1、 上节上节我们学习了向量的运算我们学习了向量的运算, ,知道位于同一直线上的向量可以知道位于同一直线上的向量可以 由位于这条直线上的一个非零向量表示由位于这条直线上的一个非零向量表示. . 类似地类似地, ,平面内任一向量平面内任一向量 是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 一、探究新知一、探究新知 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一 个力可以分解为两个力个力可以分解为两个力. .我们可以根据解决实际问题的需要我们可以根据解决实际问题的需要, ,通过通过 作平行四边形作平行
2、四边形, ,将力将力F F分解为多组大小、方向不同的分力分解为多组大小、方向不同的分力( (如下图如下图) ). . F F 由力的分解得到启示，我们能否通过作平行四边形，将向量由力的分解得到启示，我们能否通过作平行四边形，将向量 分解为两个向量，使向量分解为两个向量，使向量 是这两个向量的和呢？是这两个向量的和呢？ a a a a 如下图，非零向量如下图，非零向量 是同一平面内两个不共线的向量，是同一平面内两个不共线的向量， 是这一平面内与是这一平面内与 都不共线的向量都不共线的向量. . 2 21 1 e e、e e a a 2 21 1 e e、e e在平面内任取一点在平面内任取一点O，
3、作，作 . .a aC C，e eB B，e eA AOOO 21 将将 按按 的方向分解的方向分解, ,你有什么发现你有什么发现? ?a a 2 21 1 e e、e e a a 1 1 e e 2 2 e e O 1 1 e e A A 2 2 e eB B a a C C N N M M 由向量共线定理可得，存在实数由向量共线定理可得，存在实数1 1、2 2，使得，使得 ， ，所以，所以 . .也就是说：也就是说： 1 11 1e e M M O 2 22 2 e eN N O 2 22 21 11 1 e ee ea a 与与 都不共线的向量都不共线的向量 都可以表示成都可以表示成 的
4、形式的形式. . 2 21 1 e e、e e a a 2 22 21 11 1 e ee e 当当 为零向量时，向量为零向量时，向量 同样可以表示成同样可以表示成 的形式的形式. . a a 2 22 21 11 1 e ee ea a 一、探究新知一、探究新知 N NM MC COOO 二、平面向量基本定理二、平面向量基本定理 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内任一向量平面内任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1、2 2，使，使 a a 2 21 1 e e、e e 由平
5、面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知, ,任一向量都可以由同一个基底唯一任一向量都可以由同一个基底唯一 表示，这为我们研究问题带来了极大的方便表示，这为我们研究问题带来了极大的方便. . a =1 1 + +2 2e e1 1e e2 2 若若 不共线不共线，我们就把，我们就把 叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所 有向量的有向量的一个基底一个基底. . 2 21 1 e ee e ，e e1 1、e e2 2 三、典型例题三、典型例题 解解：O P P B B A A 例例1 1 如如右图右图，向量向量 不共线，且不共线，且 请用请用 表示表示 B B、A A OOR R) )，(
6、(t tA AB Bt tA AP P B B、A A OO.P PO 由图知由图知 A AP PA AP POOA AB Bt tA A O ) )A AB Bt t( (A AOOO A At tB Bt tA AOOO B Bt tA At t) )( (1 1OO 观察观察 =(1-t) +t=(1-t) +t ，你有什么发现？，你有什么发现？OP POA AOB B 若若A A、B B、C C三点共线三点共线 且且+ +=1=1= += +OA AOB BOC C 证明：证明： 三、典型例题三、典型例题 例例2 2 如右图，如右图，CDCD是是ABCABC的中线，的中线，CD= AB
7、CD= AB，用向量方法，用向量方法 证明证明ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 2 2 1 1 由由CDCD是是ABCABC的中线，的中线，CD= ABCD= AB得得 2 2 1 1 DADADBDB|,|,DBDB| | |DADA| | |CDCD| | 所以所以 CBCBCACA ) )DBDBCDCD( () )DADACDCD( () )DADACDCD( () )DADACDCD( ( 2 22 2 | |DADA| | |CDCD| |0 0 所以所以CACBCACB，于是于是ABCABC是直角三角形是直角三角形. . 向量的数量积是否为向量的数量积是否为0 0，是，
8、是 判断相应的两条线段判断相应的两条线段( (或直线或直线) )是是 否垂直的重要方法之一否垂直的重要方法之一. . 四、课堂小结四、课堂小结 1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理 3.3.向量的数量积是否为向量的数量积是否为0 0，是判断相应的两条线段，是判断相应的两条线段( (或直线或直线) )是否垂是否垂 直的重要方法之一直的重要方法之一. . 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量, ,那么对于这一那么对于这一 平面内任一向量平面内任一向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数1 1、2 2，使，使 a a 2 21 1 e e、e e a =1 1 + +2 2e e1 1e e2 2 若若 不共线不共线, ,我们就把我们就把 叫做表示这一平面内所叫做表示这一平面内所 有向量的有向量的一个基底一个基底. . 2 21 1 e ee e ，e e1 1、e e2 2 2. 2. 若 若A A、B B、C C三点共线三点共线 且且+ +=1=1 = += +OA AOB BOC C 十、巩固提升十、巩固提升 课堂练习课堂练习: : 第第2727页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第3636页页习题习题6.36.3第第1 1、1111题题
