本事实面平行的性质定理、基本事实4 4和推论和推论1 1画出所需要的线段画出所需要的线段. . A A B B C C AA BB CC DD E E F F 如上右图，在平面如上右图，在平面ACAC内，过点内，过点P P作直线作直线EFEF，使，使EF/BCEF/BC， 并分别交棱并分别交棱ABAB、DC DC 于点于
13、点E E、F.F.连接连接BEBE、CF,CF,则则EFEF、BEBE、 CF CF就是应画的线就是应画的线. . (2)(2)因为棱因为棱BCBC平行于平面平行于平面ACAC, ,平面平面BCBC与平面与平面ACAC相交于相交于BC, BC, 所以所以BC/BC. BC/BC. 由由(1)(1)知，知，EF/BCEF/BC，所以，所以EF/BC.EF/BC.而而BCBC在在 平面平面ACAC内，内，EFEF在平面在平面ACAC外，所以外，所以EF/EF/平面平面AC.AC. 显然，显然，BEBE、CFCF都与平面都与平面ACAC相交相交. . 四、四、典型例题典型例题 例例2 2 如右图的一
14、块木料中，棱如右图的一块木料中，棱BCBC平行面平行面AC.AC. (1) (1)要经过面要经过面ACAC内的一点内的一点P P和棱和棱BCBC将木将木 料锯开料锯开, ,在木料表面应该怎样画线在木料表面应该怎样画线? ? (2) (2)所画的线与平面所画的线与平面ACAC是什么位置关系是什么位置关系? ? 解解: : (1)(1) P P 四、四、典型例题典型例题 例例3 3 已知：已知：如右图，三棱柱如右图，三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中， D D为为BCBC的中点的中点. . 求证：求证：A A1 1CC平面平面ABAB1 1D.D. 证明：证明：连接连接
15、A A1 1B B，交，交ABAB1 1于于E E，再连接，再连接DE.DE. 由棱柱的概念得由棱柱的概念得 四边形四边形BAABAA1 1B B1 1是平行四边形是平行四边形 所以所以E E为为BABA1 1的中点的中点. . 又又D D为为BCBC的中点，的中点， 所以所以DEADEA1 1C.C. 又又A A1 1C C 平面平面ABAB1 1D D，DEDE 平面平面ABAB1 1D D， 所以所以A A1 1CC平面平面ABAB1 1D.D. E E B B1 1 C C1 1 A A1 1 B BC C A A D D 五、课堂小结五、课堂小结 如果平面外一条直线与此平面内的一条直
16、线平行，那么该如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该 直线与此平面平行直线与此平面平行. . a a b b 1.1.直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理: : 线线平行线线平行线面平行线面平行 它可以用它可以用符号表示符号表示: : a a ，b b ，且，且a/ba/ba/a/ 2.2.直线与平面平行的性质定理直线与平面平行的性质定理: : 一条直线与一个平面平行一条直线与一个平面平行, ,如果过该直线的平面与此平面相如果过该直线的平面与此平面相 交交, ,那么该直线与交线平行那么该直线与交线平行. . 线面平行线面平行线线平行线线平行 a a b b a/ba/ba/a/，a a ，=b=b 它可以用它可以用符号表示符号表示: : 线线平行线线平行 线面平行线面平行3. 六、巩固提升六、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第138138页练习第页练习第1 1、2 2、3 3、4 4题题 课堂作业课堂作业: : 第第143143页页习题习题8.58.5第第5 5、6 6、7 7、1010、1212题题
