（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册3.1函数及其表示讲义（学生版+教师版）.zip

函数及其表示函数及其表示 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释：要点诠释： （1）A、B 集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A 中元素的无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无 关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： x|axb=a，b； |( , );x axba b ； ； |,x axba b |,x axba b . |- ,; |,x xbbx axa 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义： 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有个个。 m n 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根 号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限 制条件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。x 注意 2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。f 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高 点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二 次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合，则从到的函数有 个.1,2,3A 4,5B AB( )f x 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？R （1）；:fx 2 ,0,xxR x （2），；:gxy 2 ,yx xN yR （3），对任意的.:h * ABN,xA|3|xx 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1）； 0 ) 1x()x(f1)x(g （2）；x)x(f 2 x)x(g （3）； 2 x)x(f 2 ) 1x()x(g （4）；|x|)x(f 2 x)x(g 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与是同一函数； 1x 1x y 2 (2)与 y=|x|是同一函数； 2 xy (3)是同一函数； 233 )x(y)x(y与 (4)与 g(x)=x2-|x|是同一函数. )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)； (2)；(3). 2 -1 ( ) -3 x f x x ( )3 -8f xx 1 ( )2- 6 f xx x 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)； (2)； （3）. 3 f(x) | x1| 2 1 f(x)x3 x1 ( )1f xxx 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知的定义域为，求的定义域.(1)f x2,3 1 (2)f x 例 5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 32 1 43 ax y axax Ra 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x) 例 7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，；4, 1x 2,3x . 2 -2 (2) ( )-23; (3) ( ) 3 x f xxxf x x 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）1yx 21 3 x y x 2 2 1 1 x y x 2 54yxx 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|，对应法则是：A 中的点与 B 中的,xR yR （x，y）对应 （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， ，对应法则是 f： 1 2 x 1 yx 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到； 1 25x （4）r：把 x 对应到36x 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (1)已知是二次函数，且，求；( )f x(0)2,(1)( )1ff xf xx( )f x (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知，求.3 ( )2 ()3f xfxx( )f x 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数的解析式( )f x （1）已知，求； 2 2 1 1 2()= x fx x ( )f x （2）已知，求 1 592( )()=ff x xx( )f x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）； （2）； （3）1( 21012)yx x ， 21 1 x y x 2 |2 | 1yxx 类型七、分段函数类型七、分段函数 例 11.设函数若，则= 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 2ff aa 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形的边上有一点，沿着边线ABCDPBCDA 由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.BAPxAPBy （1）求与之间的函数关系式；yx （2）画出的图象.( )yf x 【巩固练习巩固练习】 1函数的定义域是( )1yxx A B C D|1x x |0 x x |10 x xx或|01xx 2函数的值域为 （ ） 2 43,0,3yxxx A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 3对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论: B 中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从|02 ,|12MxxNyy 集合到的函数关系的有 ( ) MN A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数则的值为( ) 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx )1(ff A B C D 2112 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为（ ） A B C D 9 (0, ) 2 9 0, 2 9 (, ) 2 9 (, 2 7向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那HVh 么水瓶的形状是图中的（ ） 8已知函数，则: 2 2 ( ) 1 x f x x 的值是（ ） 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff A2008 B2009 C D 2010 1 2009 2 9若的定义域是，则的定义域是 ( )yf x0,1( )()(2) 01F xf xafxaa 10已知，则不等式的解集是 0, 1 0, 1 )( x x xf(2)(2)5xxf x 11若函数在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 2 xb y x 12已知，则= * , a bN()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff 13当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数m 2 4| 5,xxm 解；（4）有四个实数解 函数及其表示函数及其表示 【要点梳理要点梳理】 要点一、函数的概念要点一、函数的概念 1函数的定义函数的定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记作：y=f(x)，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函 数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 要点诠释：要点诠释： （1）A、B 集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A 中元素的无剩余性； （4）B 中元素的可剩余性。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全致，而与表示自变量和函数值的字母无 关. 3区间的概念区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示 区间表示： x|axb=a，b； |( , );x axba b ； ； |,x axba b |,x axba b . |- ,; |,x xbbx axa 要点二、函数的表示法要点二、函数的表示法 1函数的三种表示方法：函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 优点：不需计算就可看出函数值. 2分段函数：分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来， 并分别注明各部分的自变量的取值情况 要点三、映射与函数要点三、映射与函数 1.映射定义：映射定义： 设 A、B 是两个非空集合，如果按照某个对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中 都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B 的映射；记为 f：AB. 象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象，a 叫做 b 的原象. 要点诠释：要点诠释： (1)A 中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a 的象记为 f(a). 2.函数与映射的区别与联系：函数与映射的区别与联系： 设 A、B 是两个非空数集，若 f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，这个映射叫做从集合 A 到集 合 B 的函数，记为 y=f(x). 要点诠释：要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. (5)如果 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则从集合 A 中到集合 B 的映射（不加限制）有有个个。 m n 3.函数定义域的求法函数定义域的求法 (1)确定函数定义域的原则 定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根 号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限 制条件. （2）抽象函数定义域的确定 注意 1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。x 注意 2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。f 4.函数值域的求法函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完 全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高 点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二 次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函 数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本 函数的取值范围来求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法最值法、数形结合法数形结合法等. 总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约. 【典型例题典型例题】 类型一、函数的概念类型一、函数的概念 例 1.已知集合，则从到的函数有 个.1,2,3A 4,5B AB( )f x 【答案】8 举一反三：举一反三： 【变式 1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？R （1）；:fx 2 ,0,xxR x （2），；:gxy 2 ,yx xN yR （3），对任意的.:h * ABN,xA|3|xx 【解析】 （1）对于任意一个非零实数被唯一确定，所以当时，是函数，可表示 2 , x x x0 x x 2 x 为. 2 ( )(0)f xx x （2）当时，得或，不是有唯一值和对应，所以（）不是4x 2 4y 2y 2y xxy 2 yx 函数. （3）不是，因为当时，在集合中不存在数值与之对应.3x B 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1）； 0 ) 1x()x(f1)x(g （2）；x)x(f 2 x)x(g （3）； 2 x)x(f 2 ) 1x()x(g （4）；|x|)x(f 2 x)x(g 【答案】 （1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】 (1) 的定义域不同，前者是，后者是全体实数，因此是不同的函数；( )( )f xg x与|1,x xxR (2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；( ) |g xx( )( )f xg x与 (3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；( )( )f xg x与 (4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.( )( )f xg x与 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列命题的真假 (1)y=x-1 与是同一函数； 1x 1x y 2 (2)与 y=|x|是同一函数； 2 xy (3)是同一函数； 233 )x(y)x(y与 (4)与 g(x)=x2-|x|是同一函数. )0 x(xx )0 x(xx )x(f 2 2 【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法类型二、函数定义域的求法 例 3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)； (2)；(3). 2 -1 ( ) -3 x f x x ( )3 -8f xx 1 ( )2- 6 f xx x 【解析】(1)的定义域为 x2-30， 2 1 ( ) 3 x f x x ；3(,3)(3, 3)( 3,)x ，定义域为： (2)； 88 ( )3 -8-80, 33 f xxxx ，由3得，定义域为 (3). 202 1 ( )2 6,2 60-66 xx f xx xxx ，由得定义域为 举一反三：举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)； (2)； （3）. 3 f(x) | x1| 2 1 f(x)x3 x1 ( )1f xxx 【解析】(1)当|x-1|-2=0，即 x=-1 或 x=3 时，无意义，当|x-1|-20，即 x-1 且 x3 时，分 3 | x1| 2 式有意义，所以函数的定义域是(-，-1)(-1，3)(3，+)； (2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是； x10 x3x1 x30 ，即且3,1(1,) (3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为. 1x0, x0. 0,1 例 4.（1）已知函数 y=f（x）的定义域为1，2，求函数 y=f（1x2）的定义域 （2）已知函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1，求函数 y=f（x）的定义域 【答案】 （1）；（2） （7，12,2 【解析】 （1）因为函数 y=f（x）的定义域是1，2， 所以函数 f（1x2）中11x22，1x22， 即，f（1x2）的定义域为2,2x 2,2 （2）函数 y=f（2x3）的定义域为（2，1， 2x1，42x2，72x31， 即函数 y=f（x）的定义域为（7，1 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知的定义域为，求的定义域.(1)f x2,3 1 (2)f x 【答案】 11 , 32 【解析】的定义域为，(1)f x2,323x 114x ，解得：或， 1 124 x 1 2 x 1 3 x 所以的定义域为. 1 (2)f x 11 , 32 例 5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 32 1 43 ax y axax Ra 【答案】 3 0, 4 【解析】 当时，对任意恒成立.0a 2 430axaxxR 当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式0a 2 430axax 2 430axax ，于是. 2 (4 )124 (43)0aaaa 3 0 4 a 综上，的取值范围是.a 3 0, 4 类型三、求函数的值及值域类型三、求函数的值及值域 例 6. 已知 f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求： (1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x) 【答案】 （1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55 【解析】 (1)f(2)=222-32-25=-23；g(2)=22-5=-1； (2)f(g(2)=f(-1)=2(-1)2-3(-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2(-23)-5=-51； (3)f(g(x)=f(2x-5)=2(2x-5)2-3(2x-5)-25=8x2-46x+40； g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55. 例 7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，；4, 1x 2,3x . 2 -2 (2) ( )-23; (3) ( ) 3 x f xxxf x x 【解析】(1)法一：配方法求值域 ，当时，值域为7，28； 22 24(1)3yxxx4, 1x maxmin 28,7yy 当时，值域为3，122,3x maxmin 12,3yy 法二：图象法求值域 二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，1x 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增,11, 所以当时，值域为7，28；当时，值域为3，124, 1x 2,3x (2)； 22 -23( -1)22,2,yxxx 值域为 (3)，函数的值域为(-，1)(1，+). -23-555 1-,0,1 3333 xx yy xxxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】 求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）1yx 21 3 x y x 2 2 1 1 x y x 2 54yxx 【解析】（1），即所求函数的值域为0,1 1xx 1, （2），值域为 21 3 x y x 2672(3)77 2 333 xx xxx 7 0 3x 2y |2y y （3），函数的定义域为 2 2 1 1 x y x 2 2 1 1x R ，即函数的值域为 2 2 2 1 1,02 1 x x 2 2 111 1x 1,1y 1,1 （4），所求函数的值域为 22 54(2)9yxxx 2 0(2)99x 0,3 类型四、映射与函数类型四、映射与函数 例 8. 判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数？ （1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|，对应法则是：A 中的点与 B 中的,xR yR （x，y）对应 （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数； （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx （5）A=0，1，2，B=0，1， ，对应法则是 f： 1 2 x 1 yx 【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合 A、B 不是数集，是点集； (2)是映射，集合 A 中的任意一个元素(三角形)，在集合 B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与 之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数 (3)是映射，也是函数，函数解析式为 0,(2 ) ( ) 1,(21) xn f x xn （4）是映射，也是函数 （5）对于集合 A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合 B 中没有元素与它对应，所以不是 映射，也不是函数 举一反三：举一反三： 【变式 1】判断下列对应是否是实数集 R 上的函数： （1）f：把 x 对应到 3x+1； （2）g：把 x 对应到|x|+1； （3）h：把 x 对应到； 1 25x （4）r：把 x 对应到36x 【解析】 （1）是它的对应关系 f 是：把 x 乘 3 再加 1，对于任一 xR，3x+1 都有唯一确定的 y 值 与之对应如 x=1，则 3x+1=2 与之对应； （2）是它的对应关系 f 是：把 x 取绝对值再加 1，对于任一 xR，|x|+1 都有唯一确定的 y 值与 之对应如 x=1，则|x|+1=2 与之对应； （3）不是当时，根据对应关系，没有值与之对应； 5 2 x （4）不是当 x2 时，根据对应关系，找不到实数与之对应 类型五、函数解析式的求法类型五、函数解析式的求法 例 9.求函数的解析式 (1)已知是二次函数，且，求；( )f x(0)2,(1)( )1ff xf xx( )f x (2)若 f(2x-1)=x2，求 f(x)； （3）已知，求.3 ( )2 ()3f xfxx( )f x 【解析】求函数的表达式可由两种途径. (1)设，由得 2 ( )(0)f xaxbxc a(0)2,f2c 由，得恒等式 2ax+a+b=x-1,得，故解析式为：.(1)( )1f xf xx 13 , 22 ab 2 13 ( )2 22 f xxx (2) f(2x-1)=x2，令 t=2x-1，则 1 2 t x 22 11 ( )() ,( )() 22 tx f tf x （3）因为， 3 ( )2 ()3f xfxx 用代替得，xx3 ()2 ( )3fxf xx 由消去，得.()fx 3 ( ) 5 f xx 举一反三：举一反三： 【变式】求下列函数的解析式( )f x （1）已知，求； 2 2 1 1 2()= x fx x ( )f x （2）已知，求 1 592( )()=ff x xx( )f x 【解析】 （1）令，则1 20()tx x 1 1 2 =() t xt ， 2 2 22 1 1 232 1 11 2 ( )=() t tt f tt tt 2 2 23 1 1 ( )=() xx f xx x （2）将已知式子中的 x 换成得 1 x 2 15 9()( )=xff xx 消去，得 1 ()f x 105 3 33 ( )=xfx x 类型六、函数的图象类型六、函数的图象 例 10.作出下列函数的图象. （1）； （2）； （3）1( 21012)yx x 与与与与 21 1 x y x 2 |2 | 1yxx 【解析】(1)，图象为一条直线上 5 个孤立的点；如下图（1） 21012x 与与与与 （2）， 213 2 11 x y xx 先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两 3 y x 3 1 y x 个单位便得到函数的图象如下图（2） 21 1 x y x （3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方再 2 2yxxxxx 把它向上平移 1 个单位，即得到的图象，如下图所示（3） 2 |2 | 1yxx 类型七、分段函数类型七、分段函数 例 11.设函数若，则= 2 2 220 0 xx,x, f x x ,x. 2ff aa 【答案】2 【解析】由题意，当时，则0 x 2 22f xxx 1f x 又， （舍）或 2ff a 0f a 2f a ， （舍负） 2 2f aa 2a 2a 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，在边长为 4 的正方形的边上有一点，沿着边线ABCDPBCDA 由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.BAPxAPBy （1）求与之间的函数关系式；yx （2）画出的图象.( )yf x 【解析】 （1） 2 ,04, 8,48, 224,812. xx yx xx （2）当点在边上运动时，即当时，PBC04x 1 42 ; 2 yxx 当点在边上运动时，即当时，PCD48x 1 4 48; 2 y 当点在边上运动时，即当时，故为PDA812x 1 4 (12)2(12)224 2 yxxx 分段函数. 【巩固练习巩固练习】 1函数的定义域是( )1yxx A B C D|1x x |0 x x |10 x xx或|01xx 1 【答案】D 【解析】由题意 1-x0 且 x0，解得，故选 D01x 2函数的值域为 （ ） 2 43,0,3yxxx A0,3 B-1,0 C-1,3 D0,2 2 【答案】C【解析】 又， 22 43(2)1,yxxx0,3x 当 x=2 时，y=1，当 x=0 时，y=3 1y3，即 ，故选 C 1,3y 3对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论: B 中的任何一个元素在 A 中必有原象； A 中的不同元素在 B 中的象也不同； A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的； A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象 其中正确结论的个数是（ A ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从|02 ,|12MxxNyy 集合到的函数关系的有 ( A ) MN A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5设函数则的值为( ) 2 , 0, ( ) 1, 0, xx f x xx )1(ff A B C D 2112 5 【答案】D【解析】该分段函数的二段各自的值域为，,0 , 1, ，故选 D 111 12fff 6已知 f（x21）定义域为0，3，则 f（2x1）的定义域为（ ） A B C D 9 (0, ) 2 9 0, 2 9 (, ) 2 9 (, 2 6 【答案】B， 【解析】根据 f（x21）定义域为0，3，得 x0，3， x20，9，x211，8；令 2x11，8，得 2x0，9， 即；所以 f（2x1）的定义域为 9 0, 2 x 9 0, 2 7向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那HVh 么水瓶的形状是图中的（ B ） 8已知函数，则: 2 2 ( ) 1 x f x x 的值是（ ） 1111 (1)(2)( )(3)( )(4)( )(2010)() 2342010 fffffffff A2008 B2009 C D 2010 1 2009 2 8 【答案】C ， 11 (2)( )1,(3)( )1, 23 ffff 11 (1)200920092009 22 f原式 9若的定义域是，则的定义域是 ( )yf x0,1( )()(2) 01F xf xafxaa 9 【答案】解不等式组得， 01, 021. xa xa 1, 1 22 axa aa x 又 11 ,1, 2222 aaaa aax 10已知，则不等式的解集是 0, 1 0, 1 )( x x xf(2)(2)5xxf x 10 【答案】，当 3 (, 2 3 20,2,(2)1,25, 2, 2 xxf xxxx 即则 当，.20,2,(2)1,25,2xxf xxxx 即则恒成立，即 3 2 x 11若函数在（a，a+6） （b2）上的值域为（2，+） ，则 a+b=_ 2 xb y x 11 【答案】10， 【解析】由，b2，-（b+2）0， 222 1 222 xbxbb y xxx 则函数在（，2） ， （2，+）上为减函数， 2 1 2 b y x 又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+） ， a=2，且，解得 b=8a+b=10 2 (4)12 42 b f 12已知，则= * , a bN()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff 12 【答案】4020【解析】 令，则由,1ax b()( ) ( ),(1)2,f abf a f bf 可得即分别令，(1)(1) ( )2 ( ),f xff xf x (1) 2, ( ) f x f x 1,2,3,2010 x 则=2+2+2+2=20102=4020 (2)(3)(4)(2011) (1)(2)(3)(2010) ffff ffff 13当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数m 2 4| 5,xxm 解；（4）有四个实数解 13 【解析】设，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交 2 12 4| 5,yxxym 点个数问题来处理 设则 2 1 4| 5,yxx 2 1 2 45,0, 45,0. xxx y xxx 画出函数的图象，如右图 再画出函数的图象由图象可以看出： 2 ym （1）当时，两个函数图象没有交点，故原方程无解1m （2）当或时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解1m 5m （3）当时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解5m （4）当时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解15m