（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册2.1 等式性质与不等式性质讲义（学生版+教师版）.zip

不等关系与不等式不等关系与不等式 要点一、符号法则与比较大小要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：实数的符号： 任意，则（为正数） 、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.xR0 x x0 x 0 x x 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变： 符号语言：；0,00abab0,00abab 两个同号实数相乘，积是正数： 符号语言：；0,00abab0,00abab 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00abab 任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0 符号语言：，. 2 0 xRx 2 00 xx 比较两个实数大小的法则：比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、ab ；0baba ；0baba .0baba 对于任意实数、,三种关系有且只有一种成立.abababab 要点二、不等式的性质要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：基本性质有： (1) 对称性： ab bb, bc ac (3) 可加性： (cR)abacbc (4) 可乘性：ab， bcacc bcacc bcacc 0 0 0 运算性质有：运算性质有： (1) 可加法则：,.ab cdacbd (2) 可乘法则：,ab0 cd0a cb d0 (3) 可乘方性：0,10 nn abnNnab (4) 可开方性： nn ab0,nN ,n1ab 要点三、比较两代数式大小的方法要点三、比较两代数式大小的方法 作差法：作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与 0 的关系，进一步比较与的大小.abababab ；0baba ；0baba .0baba 作商法：作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与 1 的关系，进一步比较与的大小.abab a b ab ；1b a a b ；1b a a b .1b a a b 中间量法：中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择 0 或 1 为中间量.abbcac 利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0； 最后下结论. 【典型例题典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系类型一：用不等式表示不等关系 例例 1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为 2 180m ， 2 18m 可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为，可住游客 3 人，每名游客每 2 15m 天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹款 8000 元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 举一反三：举一反三： 【变式】某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的 数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 类型二：不等式类型二：不等式性质的应用性质的应用 例例 2已知，求，的取值范围 22 2 2 举一反三：举一反三： 【变式 1】【变式】已知，求（1） (2)的取值范围.23 ,14ab,ab a b 【变式 2】已知实数 x，y 满足，则 4x+2y 的取值范围是_。 13 11 xy xy 例例 3若 ab0,cd0ab且 22 ab ab ba 与 类型四：作商比较类型四：作商比较大小大小 例例 7已知：、, 且,比较的大小.abRab abba a ba b与 举一反三：举一反三： 【变式】已知为互不相等的正数，求证：abc、 2a2b2cb cc aa b a b cabc. 【巩固练习巩固练习】 1、选择题选择题 1设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是() Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0 2.若 a,b,c 为实数，且 abb am2bm2 B . ab c b c a Ca3b3, ab0 D.a2b2, ab0 ba 11 ba 11 4若 x+y0,a0，则 x-y 的值为( ) A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、符号不确定 5下列命题中的真命题为 （）若 ab, 则 ac2bc2； （）若 ab0，则； a 1 b 1 （）若 ab； a b b a （）若 ab0，则ab0，则 ac a bc b 6设由小到大的排列顺序是 b a bm an ab0,m0,n0, a b am bn 则 不等关系与不等式不等关系与不等式 要点一、符号法则与比较大小要点一、符号法则与比较大小 实数的符号：实数的符号： 任意，则（为正数） 、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.xR0 x x0 x 0 x x 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： 两个同号实数相加，和的符号不变： 符号语言：；0,00abab0,00abab 两个同号实数相乘，积是正数： 符号语言：；0,00abab0,00abab 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言：0,00abab 任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0 符号语言：，. 2 0 xRx 2 00 xx 比较两个实数大小的法则：比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、ab ；0baba ；0baba .0baba 对于任意实数、,三种关系有且只有一种成立.abababab 要点二、不等式的性质要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：基本性质有： (1) 对称性： ab bb, bc ac (3) 可加性： (cR)abacbc (4) 可乘性：ab， bcacc bcacc bcacc 0 0 0 运算性质有：运算性质有： (1) 可加法则：,.ab cdacbd (2) 可乘法则：,ab0 cd0a cb d0 (3) 可乘方性：0,10 nn abnNnab (4) 可开方性： nn ab0,nN ,n1ab 要点三、比较两代数式大小的方法要点三、比较两代数式大小的方法 作差法：作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与 0 的关系，进一步比较与的大小.abababab ；0baba ；0baba .0baba 作商法：作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与 1 的关系，进一步比较与的大小.abab a b ab ；1b a a b ；1b a a b .1b a a b 中间量法：中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择 0 或 1 为中间量.abbcac 利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0； 最后下结论. 【典型例题典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系类型一：用不等式表示不等关系 例例 1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为 2 180m ， 2 18m 可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为，可住游客 3 人，每名游客每 2 15m 天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹款 8000 元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：xy （1）总费用不超过 8000 元 （2）总面积不超过； 2 180m （3）大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： 即 * * 180 0( 0( 10006008000 1815 ) ) xxN yyN xy xy * * 60 0( 0( 5340 65 ) ) xxN yyN xy xy 此即为所求满足题意的不等式组 举一反三：举一反三： 【变式】某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的 数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 【答案】假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 类型二：不等式类型二：不等式性质的应用性质的应用 例例 2已知，求，的取值范围 22 2 2 【解析】因为，所以，. 22 424 424 两式相加，得. 222 因为，所以，则. 424 424 222 又 ，所以，则.0 2 0 22 举一反三：举一反三： 【变式 1】【变式】已知，求（1） (2)的取值范围.23 ,14ab,ab a b 【答案】（1）； 22ab （2） 1 3 2 a b 【变式 2】已知实数 x，y 满足，则 4x+2y 的取值范围是_。 13 11 xy xy 【答案】方法一：1x+y3 ； 1xy1， 由+，得到 02x4 ； 2 得到 04x8 由，得到 22y2 ；最后+得到 24x+2y10 故答案为：2，10 方法二：令 4x+2y=m（x+y）+n（xy） 则 解得 ；即 4x+2y=3（x+y）+（xy） 4 2 mn mn 3 1 m n 1x+y3 ； 33（x+y）9 又1xy1， 23（x+y）+（xy）10 故答案为：2，10 例例 3若 ab0,cdv0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间 22 2SSuS t uvuvuv 平均速度， 22 2Suv u tu ， 222 0 uvv uuu uu uu 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的 速度. 【变式 1】甲乙两车从 A 地沿同一路线到达 B 地，甲车一半时间的速度为 a,另一半时间的速度为 b;乙 车用速度为 a 行走一半路程，用速度 b 行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达 B 地.ab 【答案】甲车先到达 B 地； 【解析】设从 A 到 B 的路程为 S，甲车用的时间为，乙车用的时间为， 1 t 2 t 则 11 12 211 ,(), 22222 ttSSSS abStt ababab 22 2SS 112S()S4S() S() S 0 222()2() abababab ababababab abab ab 所以，甲车先到达 B 地. 类型三：作差类型三：作差比较大小比较大小 例例 5. 已知 a，b，c 是实数，试比较 a2b2c2与 abbcca 的大小 【解析】 222 ()abcabbcca =， 222 1( )() () 0 2 abbcca 当且仅当 abc 时取等号 a2b2c2abbcca. 举一反三：举一反三： 【变式 1】在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ； 2 ( 32)62 6 （2） ； 2 ( 32) 2 ( 61) （3） ； 25 1 56 1 【答案】(1)； （2） ； （3）； 【变式 2】比较下列两代数式的大小： （1）与； （2）与.(5)(9)xx 2 (7)x 22 222abab223ab 【答案】 （1） 2 (5)(9)(7)xxx （2） 22 (222)(223)ababab 2222 (21)(21)(2) 1aabbaabb ， 222 (1)(1)()1 10abab . 22 222223ababab 例例 6.已知(), 试比较和的大小.ab0ab 1 a 1 b 【解析】， 11ba abab 即，ab0ba 当时，；0ab 0 ba ab 11 ab 当时，.0ab 0 ba ab 11 ab 举一反三：举一反三： 【变式】已知，比较的大小a0,b0ab且 22 ab ab ba 与 【答案】 22 () ab ab ba （） 33 22 2 () 2 ()() ()() 0 ab ab ab aabb ab ab ab ab ab 22 . ab ab ba 类型四：作商比较类型四：作商比较大小大小 例例 7已知：、, 且,比较的大小.abRab abba a ba b与 【解析】 、 ，abR0 ab a b 0 ba a b 作商： （*）( ) ( )( ) ( )( ) ab ababa b ba a babaaa a bbabbb (1)若 ab0, 则，a-b0, , 此时成立；1 b a 1)( ba b a abba a ba b (2)若 ba0, 则, a-b0，, 此时成立.10 b a 1)( ba b a abba a ba b 综上，总成立. abba a ba b 举一反三：举一反三： 【变式】已知为互不相等的正数，求证：abc、 2a2b2cb cc aa b a b cabc. 【答案】为不等正数，不失一般性，设abc、abc0, 这时，则有： 2a2b2c a b c0 b cc aa b abc0 2a2b2c (a b) (a c)(b c) (b a)(c a) (c b)a bb cc a b cc aa b a b cabc abc( )( )( ) abcbca abc0 abc 1,ab0;1,bc0;01,c-a0 bca 由指数函数的性质可知： a bb cc a abc ( )1,( )1,( )1 bca ，即. 2a2b2c b cc aa b a b c 1 abc 2a2b2cb cc aa b a b cabc 【巩固练习巩固练习】 1、选择题选择题 1设 a，bR，若 a|b|0，则下列不等式中正确的是() Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba0 1 【答案】D 【解析】a|b|0 即abaD 正确 0 0 ab ab 对于 A：由 ab0 则 ba0A 错 对于 B：a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(a b)2 b20B 错 1 2 3 4 对于 C：a2b2(ab)(ab)0C 错 2.若 a,b,c 为实数，且 ab0.则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 22 acbc 11 ab ba ab 22 aabb 2 【答案】D 【解析】c 为实数 ，取 c=0,ac2=0, bc2=0,此时 ac2= bc2。故选项 A 不成立； 又ab0,ab0, ,即，故选项 B 错。选项 C，abb am2bm2 B . ab c b c a Ca3b3, ab0 D.a2b2, ab0 ba 11 ba 11 3 【答案】C 【解析】用淘汰法。 (A)中若 m=0 不成立；(B)中若 c0(a-b)(a2+ab+b2)0。 a2+ab+b20 恒成立，故 a-b0。 ab，又ab0，b2(a+b)(a-b)0，不能说明 ab，故本题应选(C)。 4若 x+y0,a0，则 x-y 的值为( ) A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、符号不确定 4 【答案】A 【解析】用直接法。 a0y0 x0， x-y=x+(-y)0。故本题应选(A)。 5下列命题中的真命题为 （）若 ab, 则 ac2bc2； （）若 ab0，则； a 1 b 1 （）若 ab； a b b a （）若 ab0，则ab0，则 ac a bc b 5 【答案】 （4） （5） 【解析】 （）c20，当 c=0 时 ac2=bc2=0，故原命题为假命题。 （）举特例-2-1-1，故原命题为假命题。 2 1 （）由于 ab0，所以，所以，故原命题为假命题。 ba ba 11 0 0 11 0 ab ba a b b a （）ab|b|0，故原命题为真命题 | | a b a b （）cab0，c-bc-a0，0， ac ba ac 1 bc 1 又ab0 ，故原命题为真命题 ac a bc b 6设由小到大的排列顺序是 b a bm an ab0,m0,n0, a b am bn 则 6 【答案】 bbmana aambnb 【解析】特殊值法：对 a、b、m、n 分别取特殊值， 比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得. bbmana aambnb