（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册1.4 充分条件与必要条件讲义（学生版+教师版）.zip

充分条件与必要条件充分条件与必要条件 【要点梳理要点梳理】 要点一、充分条件与必要条件要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念充要条件的概念 符号符号与与的含义的含义 pqpq “若，则”为真命题，记作：；pqpq “若，则”为假命题，记作：.pqpq 充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件 若，称是的充分条件，是的必要条件.pqpqqp 若既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条pqqppqpqpq 件. 要点诠释：要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.pqpqpq “若，则”为真命题；pq 是的充分条件；pq 是的必要条件qp 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.pq 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件 p 与结论 q 之间的逻辑关系pq 若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；pqqp pqqp 若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；pq qppqqp 若，且，即，则、互为充要条件；pqqppqpq 若，且，则是的既不充分也不必要条件.pq qp pq 从集合与集合间的关系看从集合与集合间的关系看 若 p：xA，q：xB， 若 AB，则是的充分条件，是的必要条件；pqqp 若 A 是 B 的 真子集，则是的充分不必要条件；pq 若 A=B，则、互为充要条件；pq 若 A 不是 B 的子集且 B 不是 A 的子集，则是的既不充分也不必要条件.pq 要点三、充要条件的证明要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立） ，又要证明条件 的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：要点诠释：对于命题“若，则”pq 如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；pqpqqp 如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；pqqppq 如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.pq 【典型例题典型例题】 类型一：充类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定分条件、必要条件、充要条件的判定 例例 1. “x0”的_条件 举一反三：举一反三： 【变式 1】指出下列各题中，是的什么条件？pq (1) : ， : ；p(2)(3)0 xxq2x (2) : ，: 抛物线过原点p0c q 2 yaxbxc (3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等pq 【变式 2】判断下列各题中是的什么条件.pq （1）:且, : （2）:, : .p0a 0b q0ab p1 y x qxy 【变式 3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件， 那么丙是甲的（ ）. A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 例例 2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）xR21x 2 20 xx （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 p：0 x3，q：|x-1|2，则 p 是 q 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【变式 2】下列叙述中正确的是() A若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” Dl 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 P Q 【变式 3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ）xR2x A. B. C. D.1x 1x 3x 3x 【变式 4】已知 p：“直线 l 的倾斜角”；q：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的（ ） 4 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 类型二：类型二：充要条件的探求与证明充要条件的探求与证明 例例 3. 设 x、yR，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 a, b, c 都是实数，证明 ac0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要 条件. 【变式 2】求关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件. 类型三：充要条件的应用类型三：充要条件的应用 例例 4.已知若 p 是 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围. 22 1 :|1| 2,:210(0), 3 x pq xxmm 【变式 1】已知 p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若 p 是 q 的充分不必要条件， 求实数 a 的取值范围 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 【要点梳理要点梳理】 要点一、充分条件与必要条件要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念充要条件的概念 符号符号与与的含义的含义 pqpq “若，则”为真命题，记作：；pqpq “若，则”为假命题，记作：.pqpq 充分条件、必要条件与充要条件充分条件、必要条件与充要条件 若，称是的充分条件，是的必要条件.pqpqqp 若既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条pqqppqpqpq 件. 要点诠释：要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.pqpqpq “若，则”为真命题；pq 是的充分条件；pq 是的必要条件qp 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.pq 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件 p 与结论 q 之间的逻辑关系pq 若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；pqqp pqqp 若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；pq qppqqp 若，且，即，则、互为充要条件；pqqppqpq 若，且，则是的既不充分也不必要条件.pq qp pq 从集合与集合间的关系看从集合与集合间的关系看 若 p：xA，q：xB， 若 AB，则是的充分条件，是的必要条件；pqqp 若 A 是 B 的 真子集，则是的充分不必要条件；pq 若 A=B，则、互为充要条件；pq 若 A 不是 B 的子集且 B 不是 A 的子集，则是的既不充分也不必要条件.pq 要点三、充要条件的证明要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立） ，又要证明条件 的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：要点诠释：对于命题“若，则”pq 如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；pqpqqp 如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；pqqppq 如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.pq 【典型例题典型例题】 类型一：充类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定分条件、必要条件、充要条件的判定 例例 1. “x0”的_条件 【解析】，故，但， 2 101,1xxx 2 110 xx 2 101xx “x0”的充分而不必要条件 举一反三：举一反三： 【变式 1】指出下列各题中，是的什么条件？pq (1) : ， : ；p(2)(3)0 xxq2x (2) : ，: 抛物线过原点p0c q 2 yaxbxc (3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等pq 【答案】(1): 或, : 且,是的必要不充分条件；p2x 3x q2x pq qppq (2)且,是的充要条件；pqqppq (3)且，是的既不充分条件也不必要条件.pq qp pq 【变式 2】判断下列各题中是的什么条件.pq （1）:且, : （2）:, : .p0a 0b q0ab p1 y x qxy 【答案】（1）是的充分不必要条件.pq 且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.必要性不成立.0a 0b 0ab 0ab ab （2）是的既不充分也不必要条件pq 在的条件下才有成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.1 y x 0y xy 【变式 3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件， 那么丙是甲的（ ）. A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A；【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙. 于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾） 故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件. 例例 2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）xR21x 2 20 xx （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】的解集为（1，3） ，的解集为，|2| 1x 2 20 xx(, 2)(1,) 故 是的充分不必要条件。|2| 1x 2 20 xx 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 p：0 x3，q：|x-1|2，则 p 是 q 的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】选（A） ；q：|x-1|2，解得-1x3，亦即 q：-1x3. 如图，在数轴上画出集合 P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看 PQ， pq，但 qp. 【变式 2】下列叙述中正确的是() A若 a，b，cR，则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B若 a，b，cR，则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C命题“对任意 xR，有 x20”的否定是“存在 xR，有 x20” P Q Dl 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 【答案】(1)对于选项 A， “b24ac0”是“ax2bxc0”必要不充分条件故选项 A 不正确 (2)对于选项 B， “ac”是“ab2cb2”的必要不充分条件故选项 B 不正确 (3)对于选项 C 结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”， “存在 xR，有 x20”故选项 C 不正确 (4)对于选项 D；命题“l 是一条直线， 是两个不同的平面，若 l，l，则 ”是两个平面 平行的一个判定定理故答案为：D 【变式 3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ）xR2x A. B. C. D.1x 1x 3x 3x 【答案】A 【变式 4】已知 p：“直线 l 的倾斜角”；q：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的（ ） 4 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】 p：“直线 l 的倾斜角”，则直线 l 的斜率 k=tan1 或 k0； 4 q ：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的必要不充分条件。故选 B。 类型二：类型二：充要条件的探求与证明充要条件的探求与证明 例例 3. 设 x、yR，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0. 【解析】 （1）充分性：若 xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y| 如果 xy0，即 x0，y0 或 x0，y0， 当 x0，y0 时，|x+y|=x+y=|x|+|y|. 当 x0，y0 时，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|. 总之，当 xy0 时，有|x+y|=|x|+|y|. （2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及 x、yR，得(x+y)2=(|x|+|y|)2， 即 x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，xy0. 综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0. 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知 a, b, c 都是实数，证明 ac0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要 条件. 【答案】（1）充分性:若 ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个相异实根，设为 x1, x2, ac0, x1x2=0, x20，则 x1x2=0，ac0 a c 综上可得 ac0 是方程 ax2+bx+c=0 有一个正根和一个负根的充要条件. 【变式 2】求关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】（1）a=0 时适合. （2）当 a0 时，显然方程没有零根， 两异号的实根，须满足；两个负的实根，须满足 1 0 0 440 a a a 1 0 2 001 440 a a a a 综上知，若方程至少有一个负的实根，则 a1； 反之，若 a1，则方程至少有一个负的实根， 因此，关于 x 的方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负的实根的充要条件是 a1 类型三：充要条件的应用类型三：充要条件的应用 例例 4.已知若 p 是 q 的充分不必要条件，求 m 的取值范围. 22 1 :|1| 2,:210(0), 3 x pq xxmm 【解析】由，解得： 22 210(0)xxmm 11mxm 又由，解得： 1 |1| 2 3 x 210 x p 是 q 的充分不必要条件，所以：或 解得 0 12, 110 m m m 0 12, 110 m m m 9m 【变式 1】已知 p：AxR|x2ax10，q：BxR|x23x20，若 p 是 q 的充分不必要条 件，求实数 a 的取值范围 【解析】BxR|x23x20 x|1x2， p 是 q 的充分不必要条件，即 A 是 B 的真子集，pq 可知或方程 x2ax10 的两根要在区间1,2内A a240 或，得2a2. 0 12 2 4210 110 a a a