（2021新教材）人教A版《高中数学》必修第一册5.5.1 两角差的余弦公式讲义（学生版+教师版）.zip

两角差的余弦公式两角差的余弦公式 要点一：两角差的余弦公式要点一：两角差的余弦公式 1两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆xoyOOx, 的交点分别为，则O,A B(cos ,sin),(cos,sin)OAOB 由向量数量积的概念，有：，|cos()cos()OA OBOA OB 结合向量数量积的坐标表示，有：coscossinsinOA OB 所以= （*）cos()coscossinsin （2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，, （*）中的为此，我们讨论如下：0, 由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使0,2coscos() 若，则0,coscos()OA OB 若，则，且,220,cos(2)coscos()OA OB 由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= , cos()coscossinsin C 要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用 1逆用 ：=coscossinsincos() 要点诠释：要点诠释： 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题. 如：由能迅速地想到cos50 cos20sin50 sin20 3 cos50 cos20sin50 sin20cos 5020cos30 2 2角变换后使用 coscos ()cos()cossin()sin 3移项运用 coscoscos()sinsin sinsincos()coscos 4特殊化使用 cos()coscossinsinsin 222 5以代 cos()coscos()sinsin() 即coscoscossinsin 【典型例题典型例题】 类型一：利用差角的余弦公式进行证明类型一：利用差角的余弦公式进行证明 例 1求证： （1）cos()coscossinsin （2）sin()sincoscossin 【证明】 （1）=cos()cos()coscos()sinsin() =coscossinsin （2）sin()cos()cos () 22 =cos()cossin()sin 22 =sincoscossin sin()cos()cos () 22 =cos()cossin()sin 22 =sincoscossin 举一反三：举一反三： 【变式 1】 2222 cos2cossin2cos11 2sin 证明：cos2cos()coscossinsin = 22 cossin = 22 cos(1 cos) = 2 2cos1 = 2 2(1 sin) 1 = 2 1 2sin 类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式 例 2 （1）； 52 cos2cos3cos 663 xxx （2）cos(3 ) cos(3 )sin(3 ) sin(3 ) 4334 xxxx 【解析】 （1）原式 5522 coscossinsin2coscos2sinsin3coscos3sinsin 666633 xxxxxx 22 cos2cos3sinsinsin2sin3coscos 333333 xx 1333 13sin3cos0 2222 xx （2）原式=cos(33 ) 43 xx cos() 34 =coscossinsin 3434 = 1232 2222 = 26 4 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）cos15cos105+sin15sin105； （2）cos(35)cos(25+)+sin(35)sin(25+)； （3）cos 40cos70+cos20cos50； （4）； cos7sin15 sin8 cos8 【解析】 （1）原式=cos(15105)=cos(90)=0 （2）原式 1 cos(35 )(25)cos( 60 ) 2 （3）原式 3 cos40 cos70sin70 sin40cos(7040 )cos30 2 （4）原式 cos(158 )sin15 sin8cos15 cos8 cos8cos8 62 cos15cos(6045 )cos60 cos45sin60 sin45 4 类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）类型三：利用差角的余弦公式求值（或角） 例 3已知，均为锐角，求 1 cos() 3 5 cos2 13 cos() 【解析】，均为锐角， +(0, ) 2(0, ) 由， 1 cos() 3 5 cos2 13 易知， 2 12 2 sin()1 33 2 512 sin21 1313 cos()cos2()cos2 cos()sin2 sin() 152 212524 2 31331339 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，且、均为锐角，求 3 cos 35 12 cos 313 的值cos() 【解析】因为、均为锐角，故，均在（0，）内， 3 3 所以， 4 sin 35 5 sin 313 而， 33 所以cos()coscossinsin 3333 3124516 51351365 例 4已知、均为锐角，且，求的值 5 sin 5 10 cos 10 【解析】 、均为锐角，且， 5 sin 5 10 cos 10 ， 2 5 cos 5 3 10 sin 10 cos()coscossinsin 2 51053 102 5105102 又，0 2 0 2 22 而，即，sinsin0 ，0 2 4 【变式 1】 已知、为锐角，求角的值 1 cos 7 5 3 sin() 14 【解析】 为锐角且， 1 cos 7 2 2 14 3 sin1 cos1 77 又为锐角，又，(0, ) 5 38 3 sin()sin 1414 , 2 2 cos()1 sin () 2 5 311 1 1414 coscos()cos()cossin()sin 又为锐角， 1115 34 31 1471472 3 【变式 2】若，求的值 3 sinsin 5 xy 4 coscos 5 xycos()xy 【解析】：（1） 222 9 (sinsin )sinsin2sin sin 25 xyxyxy （2） 222 16 (coscos )coscos2cos cos 25 xyxyxy （1）2+（2）2得：2+2=1(cos cossin sin )xyxy 1 cos() 2 xy 类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用 例 5设 A、B 为锐角三角形 ABC 的两个内角，向量，(2cos ,2sin)AAa(3cos ,3sin)BBb 若 a，b 的夹角为 60，则 AB 等于（ ） A B C D 3 3 3 6 【答案】C【解析】ab=|cos606coscos6sinsina bABAB 又|a|=，|b|= 22 4cos4sin2AA 22 9cos9sin3AA ， 1 2 36cos() 2 AB cos()AB 1 2 又，0,0 22 AB 22 AB 3 AB 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 要点一：两角差的余弦公式要点一：两角差的余弦公式 1两角差的余弦公式的推导： （1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆xoyOOx, 的交点分别为，则O,A B(cos ,sin),(cos,sin)OAOB 由向量数量积的概念，有：，|cos()cos()OA OBOA OB 结合向量数量积的坐标表示，有：coscossinsinOA OB 所以= （*）cos()coscossinsin （2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，, （*）中的为此，我们讨论如下：0, 由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使0,2coscos() 若，则0,coscos()OA OB 若，则，且,220,cos(2)coscos()OA OB 由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= , cos()coscossinsin C 要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用 1逆用 ：=coscossinsincos() 要点诠释：要点诠释： 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题. 如：由能迅速地想到cos50 cos20sin50 sin20 3 cos50 cos20sin50 sin20cos 5020cos30 2 2角变换后使用 coscos ()cos()cossin()sin 3移项运用 coscoscos()sinsin sinsincos()coscos 4特殊化使用 cos()coscossinsinsin 222 5以代 cos()coscos()sinsin() 即coscoscossinsin 【典型例题典型例题】 类型一：利用差角的余弦公式进行证明类型一：利用差角的余弦公式进行证明 例 1求证： （1）cos()coscossinsin （2）sin()sincoscossin 【证明】 （1）=cos()cos()coscos()sinsin() =coscossinsin （2）sin()cos()cos () 22 =cos()cossin()sin 22 =sincoscossin sin()cos()cos () 22 =cos()cossin()sin 22 =sincoscossin 举一反三：举一反三： 【变式 1】 2222 cos2cossin2cos11 2sin 证明：cos2cos()coscossinsin = 22 cossin = 22 cos(1 cos) = 2 2cos1 = 2 2(1 sin) 1 = 2 1 2sin 类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式 例 2 （1）； 52 cos2cos3cos 663 xxx （2）cos(3 ) cos(3 )sin(3 ) sin(3 ) 4334 xxxx 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （1）cos15cos105+sin15sin105； （2）cos(35)cos(25+)+sin(35)sin(25+)； （3）cos 40cos70+cos20cos50； （4）； cos7sin15 sin8 cos8 类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）类型三：利用差角的余弦公式求值（或角） 例 3已知，均为锐角，求 1 cos() 3 5 cos2 13 cos() 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知，且、均为锐角，求 3 cos 35 12 cos 313 的值cos() 例 4已知、均为锐角，且，求的值 5 sin 5 10 cos 10 【变式 1】 已知、为锐角，求角的值 1 cos 7 5 3 sin() 14 【变式 2】若，求的值 3 sinsin 5 xy 4 coscos 5 xycos()xy 类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用 例 5设 A、B 为锐角三角形 ABC 的两个内角，向量，(2cos ,2sin)AAa(3cos ,3sin)BBb 若 a，b 的夹角为 60，则 AB 等于（ ） A B C D 3 3 3 6